泛函分析部分知识点汇总

1、度量空间：把距离概念抽象化，对某些一般的集合引进点和点之间的距离，使之成为距离空间，这将是深入研究极限过程的一个有效步骤。泛函分析中要处理的度量空间，是带有某些代数结构的度量空间，例如赋范线性空间，就是一种带有线性结构的度量空间。一、度量空间的进一步例子1、度量空间设x是一个集合，若对于x中任意两个元素x,y ,都有唯一确定的实数d(x,y)与之对应，而且这一对应关系满足下列条件：1° 的充要条件为x=y2° 对任意的z都成立，则称 d(x,y) 是 x,y 之间的距离，称 d(x,y)为度量空间或距离空间。x 中的元素称为点。2、常见的度量空间（1）离散的度量空间设 x是

2、任意的非空集合，对 x 中的任意两点 ，令 称 为离散的度量空间。（2）序列空间S令S表示实数列（或复数列）的全体，对S中的任意两点令 称 为序列空间。（3）有界函数空间B(A）设A是一个给定的集合，令B(A)表示A上有界实值（或复值）函数全体，对B(A)中任意两点x,y ，定义（4）可测函数空间设M(X)为X上实值（或复值）的勒贝格可测函数全体，m为勒贝格测度，若 ，对任意两个可测函数 及由于 ，所以这是X上的可积函数。令（5）Ca,b空间令Ca,b 表示闭区间a,b上实值（或复值）连续函数全体，对 Ca,b中任意两点x,y，定义二、度量空间中的极限、稠密集、可分空间1、收敛点列设 是（X，

3、d）中点列，如果存在 ，使则称点列 是（X，d） 中的收敛点列，x是点列 的极限。收敛点列性质：（1）在度量空间中，任何一个点列最多只有一个极限，即收敛点列的极限是唯一的。（2）M是闭集的充要条件是M中任何收敛点列的极限都在M中。2、收敛点列在具体空间中的意义（1）n 维欧式空间中：为 中的点列，即： 按欧式距离收敛于x 的充要条件是 依坐标收敛于（2）序列空间S中：为 S中的点列，（3）Ca,b空间设 及X分别为Ca,b 中的点列及点，（4）可测函数空间M(X)设 及 f分别为可测函数空间中的点列及点，3、稠密集，可分空间（1）设X是度量空间，E和M是X中的两个子集，令 表示M的闭包，如果

4、，那么称集M在集E中稠密。等价定义： 如果E 中任何一点x 的任何邻域都含有集M中的点，就称M在E中稠密。对任一 ，有M中的点列 ，使得（2）当E=X时，称集M为X的一个稠密子集。（3）如果X有一个可数的稠密子集时，称X为可分空间。三、连续映射1、度量空间中的连续性设 X=(X,d)，Y=（Y，d） 是两个度量空间，T是X到Y中的映射, 如果对于任意给定 ，存在 ，使对X中一切满足 的x，成立 则称T在 连续。 我们也可以用集显来定义映射的连续性连续性的极限定义设T是度量空间(X,d)到（Y，d） 中的映射，那么T在连续的充要条件为当 时，必有2、连续映射如果映射T在X的每一点都连续，则称T是

5、X上的连续映射。称集合 为集合M在映射T下的原像。定理： 度量空间X到Y的映射T是X上的连续映射的充要条件为Y中任意开集M的原像 是X中的开集。四、柯西点列和完备度量空间1、柯西点列设 X=(X,d)是度量空间， 是X中点列，如果对任何事先给定的 ，存在正整数 ，使当n，m>N时，必有 则称 是X中的柯西点列或基本点列。总结：在实数空间当中，柯西点列一定是收敛点列；但是在一般的度量空间当中，柯西点列不一定收敛，但是每一个收敛点列一定是柯西点列。2、完备的度量空间如果度量空间(X,d)中每一个柯西点列都在(X,d)中收敛，则称(X,d)是完备的度量空间。子空间完备性定理完备度量空间X的子空

6、间M，是完备空间的充要条件是：M是X中的闭子空间。五、度量空间的完备化1、等距同构映射设(X,d)， 是两个度量空间，如果存在X到 的保距映射T ，即 ，则称 (X,d) 和 等距同构，此时 T称为X 到 上的等距同构映射。六、压缩映射原理及其应用作为完备度量空间概念的应用，我们介绍巴纳赫的压缩映射原理，它在许多关于存在唯一性的定理（例如微分方程，代数方程，积分方程等）的证明中是一个有力的工具。在介绍压缩映射原理前，我们来介绍压缩映射以及不动点1、压缩映射设X是度量空间，T是X到X中的映射，如果存在一个数a ，0<a<1,使得对所有的x,y属于X，成立 则称T是压缩映射。几何意义：

7、压缩映射就是使映射后距离缩短a倍的映射。2、不动点设X为一个集合，T是X到X的一个映射，如果 ，使得 ，则称x*为映射T的不动点。3、压缩映射定理设X是完备的度量空间，T是X上的压缩映射，那么T有且只有一个不动点。注意：a.完备度量空间中的压缩映射必有唯一的不动点。b.完备性是保证映射的不动点的存在，至于不动点的唯一性，并不依赖于X的完备性。压缩映射具有连续性，即对任何收敛点列 必有八、 赋范线性空间和巴拿赫空间1、赋范线性空间设X是实（或复）的线性空间，如果对于每个向量 ，有一个确定的实数，记为 与之对应，并且满足：1° 且 等价于x=02° 其中 a 为任意实（或复）数

8、；3° 则称 为向量 x 的范数，称X按范数成为赋范线性空间。 注：范数类似于普通向量的长度2、关于极限的定义（依范数收敛）设 是X中一点列，如果存在 ，使则称 依范数收敛于 x ，记为 或3、赋范线性空间的性质1°赋范线性空间不仅是线性空间，也是一个度量空间。如果令 可以验证 的d（x，y） 是X上的距离。依范数收敛于 x 等价于 按距离收敛于x称 d（x，y）为由范数 导出的距离。度量和线性结构之间的协调性：2°范数 是 x 的连续函数。4、巴拿赫空间及常用例子完备的赋范线性空间称为巴拿赫空间。（1）欧式空间 ，对每个 ，定义 欧式空间 按上述范数成Banac

9、h空间。（2）空间，对每个 ，定义空间 Ca，b 按上述范数成Banach空间。（3）空间 ，对每个 ，定义空间 按上述范数成Banach空间。第八章 有界线性算子和连续线性泛函一、有界线性算子和连续线性泛函1、线性算子和线性泛函的定义2、有界线性算子和连续线性泛函3、相关定理4、有界线性算子的范数（算子范数）二、有界线性算子空间和共轭空间1、有界线性算子全体所成空间设X和Y是两个赋泛线性空间， 以表示由X到Y中有界线性算子全体。当A和B属于， a 是所讨论数域中的数，定义中加法运算及数乘运算如下定理1：当Y是巴拿赫空间，也是巴拿赫空间二、共轭空间1、共轭空间的定义一般，设X是赋范线性空间，如果X中定义了两个向量的乘积，并且满