必修一函数及其表示讲义

1、必修一函数及其表示讲义1.2.1函数及其表示一、映射根据题意填空。(1) (2) (3) (4)映射概念：一般地，设 A, B是两个非空的集合，如果按某一个 确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个元素x,在集合B中 都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f: A-B是集合A到 集合B的映射。如上图：是映射。象与原象：给定一个集合A到集合B的映射，且6 A, 6 B,如果 元素和元素对应，那么我们把元素叫做元素的象， 元素叫做元素的原 象。注意：（1）集合A、B、对应关系是一个整体；（2）对应关系 有“方向”，强调从A到B; （3）集合Axx元素在集合Bxx都有象 并且是唯一的，这个唯一

2、性是构成映射的核心；（4）集合Axx不同 的元素，在集合Bxx对应的象可以是同一个，集合Bxx元素对应集合 Axx的元素可能不止一个。对应可以为“一对一”或“多对一”，但 不能是“一对多”；（5）集合Bxx的元素在Axx不一定有原象。（6） 如果A有m个元素，B有n个元素，则从集合Axx到集合B的映射（不 加限制）有个。例1:设集合A= N+ , B= N+,对应关系f : x-y=2x,则（ 1）集合 Axx 元素 2 所对应的象是 。（2）集合Bxx元素2所对对应的原象是 【解析】：（ 1） 4（ 2） 1变式练习：设f: A-B是从集合A到集合B的映射，A= B= （x , y） 1 x

3、6 R, y 6 R,若 f : （x, y） （ x y, x + y）（ 1）求集合Axx 元素（1 ， 2）在集合Bxx 对应的元素。（ 2）求集合Bxx 元素（1 ， 2）在集合Axx 对应的元素。【解析】：（ 1） （ 3， 1） （2） （ ， ）二、函数（一）、函数的概念：设 A、B是非空的数集，如果按照某个确 定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有 唯一确定的数f（x）和它对应，那么就称f : A-B为从集合A到集合B 的一个函数。记作：y = f（x） , x£A。其中， x 叫做自变量， x 的取值范围 A 叫做函数的定义域 （集合） ； 与

4、x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合f（x） 1x6 A 叫 做函数的值域（集合）。定义域、值域与对应关系f统称为函数的三要素。例2:下面哪一个图形可以作为函数的图象（）ABCD变式练习：设 A= x | 0<x<2, B= y | 1<y<2,如下图, 能表示从集合A到集合B的映射是（）【解析】：D（二）区间的概念：设，是两个实数，而且我们规定：（1）满足不等式w xw的实数x的集合叫做闭区间，表示为,;（2）满 足不等式< x<的实数x的集合叫做开区间，表示为（，）；（3）满足 不等式w 乂<或< xw的实数x的集合叫做半开半闭区间，分

5、别表示为 左闭右开和xx闭区间。必修一函数及其表示讲义定义名称符号数轴表示定义符号xa <x <b闭区间a,bx |< x < +=c(_o0 , +cC )abxa <x <b开区间(a,b)x | x 之 aa,f)abx|a <x <b左闭右开区间a,b)x | x > a(a*)abx|a <x <b左开右闭区间(a,bx | x < b(-oo,bab(三)、函数的定义域：自变量 x的取x | x < b(-oo,b)值范围。1、简单函数定义域的类型及求法：(1)分式函数中分母不等于零；(2)偶次根式函数被

6、开方式大于或等于 0;(3) 一次函数、二次函数的定义域为 R;(4) y= ( >0 且# 1), y = sin x , y = cos x ,定义域均为 R;(5) y = tan x 的定义域为x | x6 R 且 x#k+ , k Z；(6) 对数函数的定义域是真数大于 0;(7) 函数f(x)=的定义域与指数的关系，对于不同的值，定义 域不同。(8)由实际问题建立的函数，还要符合实际问题的要求。2、对于抽象函数定义域的求法:( 1)若已知函数f(x) 的定义域为 ， ，则复合函数fg(x) 的定义域由不等式w g(x) w求出；( 2)若已知函数fg(x) 的定义域为 ， ，

7、则 f(x) 的定义域为g(x) 在 ， 上的值域。例 3：求下列函数的定义域。(1) f(x) = (2) f(x) = (3) f(x) = +(4) f(x) = (6) f(x)=【解析】：(1) x> (2) x手一(3) xA1 且 x#3(5) xn2或 XW3 (5) -4<x<1变式练习 1：设 A= x ly = , B= x ly = ,则 AC B=c【解析】：变式练习2:函数f(x)=的定义域为【解析】：(2k-, 2k + ) , k6 Z变式练习 3:设 A= x ly = , B= x ly = ,则 AC B=c【解析】：A=(2k, 2k

8、+ ), B=4, 3,则 AA B=例 4： 已知等腰三角形的周长为 20， 请将底边 y 表示为腰 x 的函 数，并写出 x 的取值范围。【解析】y=20-2x, 5cx<105c x< 10例 5：( 1 )已知函数f(x) 的定义域为 1 ， 4 ，则 f (x 2) 的定义域为 。( 2)已知函数f(2x 1) 的定义域为 ( 1， 0) ，则 f(x) 的定义域为 。【解析】(1) / 1<x + 2<4, /. - 1<x<2(2) 1<x<0,.一2<2x<0,.一 1<2x+1<1变式练习：( 1)已知函

9、数f(x) 的定义域为 5， 5 ，则 f (3 2x) 的定义域为 。(2)已知函数f(x 1) 的定义域为 0 ， 3 ，则 f(x2) 的定义域为。【解析】(1) 1,4, (2) 0<x<3, 1<x+1<4, 1<x2<4, 则2WxW 1 或 1WxW2例 6：下列说法中正确的是()A： y = f(x)与y = f(t)表示同一个函数B： y = f(x)与y = f(x +1)不可能是同一函数C： f(x) = 1与f(x) = x0表示同一函数D：定义域和值域都相同的两个函数是同一个函数【解析】 A变式练习：判断下列各组函数，哪些是同一函数

10、(1) f(x) =x 与 g (x) = (2) f(x) =x 与 g(x)=(3) f(x) = | x 1 与 g(x) = (4) f(x) =x2 与 g (x) =(x+1)2(5) f(x) =x 与 g(x) = (6) f(x)=与 g (x) =x- 1 (7) f(x) =x22x+1 与 g(t) =t22t + 1必修一函数及其表示讲义例7:已知函数f(x) =x22x3,求( 1) f(1) ， f(2)( 2) f() ， f( 1)( 3) f( 1) ， ff( 1) ， f f( 2) (4)若 g(x)=,则求 fg(x) 和 gf(x)变式练习1:已知

11、函数f(x)=,求( 1)计算：f (1)， f(2)， f()(2)计算：f (1)f(2)f()f (3) f () f (4) f ()f (5) f ()f (6)f()变式练习2：定义在R上的函数f(x)满足f(x +y)=f(x) +f(y)+ 2xy (x、y6R),且 f(1) =2,则 f( -3)=()A： 2B： 3C： 6D： 9【解析】：f(1) =f(1 +0)=f(1) +f(0) +0,得 f(0) =0f(0) =f( -1 + 1) =f( 1)+f(1) 2,得耳1)=0f( -2) =f( -1-1)=f( -1)+f( 1)+2,得式2)=2f( 3)

12、=f( -1-2)=f( -1)+f( 2)+4,得式3)=6变式练习3:函数满足则常数c等于()A 3BCD:【解析】：=乂得c = - 3 B三、函数的值域(一)、值域：函数，我们把函数值的集合称为函数的值域。(二)、基本函数的值域：1、一次函数的值域为R;2、二次函数；xR的值域.2. 2a>0时，值域是丝七b-,+g)；a<0时，值域是(-% 生也4a4a3、反比例函数的值域为 4、指数函数y= ( >0且#1)的值域为(0, +85、对数函数y= ( >0且#1)的值域为R;6、正弦 y = sin x , xx 函数 y = cos x 的值域1, 1;7、

13、正切函数y = tan x的值域为R;8、函数f(x)=的值域与指数的关系，对于不同的值，值域不同。(三)求值域的具体方法1、观察法(直接法)：例8:求函数f(x) =2x+1, x1 , 2, 3,4， 5【解析】：y63, 5, 7, 9, 11变式练习：求函数的值域：(1) f(x) =+1 (2) f(x)=【解析】：(1) y>1 (2) yO2、配方法：利用二次函数求值域【二次函数的对称轴x=,顶点坐标(，)】；例9:求函数f(x) =x2-6x-7, xR的值域解：f(x) =x2-6x-7=(x -3)2 -16>- 16,所以函数的值域y I y>- 16或

14、。变式练习：求函数的值域必修一函数及其表示讲义(1) f(x) =x2 4x3, xR f(x) = x2 6x+7, xR(3)f(x) =x2-4x- 3, x1,3(4) f(x) =-x2-6x + 7,x 1， 3(5)设、是方程4x24m奸2 (x6R)的两实根，当m为何 值时，有最小值？求出这个最小值。【解析】：3、分离常数法：【形如反比例函数的值域y = (k?0),例10:求函数f(x)=的值域。【解析】：f(x) = = =2 y#3变式练习：求函数f(x)=的值域。【解析】：f(x) =5+ y#54、单调法：先判断函数f(x) 的区间上的单调性，再代入端点求值域的方法。

15、例11:已知函数f(x)=,求函数的最大值和最小值。【解析】：函数f(x) 在 2 ， 6 上是减函数，所以函数在区间上的两个端点分别取得最大值与最小值，当x = 2函数取最大值2,当x6 函数取最小值0.4 。变式练习1:求函数f(x)=的值域。【解析】： 9 ， 12变式练习2：求下列函数的值域(1) f(x) = (2) f(x)=【解析】：(1) f(x) = (2) f(x)=5、换元法例12:求函数f(x) =x +变式练习1：分别求下列函数的值域(1) f(x) =2x+(2) f(x) =2x-变式练习2：分别求下列函数的值域(1) f(x) = + 6X 3 (2) f(x)

16、 =sin2x+2cosx36、基本不等式法【基本不等式章节重点讲解】例13:求函数f(x) =x + (x >1)的最小值例14:求函数f(x) =xX(3 2x) (0<x<)的最大值7、三角函数法【三角函数章节重点讲解】8、导数法【导数章节重点讲解】9、三角代换法( 参数法 ) 【极坐标与参数方程章节重点讲解】四、函数的表示法(一)表示函数的方法有：有解析法、列表法和图象法三种。(1)、解析法：如果函数y = f(x) (x6A)中，f(x)是用代数式(或解析式)来表达的，则这种表达函数的方法叫做解析法(公 式法)。( 2)列表法：通过列出自变量与对应函数值的表格来表示

17、函数 关系的方法叫做列表法。( 3)、图象法：用函数图象表示两个变量之间的函数关系的方法，叫做图像法。(二)求函数解析式1、拼凑法：已知 f g(x) 的解析式，要求f(x) 的解析式，从fg(x)的解析式中拼凑出“ g(x) ”，两边用“ X”代替“ g(x) ”即可 得到 f(x) 的解析式。例 13:若 f()=，求 f(2)【解析】f ()=. f (x)= . f(2)=变式练习：(1)已知f (x +)=x2+ ,求f (x)(2)已知 f ( +1) =x + 2,求 f (x)【解析】：(1) f(x) =x2 2(2) f (x)=x212、换元法：已知函数f g(x)的解析

18、式，令g(x) =t,求f(t)的解析式，用 x 代替两边所有的 t ，即可。例 14:已知函数 f (2x +1) =x2 2x,求 f (1)【解析】令 2x+1 = t，则 x =. f (t )=()2 -2X =. f (x) = f (1)= = 0变式练习：(1)已知 f ( +1)=x + 2,求 f (x)(2)已知 g(x) =1 2x, f g(x)=(x?0),求 f ()(3)已知 f () =x+,则 f(1) =。(4)已知 f () =4xX + 233,则 f+f(4) +f(8) +f(28) 的值等于 。【解析】：(1) f (x)=x21(2) f ()

19、 =15(3) f(1)=1(4)令=1，贝U x=，贝U f (t) =4+233,故 f(2) +f(4) + f(8) + + f(28)=4+8+12 + + 32+ 233X 8= 20083、 方程组法： 已知 f(x) 与 fg(x) 满足的关系式， 要求 f(x) 时， 用 g(x) 代替两边所有的x ，得到关于f(x) ， fg(x) 的方程组，解方程组得 f(x) 。例 15:已知函数 f (x)满足，f(x) -2 f () =3x+2,求 f (x)的解析式。【解析】：用代替x得：f () -2 f (x) =3X + 2解之得：f (x) =-x-2变式练习：已知函数

20、f(x)满足：f (x) +2 f ( x)=x2 + x,求 函数 f(x) 的解析式。必修一函数及其表示讲义【解析】：f(x)=4、待定系数法：( 1)、初中所学一次函数、反比例函数、二次函数解析式的求法。一次函数：f(x) =kx + b (k ?0); 反比例函数：f (x)= ()，二次函数：( 2)若已知f(x) 函数的类型，求 f(x) 的解析式，可根据类型设其解析式，然后确定其系数即可。例16:已知一次函数f(x)满足曲(x)=4x + 3,求f (x)的解析式。【解析】设：f(x) =kx + b (k ?0) ff(x)= f (kx +b)= k(kx +b)+b =k2

21、x+kb + b =4x3解之得或. f (x) =2x+1 或 f (x)=-2x-3必修一函数及其表示讲义例17:已知函数f(x)是一次函数，且2 f (1) +3 f (2) =3, 2 f ( -1)-3 f (0) =1,求 f (x)的解析式。【解析】设：f(x) =kx + b (k ?0),由题意得解之得：(x) =x-变式练习：(1)已知一次函数f(x)满足曲(x)=9x + 8,求f (x)的解析式。(2)已知一次函数 f(x)满足：3f(x +1)2f(x 1) = 2x+17, 求 f (x) 的解析式。【解析】(1)f(x)=3x + 2 或 f (x) =-3x-4

22、(2)f(x)= 2x+7四、分段函数：在定义域内，对于自变量x 的不同取值范围，对应关系(对应法则)不同，这样函数通常称为分段函数。由此可知，作分段函数的图像时，应根据不同定义域上的不同解析式分别作出。注意： ( 1)分段函数是一个函数；(2)在分段时端点不重也不漏；(3)分段函数的定义域为每段范围的并集，值域也是每个区域内值域的并集。(一)分段函数的图象例18:作出函数f(x) = 1 x 1的图象。【解析】：f(x) = 1 x I =变式练习：作出分段函数的图像(二)分段函数的求值。例 19:已知函数 f (x)=求：(1) f (3)(2) f f (3)3) f f f (3) 【

23、解析】：:(1) 3>2,.f (3) =324X3=3;(2) 3<2,. f f =f ( 3) = X(3)=-(3) .2< <2, . f f ( 3 ) =f (-)=变式练习1:已知函数f (x)=,(1)求 f f (-1) (2)若 f() =3,求的值。【解析】：(1) f f (-1) =2(2)=或=必修一函数及其表示讲义变式练习2:设于0,函数f(x)=,若烦 )=4,则f()等于( )A: 8 B: 4 C: 2 D: 1【解析】A课后综合练习【解析】：(2) (3)2、函数y = f(x)的图象与直线乂 =的交点的个数为()A:必'有1个 B: 1个或2个C:至多1个 D:可能2个以上3、若函数f(x)=的定义域为R,则实数的取值范围是必修一函数及其表示讲义4、已知f(x)是定义在正整数集上的函数