混沌摆的建模和仿真唐有绮pdf

1、第4 期唐有绮等：混沌摆的建模和仿真493混沌摆的建模和仿真 1)唐有绮 ¤2)陈立群 y¤(上海应用技术学院机械工程学院，上海 201418) y(上海大学力学系，上海 200444)摘要 考察一类混沌演示实验装置 | 混沌摆. 应用拉格朗 日方程建立四自由度无阻尼非线性自由振动的动力学方程. 用数值仿真揭示系统存在准周期运动和混沌运动，并说明了 混沌运动具有初值敏感性.关键词 摆，非线性振动，混沌，数值仿真中图分类号：O316 文献标识码：A doi：10.6052/1000-0879-14-125混沌是 20 世纪取得的重要科学发现之一. 混 沌虽然不属于理论力学的教

2、学要求，但在理论力学 课程里适当介绍，可使学生获得确定性系统也可能 产生非确定运动的初步概念，改变传统的确定性思 维方式 1. 有些理论力学教材已经有简要介绍混沌 的尝试. 谢传峰和王琪的教材 2 结合倒摆的受迫振 动，陈立群和薛纭的教材 3 结合双摆自由振动，用 数值方法展示了混沌运动的非周期性和初值敏感性.就大学生的知识准备而言，用实验和数值仿真 结合的方法，展示混沌运动，比较通俗易懂，能起到 较好的教学效果，也不增加学生很多负担. 教材 2 中的倒摆受迫振动系统，其实是北京大学做过倒摆 实验 4 的简化模型. 教材 3 中讨论的双摆系统， 网上能找到多种实验视频. 刘延柱等 5 对一种混

3、沌 玩具建立了磁耦合双摆的动力学模型，并进行了仿 真研究.目前许多学校都有混沌摆的实验装置，如图 1 所示. 这类实验装置可以非常直观地演示混沌运动. 但目前尚没有见到关于该装置的建模和仿真. 本文 应用拉格朗日方程建立该系统的数学模型，并进行 数值模拟. 数值仿真结果说明了混沌运动的非周期 性和初值敏感性.1 动力学模型如图 1 所示，力学演示装置 | 混沌摆由一个T 型的主摆以及主摆 3 个端点悬挂着 3 个副摆组成. 主摆绕固定点 O 旋转，外侧与副摆通过铰链连接. 所有铰链约束均为无摩擦的理想柱铰链约束. 故混 沌摆为一典型的无阻尼自由非线性振动系统. 有初 角速度或角位移时，系统就做

4、自由振动. 转动转轴， 便给主摆一个初角速度；转动转轴使摆偏离平衡位 置然后释放，就是给了主摆一个初角位移.设主摆 (3 个摆长均为 l1 的匀质杆) 的质量为 3m1，3 个匀质副摆的质量均为 m2，摆长均为 l2，建 坐标系如图 2 所示.主摆顶点坐标和副摆质心坐标分别为 xi 和 yi图 1 混沌摆图 2 示意图20140409 收到第 1 稿，20140526 收到修改稿.1) 国家自然科学基金青年基金 (11202135), 上海高校青年教师培养资助计划 (ZZyyy12035), 上海应用技术学院引进人才科研启动 项目 (YJ2012-13) 资助.2) 唐有绮，1984 年生，男

5、，博士，讲师，硕士生导师，主要研究方向为非线性动力学与振动控制494力学与实践2014 年 第 36 卷(i = 1; 2; ¢ ¢ ¢ ; 6). 系统存在 4 个自由度，设之为摆角 µi (i = 1; 2; 3; 4)，于是有8 x1 = l1 sin µ1; 8 x2 = l1 sin µ1 + 0:5l2 sin µ2;8 x3 = ¡l1 cos µ19< y1 = l1 cos µ1< y2 = l1 cos µ1 + 0:5l2 cos µ2<

6、; y3 = l1 sin µ1>>>>>: x4 =l1 cos µ1 +:23x5 = l1 cos µ1:x6 = l1 cos µ1 + 0:5l2 sin µ4>>>8¡ 8;8=< y4 = l1 sin µ1 + 0:5l2 cos µ3< y5 = l1 sin µ1< y6 = l1 sin µ1 + 0:5l2 cos µ4>0:5lsin µ>¡¡>&

7、gt;>:>>>系统动能为;111T =(m1+ 3m2) l12µ_12 +m2l22³µ_22 + µ_32 + µ_42´ +m2l1l2µ_1 hµ_2 cos (µ1 ¡ µ2) +262系统势能为µ_3 sin (µ1 ¡ µ3) ¡ µ_4 sin (µ1 ¡ µ4)iU = ¡0:5g (m1 + 2m2) l1 cos µ1+ m2l2

8、 (cos µ2 + cos µ3 + cos µ4)理想状态下忽略摩擦，混沌摆是保守系统. 将式得到混沌摆自由振动的微分方程组为(2) » 式 (3) 代入到保守系的拉格朗日方程中，整理µÄ1 = ngh3m2 cos (µ1 ¡ 2µ3) ¡ 3m2 cos (µ1 ¡ 2µ4) ¡ 3m2 sin (µ1 ¡ 2µ2) ¡(4m1 + 5m2) sin µ1i ¡ 3l1m2h sin 2

9、(µ1 ¡ µ2) ¡ sin 2 (µ1 ¡ µ3) ¡ sin 2 (µ1 ¡ µ4) iµ_12¡4l2m2h sin (µ1 ¡ µ2) µ_22 ¡ cos (µ1 ¡ µ3) µ_32 + cos (µ1 ¡ µ4) µ_42io.n8l1m1 + 3l1m2h5 ¡ cos 2 (µ1 ¡ &#

10、181;2) + cos 2 (µ1 ¡ µ3) + cos 2 (µ1 ¡ µ4) ioµÄ2=¡3 hg sin µ2 ¡ l1 sin (µ1 ¡ µ2) µ_12 + l1 cos (µ1 ¡ µ2) µÄ12i2l2µÄ3=¡3 hg sin µ3 + l1 cos (µ1 ¡ µ3) µ_12 + l1 s

11、in (µ1 ¡ µ3) µÄ12i2l2µÄ4=¡3 hg sin µ4 ¡ l1 cos (µ1 ¡ µ4) µ_12 ¡ l1 sin (µ1 ¡ µ4) µÄ12i2l2如果仅考虑中间两杆，则方程组简化为双摆自由振动的微分方程Ä= ¡f3g (4m1 + 5m2) sin µ1 + 3m2 sin (µ1 ¡ 2µ2) + 6m2

12、 sin (µ1 ¡ µ2) ¢µ1h3l1 cos (µ1 ¡ µ2) µ_12 + 2l2µ_22io.fl1 8m1 + 15m2 ¡ 9m2 cos 2 (µ1 ¡ µ2)gµÄ2=¡3 hg sin µ2 ¡ l1 sin (µ1 ¡ µ2) µ_12 + l1 cos (µ1 ¡ µ2) µÄ12i2l22

13、 数值仿真解法对系统 (4) 进行数值求解.(1)(2)(3)(4a)(4b)(4c)(4d)(5a)(5b)本文考虑系统无阻尼且为光滑约束. 系统相关初始条件较小时，系统呈现有规律的运动. 图 3参数如下：固定长度 l1 = 0:3 m 和 l2 = 0:18 m、给出了初始角位移 µ10 = 0:01 rad, µ20 = 0 rad, µ30 =宽度 b = 0:02 m、厚度 h = 0:005 m、密度 ½ = 2:8£0 rad 和 µ40= 0 rad 以及初始角速度 µ0 = 0 rad/s,10103 kg

14、/m3，则质量 m1 = 0:084 kg 和 m2 = 0:050 4 kg.µ200 = 0 rad/s, µ300 = 0 rad/s 和 µ400 = 0 rad/s 时系统下面运用 Matlab 软件并采用 4 阶龙格 - 库塔数值的时程图. 从图中可以看出系统有准周期运动.第 4 期唐有绮等：混沌摆的建模和仿真495初始条件较大时，摆的运动变得不规律. 多数学以及初始角速度 µ100 = 3 rad/s, µ200= 0 rad/s, µ300 =生都是用手转动转轴让主摆转动. 这时候的初始条0 rad/s 和 µ

15、;400 = 0 rad/s 时系统的时程图. 从图中可件为零角位移和非零角速度. 图 4 给出了初始角位以看出系统有非周期运动.移 µ10 = 0 rad, µ20= 0 rad, µ30 = 0 rad 和 µ40 = 0 rad图 3 非零初始角位移 µ10 所对应的时程图图 4 非零初始角速度 µ100 所对应的时程图496力 学 与实 践2014 年 第 36 卷采用转动主摆偏离平衡位置的初始条件更容易角速度 µ100= 0 rad/s, µ200 = 0 rad/s, µ300 = 0 rad

16、/s 和控制. 这时候可以观察混沌运动的初值敏感性. 例如µ400 = 0 rad/s 时，不同初始角位移 µ10 所对应的时程把主摆转过 90±，等所有摆都平衡再无初速地释放.图和相图. 其中点线表示 µ10 = ¼=2 rad；实线表示不论多么仔细，这种运动不可能重复. 这种初值敏感µ10 = ¼=2 + 0:01 rad. 从图中可以看出，摆动的初始性得到下面的仿真结果支持. 图 5 给出了初始角位状态极小的差异，将导致以后某一时刻状态的极大移 µ20= 0 rad, µ30 = 0 rad 和 µ40 = 0 rad 以及初始差异.图 5 不同初始角位移 µ10所对应的时程图和相图3 结束语列报告会, 2013本文应用拉格朗日方程建立了混沌摆的数学模2谢传峰, 王琪