泄洪修建计划

1、 数学建模论文论文题目：泄洪设施修建计划 姓名： 胡益共 学号： 08053328 专业： 化工 姓名： 尧志邦 学号： 08053325 专业： 化工 姓名： 王威 学号： 08053314 专业： 化工 2010 年 7 月 31 日摘要本文建立了泄洪相关问题的最优化模型问题一，首先估算出四条天然河道在2010到2012三年内的泄洪量，得出剩下每年排洪沟应承担的泄洪量，然后根据约束条件建立0-1规划模型，求出的在2010年修建排洪沟2，3,6,8；2011年修建排洪沟5；2012年修建排洪沟9，总费用为万元问题二，本问题采用prim算法求出图（各村之间的预修建网络图）的最小生成树,建立最少

2、总长度河道网络图，计算求得洪河道最少总长度62,最少费用为万元。 问题三，假设维修人员在各村的留宿概率是稳定的，把问题转换成一个离散动态随机过程，也就是马氏链，利用转移概率矩阵，计算得到维修人员留宿每个村的稳定概率。问题四，从短期和长期两方面考虑，解决泄洪问题。关键字：0-1规划，prim算法，马氏链一、问题重述 某个偏远贫困乡,乡政府打算解决防汛水利设施建设问题。从两方面考虑，一是在各村开挖一些排洪沟,以满足近两三年的短期防汛需要；二是从长远考虑，可以通过修建新泄洪河道的办法把洪水引出到主干河流。经测算，修建新泄洪河道的费用为（万元），其中表示泄洪河道的可泄洪量（万立方米/小时），表示泄洪河

3、道的长度（公里）。 请你们通过数学建模方法，解决以下问题：问题1：该乡的某个村区域内原有四条天然河流，由于泥沙沉积，其泄洪能力逐年减弱。在表1中给出它们在近年来的可泄洪量（万立方米/小时）粗略统计数字。水利专家经过勘察，在该村区域内规划了8条可供开挖排洪沟的路线。由于它们的地质构造、长度不同，因而开挖的费用和预计的可泄洪量也不同，详见表2，而且预计每条排洪沟的可泄洪量还会以平均每年10%左右的速率减少。同时开始修建一段20公里长的新泄洪河道。修建工程从开工到完成需要三年时间，且每年投资修建的费用为万元的整数倍。要求完成之后，通过新泄洪河道能够达到可泄洪量100万立方米/小时的泄洪能力。 乡政府

4、从2010年开始，连续三年，每年最多可提供60万元用于该村开挖排洪沟和修建新泄洪河道，为了保证该村从2010至2014年这五年间每年分别能至少达到可泄洪量150、160、170、180、190万立方米/小时的泄洪能力，请作出一个从2010年起三年的开挖排洪沟和修建新泄洪河道计划，以使整个方案的总开支尽量节省（不考虑利息的因素在内）。表1 现有四条天然河道在近几年的可泄洪量（万立方米/小时） 年份编号2001200220032004200520062007200820091号32.231.329.728.627.526.125.323.722.72号21.515.911.88.76.54.83.

5、52.62.03号27.925.823.821.619.517.415.513.311.24号46.232.626.723.020.018.917.516.3表2 开挖各条排洪沟费用（万元）和预计当年可泄洪量（万立方米/小时）编号12345678开挖费用57546553当年泄洪量2536321531282212问题2：该乡共有10个村,分别标记为，下图给出了它们大致的相对地理位置，海拔高度总体上呈自西向东逐渐降低的态势。 其中村距离主干河流最近，且海拔高度最低。乡政府打算拟定一个修建在各村之间互通的新泄洪河道网络计划，将洪水先通过新泄洪河道引入村后，再经村引出到主干河流。要求完成之后，每个村通

6、过新泄洪河道能够达到可泄洪量100万立方米/小时的泄洪能力。表3 各村之间修建新泄洪河道的距离（单位：公里）2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 98 5 9 12 14 12 16 17 229 15 17 8 11 18 14 227 9 11 7 12 12 173 17 10 7 15 188 10 6 15 159 14 8 168 6 1111 1110请你们根据表3中的数据，为该乡提供一个各村之间修建新泄洪河道网络的合理方案，使得总费用尽量节省。（说明：从村A村B的新泄洪河道，一般要求能够承载村A及上游新泄洪河道的泄洪量。）问题3：新泄洪河道网络铺

7、设完成后，打算安排一位维护人员，每天可以从一个村到与之直接有新泄洪河道连接的相邻村进行设施维护工作，并在到达的村留宿，次日再随机地选择一个与该村直接有新泄洪河道连接的相邻村进行维护工作。试分析长此以往，他在各村留宿的概率分布是否稳定？问题4：你们是否能够为该乡提出一个更加合理的解决泄洪的办法？二、模型的合理假设1、修建的新泄洪河道在三年内维持可泄洪量100万立方米/小时的泄洪能力；2、每条排洪沟的可泄洪量以平均每年10%左右的速率减少；3、从村A村B的新泄洪河道，能够承载村A及上游新泄洪河道的泄洪量；4、维修人员在各村的留宿概率是稳定的；5、假设疏通和维护天然河流的费用少于修建河道的费用。三、

8、符号说明:第年第条排洪沟开挖情况，当时表示该排洪沟开挖,当时表示该排洪沟不开挖;:开挖第条排洪沟的费用（万元）;:第年所需要的费用（万元）；：开挖第条排洪沟当年的泄洪量（万立方米/小时）；：第年用于修建新泄洪河道的费用（万元）；：第年四条天然河道的总泄洪量（万立方米/小时）；：泄洪河道的可泄洪量（万立方米/小时）；：泄洪河道的长度（公里）；：三年用于修建新泄洪河道的总费用（万元）；：从2010年起三年的开挖排洪沟和修建新泄洪河道的总开支（万元）。: 各村的代号； ：表示维修人员在第村留宿的概率 ；：表示维修人员从第村转移到邻近第村的迁移概率 三、问题分析问题一，首先根据四条天然河道在近几年的可

9、泄洪量，运用拟合的方法估算出四条天然河道从2010至2014年五年间的可泄洪量，对于剩余的泄洪量在2010到2012这三年内完全由修建的排洪沟承担，2013到2014年分别由排洪沟和泄洪道共同承担，从而保证该村从2010至2014年这五年间每年分别能至少达到可泄洪量150、160、170、180、190万立方米/小时的泄洪能力在2010到2012这三年内，至于如何开挖排洪沟，则根据排洪沟应承担的泄洪量和开挖排洪沟的最少开支原则，建立0-1规划模型求得最优解，决定开挖哪条排洪沟。问题二，要使费用最少，必须使得修建新泄洪河道网络总长度最少，可以绘出各村之间的河道网络图，用prim算法求出图的最小生

10、成树，河道总长度最少，总开支最少。问题三，假设维修人员在各村的留宿概率是稳定的，这样问题是一个离散动态随机过程，也就是马氏链，利用转移概率矩阵，计算稳定状态下留宿每个村的概率。问题四，解决泄洪问题，从短期和长期两方面考虑，短期计划中，很大程度上考虑使用天然河道进行泄洪，无疑是使得开支最少的方案，这样可以结合疏通天然河道和修建排洪沟和河道的方案解决泄洪问题。四、模型的建立与求解4.1问题一模型的建立与求解运用拟合的方法估算出四条天然河道从2010至2014年这五年间的可泄洪量年份编号201020112012201320141号21.420.21917.816.62号1.0 0.0 0.0 0.0

11、 0.0 3号9.1 7.0 5.0 2.9 0.8 4号11.8 4.5 0.0 0.0 0.0 天然河流泄洪量43.4 31.8 24.0 20.7 17.4 由上表得4条天然河道2010到2014年的总泄洪量目标函数是总开支，它包含三年开挖排洪沟的费用，和三年修建新泄洪河道的总费用。即 其中， 目标函数为：min 约束条件为：s t 每年乡政府提供的资金限制： 每年该村排洪量的限制： 每条排洪沟开挖限制： 根据程序运行结果得出下表 年份编号201020112012201320141号21.420.219.017.816.62号1.00.00.00.00.03号9.17.05.02.90.

12、84号11.84.50.00.00.0天然河流泄洪量43.431.824.020.717.4修建排洪沟2,3,6,851,4不修建不修建修建排洪沟费用206900本年修建洪沟泄泄洪量108314000原排洪沟泄洪量0.097.2115.4139.8125.9修建新河道泄洪量000100100实际可泄洪量151.4160.0179.4260.6243.3要求可泄洪量150.0160.0170.0180.0190.04.2 问题二:模型的建立与求解各村之间的预修建网络图设置两个集合和,其中用于存放的最小生成树中的顶点，集合存放的最小生成树中的边。令集合的初值为（假设构造最小生成树时，从顶点出发），

13、集合的初值为。从自东向西，依次经过，所有，的边中，选取具有最小权值的边，将顶点加入集合中，将边加入集合中，如此不断重复，直到时，最小生成树构造完毕，这时集合中包含了最小生成树的所有边。运用手工求解得到如下图计算的泄洪河道最少总长度62,最少费用为万元4.3 问题三：模型的建立与求解假设维修人员在各村的留宿概率是稳定的，则应该有： 维修人员在各村留宿的概率之和为1，则应该有：运用LINGO软件求解得： 村留宿概率G(1)0.1100000G(2)0.5500000E-01G(3)0.1100000G(4)0.1100000G(5)0.1100000G(6)0.5666667E-01G(7)0.1

14、133333G(8)0.1666667G(9)0.1133333G(10)0.5500000E-014.4 问题四：本问题需要从短期与长期两个角度考虑1、短期计划：1） 疏通天然河道2） 开挖排洪沟3） 加固原有水坝与河道2、长期计划：1） 改造 修建截污管道2） 修建蓄水水库，水坝及拦水闸3） 对河道两边进行绿化，防止水土流失堵塞河道4） 乡政府加强环境保护措施，加强全乡绿化短期计划中疏通天然河流尤为重要原因如下预测四条天然河道在1998-2000年的可泄洪量预测结果如下年份编号19981999200020012002200320041号36.0334.7933.5532.3131.0729

15、.8328.592号33.629.3525.120.8516.612.358.13号34.232.130.027.925.823.721.64号83.974.264.454.744.935.225.4天然河流泄洪量187.727170.397153.067135.737118.407101.07783.747因为数据较少，所以只预测1998到2000年三年内天然河道的泄洪量，从表中可以看出如果天然河道疏通后能够达到1999年的状况，其泄洪量完全可以可泄洪量150万立方米/小时的泄洪能力，在短期计划内可以按疏通河道、修建排洪沟、修建河道从主到次的顺序方案，解决泄洪问题。 五、模型评价1）本问题一

16、中采用0-1规划方法运用MATLAB软件进行求解。这样使得模型的计算结果更加准确。2）本问题二构采用的prim模型算法较简单，得到了符合要求的结果。3）本问题四中预测1998-2000年天然河流泄洪量由于数据较少，缺乏相关经验，不能确定预测结果与实际情况的差距。4）模型改进在实际情况可以根据天然河道和排洪沟的位置以及各村之间的地质条件，建立模型，拟定一个修建在各村之间由新泄洪河道和排洪沟、天然河道互通的网络计划，解决泄洪问题。参考文献1赵静 但琦等编著.数学建模与数学实验.:高等教育出版社,2000. 117；2赫孝良，戴永红等编著，数学建模竞赛：赛题简析与论文点评，西安：西安交通大学出版社，

17、2002.6。附录AMatlab程序问题一:%2010年修建排洪沟f=5 7 5 4 6 5 5 3;A=5 7 5 4 6 5 5 3;-25 -36 -32 -15 -31 -28 -22 -12;b=60;-103.9;x f=bintprog(f,A,b)%2011年修建排洪沟f=5 0 0 4 6 0 5 0;A=5 0 0 4 6 0 5 0;-25 0 0 -15 -31 0 -22 0;b=60;-31;x f=bintprog(f,A,b)%2012年修建排洪沟f=5 0 0 4 0 0 5 0;A=5 0 0 4 0 0 5 0;-25 0 0 -15 0 0 -22 0;

18、b=60;-30.62;x f=bintprog(f,A,b)问题三:MODEL:TITLE 各村的预测留宿概率;SETS:PROD/1 2 3 4 5 6 7 8 9 10/:P;LINK(PROD, PROD):T;ENDSETSDATA: ! 转移概率矩阵;T = 0 0.5 0.5 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.5 0 0 0.5 0 0 0 0 0 0 0 0 0.5 0 0.5 0 0 0 0 0 0 0 0 0.5 0 0 0 0.5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0.5 0.5 0 0 0 0 0 0.33 0 0.34 0 0 0.33 0 0 0 0 0 0.5