浅谈向量在立体几何中的应用12

1、用空间向量解立体几何题王建正空间向量是数学中的重要内容之一，由于空间向量具有数形兼备的特点，与代数、几何知识密切联系，所以是一个重要的数学工具。 用“空间向量”解决立体几何的实质是将综合推理转化为代数运算，建立“由形到形，由形到数，由数到形”的新方法，即在计算或证明立体几何问题时，建立空间直角坐标系，把图形中的相关点用坐标表示，相关的线段用空间向量表示，从而将空间问题用坐标运算求解，可以避免较为复杂的空间想象。 求距离的应用 求点到直线的距离定理 在直线上任取一点，取直线的一个方向向量，则点到的距离。例 设正方体的楞长为，如图。求上底面中心到直线的距离。ABCDA1B1C1D1O1yxz图1

2、解 如图建立直角坐标系，则各点坐标为，所以故上底面中心到直线的距离是。 求点到平面的距离定理 设是平面的法向量，是平面的一条斜线，则点到平面的距离为ACBEP图例 在三棱锥中，。如图。求点到平面的距离。解 如图，以为原点建立空间直角坐标系。则各点坐标为，。设。因为，ACBPzxyHE图3所以。， 设平面的法向量为，取设点到平面的距离为。 所以点到平面的距离为。 求异面直线间的距离 定理 、是两条异面直线，是、的公垂线段的方向向量，又、分别是、上任意两点，则异面直线、的就离为例 在四棱锥中，BOACCS图4。如图。求异面直线与间的距离。 解 如图，以为原点建立空间直角坐标系。 则各点坐标是，。

3、， BOACSyxz图设是异面直线与的公垂线段上的方向向量， 是异面直线间的距离。，取。则异面直线与间的距离 所以异面直线与间的距离是。 求两个平行平面的距离求两个平行平面的距离一般转化为线面距、点面距处理。例 在棱长为2的正方体中，为的中点，为的中点。如图。C1ABC DA1B1D1FE图求平面与平面的距离。 解 如图建立直角坐标系，则各点坐标为 ，C1ABC DA1B1D1EFzxyz图因为直线平行于平面，所以平面与平面的距离等于 与平面的距离，而与平面 的距离可看作上任意点到该平面的距离。 设平面的法向量为，取故平面与平面的距离为。 求角的应用 异面直线所成角ABCDES图定理 设直线、

4、对应的方向向量分别为、，则直线所成的角为，异面直线所成角的范围是，若用余弦定理求得，则异面直线所成角应是。例 已知正四棱锥侧棱长与底面边长都相等，是的中点，如图。求异面直线，所成角。解 点在平面的射影为，所以如图建立直角坐标系，为轴、为轴、为轴。 设底面边长为，则各点坐标为，ABCDESOxy图z，而，所以异面直线，所成角是。 直线与平面所成角定理 设是平面的法向量，是直线的方相向量，则直线与平面所成的角为，即直线与平面所成角大小是直线的方向向量与平面的法向量所成角的余角。例 面积为的的正方形所在的平面与面积为的矩形所在的平面互垂直，如图。求与平面所成角。 ABCDEF图解 如图建立直角坐标系

5、， 因为所以则各点坐标为，ABCDEFxyz图所以， 设平面的法向量为，所以，取，则，所以与平面所成角为即。 二面角定理 设，是二面角的两个面，的法向量，则就是二面角的平面角或其补角。当法向量，方向分别指向二面角的内侧与外侧时，二面角大小等于法向量的夹角。 当法向量，方向分别指向二面角的内侧或外侧时，二面角大小等于法向量夹角的补角的大小。 例 正四棱柱中，点在上且。如图。求二面角的大小。ABCDEA1B1C1D1图解 以为坐标原点，射线为轴的正半轴，建立如图所示直角坐标系。则各点坐标为，。 ，。因为 ，ABCDEA1B1C1D1xxyz图故 ，。又 ，所以平面，即是平面的法向量。设向量是平面的

6、法向量，则，。故 ，。令，则，。 等于二面角的平面角，。所以二面角的大小为。 证明方面的应用 证明线面平行的方法证明直线的方向向量与平面的法向量垂直。证明能够在平面内找到一个向量与已知直线的方向向量共线。利用共面向量定理，证明直线的方向向量与平面内两个不共线向量是共面向量。例 在四棱锥中，底面为正方形，侧棱，、分别为的中点。如图。证明：。证明 如图，建立空间直角坐标系。图设，则，。取的中点，则。和是共线向量。所以。 证明线面垂直的方法图证明直线的方向向量与平面得法向量是共线向量。ABCDPE图证明直线与平面内两个不共线的向量互相垂直。例 四棱锥底面为一直角梯形， ，为中点。，。如图求证：平面。

7、证明 如图建立以为原点的直角坐标系，设，。则各点坐标为ABCDPxyzE图，因为且所以 证明面面平行的方法转化为线线平行、面面平行处理。证明这两个平面的法向量是共线向量。例 在正方体中，设分别是棱，的中点。求证ABCDEFMNA1B1C1D1平面平面。证明 如图建立直角坐标系，设正方体边长为，则各点坐标为，图，图ABCDEFMNA1B1C1D1zxy，设平面的法向量为，所以有，取因为向量，所以向量故平面平面。 面面垂直的方法转化为线线垂直线面垂直处理。证明两个平面的法向量互相垂直。ABCA1B1C1ED图例 在直三棱柱中，为中心，为的中点。如图。求证：平面。证明 如图建立直角坐标系，则各点坐标为， ， 设平面的法向量为，平面ABCA1B1C1EDxyz图的法向量为。所以，取，取因为，从而平面。向量的学习为我们研究空间几何提供了一种代数化的研究思想，把研究空间图形的位置关系转化到代数的运算和推理，这对培养和发展学生的能力，特别是思维多元化的能力、推理论证能力提供了空间和平台。