必修5数列知识点总结及题型归纳

1、百度文库-让每个人平等地提升自我数列一、数列的概念/(1)数列定义：按一定次序排列的一列数叫做数列；(2)通项公式的定义：如果数列 an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式。例如：1 , 2 , 3 , 4, 5 ,分 11111/2 3 4 5(3)数列的函数特征与图象表示：4 5 6 7 8 9序号：1234 56/ 项：4567 89(4)数列分类：按数列项数是有限还是无限分：有穷数列和无穷数列；按数列项与项之间的大小关系分：单调数列(递增数列、递减数列)、常数列和摆动数列。例：下列的数列，哪些是递增数列、递减数列、常数列、摆动数列？(1) 1,

2、2, 3, 4, 5, 6,(2)10, 9, 8, 7, 6, 5,(3) 1, 0, 1, 0, 1, 0,(4)a, a, a, a, a,(5)数列an的前n项和Sn与通项an的关系:(n 1)Sn Sm(n>2) 例：已知数列an的前n项和Sn 2n2 3,求数列an的通项公式二、等差数列题型一、等差数列定义：一般地，如果一个数列从第 2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。用递推公式表示为an an 1 d(n 2)或 an 1 an d(n 1)。例：等差数列an 2n Y , an an 1

3、 /题型二、等差数列的通项公式：an a1 (n 1)d ；等差数列(通常可称为 AP数列)的单调性：d 0为递增数列，d 0为常数列，d 0为递减数列。例：1.已知等差数列 an中，a7 a9 16, a4 1,则a12等于()A. 15 B . 30 C . 31 D . 642. an是首项a1 1,公差d 3的等差数列，如果an 2005,则序号n等于(A) 667(B) 668(C) 669(D) 67012百度文库-让每个人平等地提升自我23题型三、等差中项的概念:定义：如果a, A, b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项。其中 Aa ba, A, b成等差数列A b 即：2a

4、n12an 2(2anan m a n m)例：1.设an是公差为正数的等差数列,若a1 a?a315 , a1a2a3a11a2a13A. 120. 105C.90. 752.设数列an是单调递增的等差数列，前三项的和为12,前三项的积为48,则它的首项是（A. 1题型四、等差数列的性质:(1)在等差数列an中,从第2项起，每一项是它相邻二项的等差中项;(2)在等差数列an中,相隔等距离的项组成的数列是等差数列;(3)在等差数列an中,an am (n m)d , d(4)在等差数列an中,题型五、等差数列的前n和的求和公式:Snn(a an)na1(Sn An2 Bn(A,B为常数)an是

5、等差数列递推公式：Sn(a an)n(am an (m 1) ) n2例：1.如果等差数列an中,a3a4a512 ,那么a1(A) 14(B) 21(C) 282.设Sn是等差数列a的前n项和，已知a23a6A. 13 B3.设等差数列an的前n项和为Sn,若 S9 72 ,则a24.若一个等差数列前3项的和为34,最后3项的和为项1465.设等差数列 an的前n项和为S9Sn,若% 5a3 则S56.已知an数列是等差数列,a102A. 一3C.390,则这个数列有（d2an a paq ；an am /(m n)；n mn(n 1)da2a7(D)3511 ,则S7等于（63a4a9 二

6、且所有项的和为项10,其前10项的和Sio70,则其公差d等于（）2D. 3百度文库-让每个人平等地提升自我347.设 an为等差数列，&为数列 an的前n项和，已知 S=7, S5=75, Tn为数列S的前nn项和，求Tn。题型六.对与一个等差数列，Sn , S2nSn,S3nS2n仍成等差数列。例：1.等差数列an的前m项和为30,前2m项和为100,则它的前、3m项和为（）2. 一个等差数列前n项的和为48,前2 n项的和为60,则前3 n项的和为3.设Sn为等差数列an的前n项和，S4 14, SioS730,则 S9 =4./ （06全国II ）设&是等差数列 an的

7、前n项和,芳S3右 S63,则S6S12A 130题型七判断或证明一个数列是等差数列的方法:D i定义法:an 1an d（常数）（an是等差数列中项法:1anan 2(n N )an是等差数列通项公式法:前n项和公式法:ankn b(k,b 为常数)an是等差数列例：1.已知一个数列A.等差数列2.已知一个数列A.等差数列Sn An2an的前n项和SnB.等比数列 C.an的前n项和SnB.等比数列 C.Bn (A, B为常数) an2n2 4,则数列an为（既不是等差数列也不是等比数列22n ,则数列an为（）既不是等差数列也不是等比数列3.数列 an 满足 a1=8, a42,且 an2

8、 2an 1an是等差数列D.无法判断求数列an的通项公式;D.无法判断题型八.数列最值(1)ai 0, d 0时，Sn有最大值；a1 0, d 0时,Sn有最小值;Sn最值的求法：若已知 Sn, Sn的最值可求二次函数Sn2an bn的最值;可用二次函数最值的求法（nN）；或者求出an中的正、负分界项，即:百度文库-让每个人平等地提升自我若已知an,则Sn最值时n的值(nan0 - an0N )可如下确定或。an 10an 1045例:1.等差数列an中，a10, S9&2,则前项的和最大。设等差数列 an的前n项和为Sna312, S120, S1303.求出公差d的范围,指出S1

9、, S2, , S12中哪一个值最大,并说明理由。已知an是等差数列，其中a131,公差d 8。(1)数列an从哪一项开始小于0?(2)求数列an前n项和的最大值，并求出对应 n的值.题型九.利用anSi(n 1)求通项.Sn Sni (A 2)1 .已知数列 an的前n项和Sn n2 4n 1,则22.设数列an的前n项和为Sn=2n ,求数列an的通项公式;13.已知数列 an 中，a13,刖 n和 Sn(n 1)(an1) 12求证：数列 an是等差数列求数列an的通项公式4.设数列an的前n项和Snn2,则a8的值为(A) 15等比数列(D) 64(C)(B) 1649anq等比数列定

10、义：一、递推关系与通项公式a qn m推广：anam通项公式：an递推关系：an1q1.在等比数列an中，a14,q 2,则 an2.在等比数列 an中，a2百度文库-让每个人平等地提升自我3.在各项都为正数的等比数列an中，首项ai 3,前三项和为21,则a3 a4 a5()A 33 B 72 C 84 D 189二、等比中项：若三个数 a,b,c成等比数列，则称 b为a与c的等比中项，且为 bJOB,注：b2ac是成等比数列的必要而不充分条件.例：1. 2 、,3和2 、, 3的等比中项为()(A)1(B) 1(C) 1(D)2三、等比数列的基本性质，(1) <1)若m n p q,

11、则 am an ap aq (其中 m,n,p,q N )、(2) qn m 包，an2 an m an m (n N )am(3) an为等比数列，则下标成等差数列的对应项成等比数列.(4) an既是等差数列又是等比数列an是各项不为零的常数列.例：1 .在等比数列 an中，a1和a10是方程2x2 5x 1 0的两个根，则a4 a7 ()(5) 2_11(A) -(B)(C)(D)-22222 .在等比数列 an 中，a1 a633, a3a4 32, anan 1求an若 Tnlg a1 Ig a2lg an,求Tn3 .等比数列an的各项为正数，且a5a6a4a718,则Iog3alo

12、g3a2log3a10()A . 12 B . 10 C . 8 D . 2+Iog35na (q 1)四、等比数列的前 n项和，Sn &(1 qn) a anq(q 1)1 q 1 q例：1.已知等比数列an的首相a15,公比X 2,则其前n项和Sn 2 .设等比数列 an的前n项和为Sn ,已a2 6, 6al a3 30 ,求an和Sn56百度文库-让每个人平等地提升自我3 .设 f(n) 2 24 27 21023n10(n N),则 f(n)等于()2n2 n 12 n 32 n 4A. -(81)B. -(81) C -(81) D . -(81)五.等比数列的前n项和的性

13、质 /若数列an是等比数列，Sn是其前n项的和，k N* ,那么Sk , S2k Sk，S3k S2k成等比数列 例：1.一个等比数列前 n项的和为48,前2 n项的和为60,则前3 n项的和为()A. 83 B . 108 C . 75 D . 632.已知数列an是等比数列，且 Sm 10, S2m30,则S3m 六.等比数列的判定法/ a(1) TE乂法： q (常数)an为等比数列；an2 中项法：an 1an an 2(an 0) an为等比数列；(3)通项公式法：an k qn (k, q为常数)an为等比数列；(4)前n项和yt： Sn k(1 qn) (k,q为常数)an为等比

14、数列。Sn k kqn (k,q为常数)an为等比数列。§ (n 1)七.利用an,求通项.& Sn 1 (n 2)1例：1.数列an的刖n项和为Sn,且a1=1,an 1- Sn,n=1,2, 3,求a2,用a4的值及数列3an的通项公式/*2.已知数列an的首项a15,前n项和为Sn,且Sn1Snn 5(n N ),证明数列4 1是等比数列.66百度文库-让每个人平等地提升自我求数列通项公式方法(1).公式法(定义法)根据等差数列、等比数列的定义求通项例：1已知等差数列an满足：a3 7,a5 a7 26求an；772.已知数列an满足a12,an an 11(n 1),

15、求数列an的通项公式;3.数列an满足a=8, a4 2,且an 2 2an 1 an 0 ( n N ),求数列an的通项公式;114 .已知数列an满足a1 2, 2,求数列an的通项公式; an 1a n11、5 .设数列an满足a1 0且 1,求an的通项公式1 a n 11 an6.已知数列an满足a12, an 3an 1(n 1),求数列an的通项公式;7.已知数列an满足a12, a24且an 2 an2an 1( n N),求数列an的通项公式;8 .已知数列an满足a1 2,且an 1 5n 1 2(an9 .已知数列an满足a1 2,且an1 5 2n 1 2项公式；5n

16、) ( n N ),求数列an的通项公式；3(an 5 2n 2) ( n N ),求数列 an 的通(2)累加法1、累加法 适用于：an 1 an f(n)a2 3f (1)a3 a2f 右 an1 anf (n) (n 2),则Hl gan 1 an f (n)百度文库-让每个人平等地提升自我n两边分别相加得 an 1 aif(n)k 11例：1.已知数列an满足a1-,21一2,求数列an的通项公式。4n 12.已知数列an满足an1an 2n 1, a11,求数列an的通项公式。3 .已知数列an满足an 1an 2 3n 1, a13 ,求数列an的通项公式。4 .设数列an满足a1

17、2n 1-.-2, an 1 an 3 2,求数列an的通项公式(3)累乘法适用于：an 1 f(n)an若也 f(n),则型 f(1),也”2),|小,9f(n)anaa21 an例：1.已知数列an满足an 12(n 1)5n an, a1 3,求数列an的通项公式。2n 工2.已知数列 an满足a- , an 1an,求an。3n 13.已知 a13, an 13n 14an (n 1),求 an。3n 2(4)待定系数法适用于 an 1 qan f(n)解题基本步骤：1、确定f(n)2、设等比数列an1f (n),公比为3、列出关系式an 11 f (n 1)2an2 f (n)88百

18、度文库-让每个人平等地提升自我4、比较系数求1,25、解得数列an1f (n)的通项公式6、解得数列an的通项公式例：1.已知数列劣中，a_1a 2an1 1(n 2),求数列 an的通项公式。2 .在数列 an中，若a1 1,烝1 2街 3(n 1),则该数列的通项 an 3 .已知数列an满足an 1 2an 3 5n, a1 6 ,求数列an的通项公式。/ 解：设 an 1 x 5n 1 2(an x 5n),51,1、n 1,4 .已知数列an 中，a1 一，an1-an(-),求an632n 15.已知数列an满足an 1 2an 4 3 , a1 1,求数列 an的通项公式。(5)

19、递推公式中既有 Sn又有anS1,n 1把已知关系通过an转化为数列 an或Sn的递推关系，然后采用相应的方法求解。Sn Sn 1，n 211 .数歹Uan的刖 n 项和为 4,且a1=1,an 1- Sn,n=1,2,3, ,求a2,a3,a4的值及数列an3的通项公式.12 .已知数列 an 中，a1 3,刖 n和 Sn -(n 1)(an 1) 12求证：数列 an是等差数列求数列 an的通项公式/13 .已知数列an的各项均为正数,、且前n项和Sn满足Sn 一9口 1)(4)，且22e4,29成等比数列，6求数列an的通项公式。/(6)倒数变换法适用于分式关系的递推公式,分子只有一项/

20、2a.例：1.已知数列an满足an 1 ,酬1 '求数列an的通项公式。an 2100百度文库-让每个人平等地提升自我1011数列求和1.直接用等差、等比数列的求和公式求和。Snn(aan)2na1 S)d2Snna（q 1）a1（1 qn） 二 八 公比含字母时一定要讨论一 （q 1）1 q例：1。已知等差数列an满足a11, a22.已知等比数列an满足a11, a23 ,求前n项和Sn3 ,求前n项和Sn3.设 f(n) 2 24III23n10一.(n N),则f（n）等于（八2 nA. (81) B.72 n 17(81) C.7(8n3 1)2 n 4D. (81)72.错位相减法求和：如:an等差，bn等比，求a1bla2b