微专题04抛物线-2020高考数学(理)二轮复习微专题聚焦

1、微专题04抛物线2020高考数学（理）二轮复习微专题聚焦【考情分析】抛物线的定义、标准方程，抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系，题型 仍将是选择题、填空题，有时出现解答题，分值512分，重点考查考生的数学运算的核心素养.考点一抛物线的定义、标准方程与几何性质【必备知识】1、抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线1（1不经过点F）距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛 物线的焦点，直线1叫做抛物线的准线.数学表达式：|MF|二d（其中d为点M到准线的距离）.2、抛物线的标准方程与简单性质标准方程2_,一y 2 Px( p 0)2_,一y -2 px( p 0)2_,一x 2py(p

2、0)2_,一x -2py(p 0)p的几何意义：焦点F到准线1的跑离图形9I- yr顶点坐标O (0,0)对称轴X轴Y轴焦点坐标FF(-$0)2F (0,92F (0,-1)2准线方程x E2x R2y 2y 2范围x 0, y Rx 0, y Ry 0, x Ry 0, x R开口方向向右向左向上向卜离心率e 1焦半径（设P（ X0, y0）是抛物线点|PFx0 2|pf|x0E2阴y0 pPF |y°K焦点弦过抛物线焦点F的直线与抛物线交于A（Xi，yjB（X2，y2）两点，称|AB|为焦点弦.|AB x1 x2 pAb| xi x2 pAb| y1 y2 paB Iy1y2p【

3、常用结论】1、过焦点垂直于对称轴的弦称为通径，通径长等于2p,是过焦点最短的弦.2、四倍关系：y2 aX的焦点坐标为(刍,0),准线方程为x a.443、如图，AB是过抛物线y2 2 px( p 0)焦点 F 的一条弦，设 A(xi, yi), B(X2, y2) ,AB 的中点M (xo,y0),相应的准线为lyA4F .v(1)以AB为直径的圆必与准线(2) ABXixp2(Xol相切.R)(焦点弦长与中点关系2).(3)若直线AB的倾斜角为，则AB2p.2 sin(4)A,B两点的横坐标之积、纵坐标之积为定值，即Xi X22p二，y y24(5)一AFBF2为定值一.P(6)焦点F对A,

4、B在准线上射影的张角为90【典型例题】【例11已知抛物线y2 2pX(p 0)的焦点为F,点P为抛物线上的动点，点M为其准线上的动点，若FPM»边长是6的等边三角形，则此抛物线的方程为【解析】因为FPMfe等边三角形，所以|PM|=|PF|,由抛物线的定义得PM庭直于抛物线的准线，2设P(m-,m),则点M 2Pp,m),因为焦点F (卫,0) ,FPMi三角形，2m K 6所以2p 2273R 因此抛物线方程为y2 6x.【方法归纳提炼素养】一一数学思想是数形结合、方程思想，核心素养是数学 运算.待定系数法求抛物线方程的步骤：(1)定位置：根据条件确定抛物线的焦点在哪条坐标轴上及开

5、口方向；(2)设方程：根据焦点和开口方向设出标准方程；(3)寻关系：根据条件列出关于 p的方程；(4)得方程：解方程，将p代入所设方程为所求.【类比训练】已知过抛物线y2 2px(p 0)的焦点，且平行于直线y 2/2x的直线交抛物线于一 一 一9 一A(Xi,yJB(Xi,y2)(% x2)两点，若 AB 2 ,求该抛物线的万程.【解析】直线AB的方程是y 2v2(x卫)与y2 2Px联立，2得 4x2 5px p2 0,所以 x1 x2 5p,4由抛物线定义得AB xi x2 p p -,所以p=2,42所以抛物线方程为y2 4x.【自我总结】过焦点的弦长的求解方法设过抛物线y2 2Px(

6、p 0)的焦点的弦的端点为A(xi, yi), B(xi, y2),则AB x x? p ,然后利用弦所在直线方程与抛物线方程联立、消元，由根与系数的关系求出xi x2即可.考点二直线与抛物线的综合问题【必备知识】直线与抛物线位置关系的判断方法设直线l : y kx b,抛物线y2 2px(p 0),将直线方程与抛物线方程联立消元得：2 2_2k x (2kb 2p)x b 0.(i)若k2 0,此时直线与抛物线有一个交点，该直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合.若k2 0,当A >0时,直线与抛物线相交，有两个交点；当A =0时,直线与抛物线相切,有一个交点；当A <0时，直线

7、与抛物线相离,无公共点.【例2】已知过抛物线x2 4y焦点F的直线l交抛物线于A,B两点(点A在第一象限)，若AF 3FB ,则直线l的方程为()A. .3x y ,3 0B.x 3y . 3 0B. x ,3y-1 0D.,3x y 1 0【解析】选B.由题知F(0,1),设直线l： y kx 1,与抛物线x2 4y联立，得x2 4kx 4 0.、l- x1 x2 4k 设庆(刈41)(小01B(x2, y2)，则有，x1 x24又因为AF 3FB,所以x13x2,与联立解得k 虫，故直线l的方程为y x 1,33即 x 、3y 、3 0.【方法归纳提炼素养】一一数学思想是数形结合、整体代换

8、、方程思想，核心 素养是数学运算.直线与抛物线交点问题的解题思路(1)求交点问题，通常解直线方程与抛物线方程组成的方程组.与交点相关的问题通常借助根与系数的关系或用向量法解决.【类比训练】已知A,B为抛物线E上不同的两点，若抛物线E的焦点为(1,0),线段AB恰被M(2,1)所平分.(1)求抛物线E的方程.求直线AB的方程.【解析】(1)由于抛物线的焦点为(1,0),所以8 1,即p=2, 2所求抛物线的方程为y2 4x.(2)解法一:设 A(x1, y1), B(x2, y2),则 y： 4Xi ，y22 4x2 ，且 X x2 4, y y 2,由-得(y2 y1)(y2 yJ 4&

9、; yj，又 x X2,所以七一1 2,所以所求直线AB的方程为y-1=2(x-2),即 2x-y-3=0.解法二：显然AB不垂直于x轴,故可设弦AB所在的直线方程为y-1=k(x-2),k w0,设 A(xi, yi), B(x2, y2),由y2 1 k(x 2)消去x整理得ky2 4y 8k 4 0,所以 y2 -,y 4xk又M点是AB的中点，所以yi y2 2,所以k=2,故直线AB的方程为y-1=2(x-2),即2x-y-3=0.【方法归纳提炼素养】一一数学思想是数形结合、整体代换、方程思想，核心素养是数学运算.解决抛物线的弦及弦中点问题的常用方法(1)有关直线与抛物线的弦长问题，

10、要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直 接使用焦点弦公式，若不过焦点，则必须用一般弦长公式.(2)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求” “整体代入”等解法.(3)中点弦问题解题策略两方法方法一：点差法(将两个交点的坐标代入抛物线的方程，作差由 k 江2求斜率，再由点斜 xi x2式求解)方法二：传统法(设直线方程，并与抛物线的方程联立，消去 x或y得到关于y或x的一元二次方程，由根与系数的关系，得两根之和即为中点纵(或横)坐标的 2倍，从而求斜率)【例3】已知抛物线Ci： y2 4x和C2： x2 2py(p 0)的焦点分别为F2,点P

11、(-1,-1),且 f1f2 OP (。为坐标原点).求抛物线C2的方程. 过点O的直线交Ci的下半部分于点M,交C2的左半部分于点N,求PMNT积的最小值.【解析】Fi(1,0), F2(0，卫)所以F1F2 (if),22则FF2 OP （ i,卫）（-1,-1） i-p o 22所以p=2,所以C2的方程为x2 4y.设过点O的直线为y=kx,kx /口 4 4得 M -2,4)4x k k联立y2 kx得 N(4k,4k2) (k<0), x 4y所以 |MN|=Jl k2g4k,1 k2(44k), k点P到直线MN勺距离d!k 1 ,所以S pmn 1-1 di k2 (?

12、4k)1 k22 .1 k2k生粤E)2(1k)2(12k k2) 2k 12)(k11).k2k2kk人1-令t k 1(y-2),则Spmn 2(t-2)(t+1), 当t=-2时，Spmn有最小值8,此时k=-1.即当过原点的直线为y=-x时，zXPMN勺面积取彳#最小值8.【方法归纳提炼素养】一一数学思想是数形结合、换元思想、函数思想，核心素养是数学运算.与抛物线有关的最值问题求解策略（1）数形结合：一般情况下都与抛物线的定义有关.“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离 ，构造出“两点之间线段最短”；将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的

13、距离 ，利用“与直线上所有点的连线中垂线段 最短”.这是解决与过抛物线焦点的弦有关问题的重要途径构造函数：将所求转化为函数求最值.做高考真题提能力素养【选择题组】1、(2019全国II卷 高考理科T8)若抛物线y2=2px (p>0)2的焦点是椭圆土 3p2匕1的一个焦p点，则p=()A. 2B. 3C. 4D. 82-1的一个焦点，所以 p2【解析】答案：D.因为抛物线y2 2Px(p 0)的焦点碍是椭圆3p3p p (.)2 ,解得 p 8,故选 D.2、(2018全国卷I高考理科 T鼓抛物线C：y2=4x的焦点为F,过点(-2,0)且斜率为2的直线与C3交于M,N两点，则睢仁()A

14、.5B.6C.7D.82【解析】选D.由题意知直线MN的万程为y -(x 2) ,F(1,0).3_ 2设M(x1,yJ N(x2,y2),与抛物线方程联立有7 3('+ 2),y2 = 4x,可得；1 = 2或；2 = 4,所以 F而=(0,2),6=(3,4)，所以 际=0X 3+2X 4=8 3、(2017全国乙卷理科T10)知F为抛物线C:y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1,l2,直线l1与C交于A,B两点，直线l2与C交于D,E两点，则|AB|+|DE|的最小值为()A.16B.14C.12D.10【解析】选A.设直线l1方程为y k1(x 1),联立方程y 4x

15、W k12x2 2k12x 4x I2 0,y k1(x 1)设 A(x1, yj Bl 丫2, Dd y3), E、y4r所以 x1+x2=-22kl2 4k222kl2 4k122同理直线l2与抛物线的交点满足X3+X4=%， k2由抛物线定义可知22 2k2 4 2k2 44416|AB|+|DE|=Xi X2 X3 X4 2p = -k +-k +4= 2+ 2+8>22 2 +8=16,ki k2ki k2 kk当且仅当kl=-k2=1(或-1)时，取得等号.【非选择题组】1、(2018全国田高考理科 T1知点M(-1,1)和抛物线C:y2=4x,过C的焦点且斜率为k的直线 与

16、C交于A,B两点.若IHAMB=90，则k=.【解析】由抛物线的方程y2=4x可知其焦点F的坐标为(1,0),所以直线AB的方程为 丫=31)，由 0k4；1),得 k2x2-2(k2+2)x+k2=0,设 A(X1,y1),B(X2,y2),所以 x x22(k 2 2) ,x1x2 1,k因为 IHAMB=90，所以 疝 也目=仅1+1,丫1-1) 2+1,y2-1)=(x1+1)(x2+1)+(y1-1)(y2-1)=(x1+1)(x2+1)+k(x1-1)-1 k伙1)-1=(1-k-k2)(x1 +x2)+(1+k2)x1X2+k2+2k+2=(1-k-k2)W%(1+k2)+k2+

17、2k+2=0,整理可解得k=2.答案:2:y2=3x的焦点为F,斜率为-的直线l与C的2Xi, y1 , B X2,y22、(2019全国I卷高考理科T19)已知抛物线交点为A, B,与x轴的交点为P.(1)若 AF|+|BF|=4,求 l 的方程； uuu uuu r、(2)若 AP 3PB ,求|AB|.【解析】(1)设直线l方程为：y = 3x m, A2由抛物线焦半径公式可知：AF| |BF Xi X23联立 y 2X m 得：9x212m 12 x 4m22y 3x221则 12m 12144m2 0 m -212m1257X1x2 T,解得：m-92837直线1的方程为：y 2x

18、即：12x 8y 7 02（2）设P t,0 ,则可设直线l方程为：x 2y t3x y t 2联立 3 得：y2 2y 3t 0y2 3x则4 12t 0 t -3y V2 2, y1y23tuuiruuirQ AP 3PBy13y2y21 ,y13yiy23则AB42。13 4、131 -y1 y24y1y244 12 -9333、（2019全国III卷高考理科T21）已知曲线C:21y=, D为直线y=上的动点，过D作C 22的两条切线，切点分别为 A, B.（1）证明：直线AB过定点;.5（2）若以E（0,万）为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求四边形ADBE的面积.1

19、1 C【解析】（1）证明：设D（t, 2）, A（X1,y1）,则y11 2又因为y 3X ,所以y' X.则切线DA的斜率为X1 ,一 1故必 一 X1（X1 t）,整理得 2tX1 2y1 1 0 . 2设 B（X2,y2）,同理得 2tX1 2y1 1 0.A（X1,y1）,B（X2,y2）都满足直线方程 2tx 2y 1 0.于是直线2tx 2y 1 0过点A,B ,而两个不同的点确定一条直线，所以直线AB方程为2tx 2y 1 0 .即2tx （2y 1） 0, ,，一，一，1当2x 0, 2y 1 0时等式包成立，所以直线 AB恒过定点（0,一）.21由(1)得直线A万程为

20、y tx -.tx 12一，1c2，可得 x2 2tx 1 0 ,x22(t2 1).,t2 1,于是 Xix22t,xx21,yiyt(xx2)12t21|AB| ,1 t2 |x1 x2| 1 t2 , (x1 x2)2 4x1x2设di,d2分别为点D,E到直线AB的距离,则d1因此，四边形ADBE的面积1|AB| d1 d2 2t2 3 . t2 1 .设M为线段AB的中点,t,t2r + uuuu uuu 一 uuuu 由于EM AB ,而EMt,t2AuB与向量(1,t)平行，所以t解得t 0或t 1.当t 0时，S 3;当t1时S 4应因此，四边形ADBE的面积为3或4贬.5、(2017浙江高考 T2训图，已知抛物线x2=y.点A!,B 3 9，抛物线上的点P(x,y)242'41 x 3，过点B作直线AP的垂线，垂足为Q. 22求直线AP斜率的取值范围.(2)求PA |PQ的最大值.【解析】(1)设直线AP的斜率为k,k=13 一因为-2*3，所