求极限及几种方法论文

1、求极限的几种方法崔令坤摘要：极限概念与求极限的运算贯穿了高等数学课程的始终，掌握求极限的方法与技巧是高等数学的基础。关键词：高等数学，极限方法能力。定义:设函数在点的某个去心邻域内有定义，即存在1.用极限定义求极限例1：（1） 用放法证明: (2) 设（1）证明：，要 记 此式可改写成：用到了二项展开式 得： 当时至此要，只要 即 故令，则时，有2） 证明：当A为有限数时， 因为，故 使得，当n>N时 有从而，上式注意：这里 已为定数，因而，当时， 于是，令，则时2.用Cauchy准则证明极限： 例：设试证收敛，证明：因为对有，（只要（即），故令，则时，有 ，收敛从而，结论得证。3.利用

2、单调有界原理证明极限存在 要点：单调有界原理单调递增，有上界或，有单调递减，有下界。 例：证明：数列单调下降有界，从而有极限。证明：利用已知不等式有故严格单调递减又因为即有下界，单调递减，故存在。数列与子列，函数与数列的极限关系大家都知道数列与子列有如下的极限关系（当时）任意子列有（当时）类似的，函数与数列有如下的极限关系：；若，则有当时，作为分条件都可以减弱。例：试证: 证明：只需证明充分性，而必要性显然成立 按已知条件当时，又，当时，于是令，则时恒有 故5.利用等价代换和初等变形求极限a 大家在求乘除极限里，其因子可用等价因子代替，极限不变。最常用的等降价关系如：当时，（其中），例：1)

3、2) 3) 4) 设有限数a,b,A均不为零，证明：的充分必要条件是解答：1) 解：由于，故原式=2） 解：原式=3） 解：原式=4）证明：（）左边的极限存在表明：时，故从而有：=等价代换=() 右边的极限存在表明：当时，由于对数函数的连续性可知，即：，故有从而有:注：等价代换原理，来源与我分数约分，只能对乘除式里的因子进行代换，在分子（分母）多项式里的单项式不可作等价代换，否则会导致错误。b.利初等变形求极限要点：用初等数学的方法，将加以变形，然后求极限，主要对进行紧缩。例：求 1）. 2) 3) 4) 1）解： 1）式的右边乘以得：从而（当时，）2) 解: 2)式乘以，再对分子反复利用 （

4、当时）从而从而，有：4）解：从而，有：6.利用已知极限1）若，则因为2）若，则。因为Euler常数的经典极限：存在。例1：求的极限解：原式=（其中C为Euler常数，当时，）例2：试借用Stirling公式：来求极限。解：从而，有（其中C为Euler常数）7 利用变量替换求极限 为了将未知的极限简化，或转化为已知的极限来求，可根据极限的特点，引入新的变量，来替换原来的极限过程，转化为新才极限的过程。例：若 试证明：证明：令 则当时，于是从而有：8 两边夹法则 当极限不易求出时，可以考虑将极限适当变形。即将极限适当放大或缩小，使原极限变为新的极限，且二者的极限值相同，则原极限存在，且等于此极限值

5、。 例：求极限的值（1） （2） (1) 解:由于几何平均数小于算术平均数，故分母中的因子由此可知： 而9 LHospital法则 （1）在使用LHospital法则之前，必须考虑它是否属于七种不定型之一。不定行：“”，“”，“”，“”，“”，“”，“”。否则就不能用它。例：1）2）3）解：由LHospital法则：由于.（2）LHospital法则并不是万能的，有时用LHospital法则求不出极限，并等于极限不存在。例如，就是如此。这是因为LHospital法则只是充分条件，而不是必要条件。（3）LHospital法则告诉我们，对于型或型,当存在时也存在吗?请看下面的例子例：求解：这是型，

6、但我们并不能根据当时，的极限不存在，就错误地得出也不存在的结论-事实上，显然有。因此，不存在并不表示本身存在或是不存在，它不仅仅意味着，此时不能使用LHospital发展，而应改用其他方法来讨论（4）型的LHospital法则使用时，只需检验分母趋向无穷大即可，分子趋不趋向没有关系。请看下面的例子。例：设在内可微，且，当时，且（有限数，或），则证明：已知，因此保持取，应用Cauchy中值定理，然后令知函数差分比（当时）. （1）剩下的问题在于根据，（时），由差分比推出（当时）。事实上可以改写成，因此 （2）1）若A=有限数，有（2）可得 （3）保持，令，则使当时，有 .再将固定，令x继续趋向，

7、据（当时），知，使得时，有，由于由（3）2）若，则x充分接近时，。并且对M=1，当时，有，从而：（当固定令时）可见（当时）.由此可见利用1）中结果，由得出，从而注：1）这里是的情况，的情况以及的情况亦有类似的结论和证法。由，及的结论，可知时结论也成立。2）本例虽然称为型的LHosptal法则，实际上对于，条件只要求分母，并不一定要求分子。这一点与型的LHospital法则不同。10 利用Taglor公式求极限例：1）2）3）1）解：原式=2）解：注意到令，而；当时，；从而，原式=3）解：原式=11利用积分定义求极限例：1）2）3）解：1）原式=2）去对数后变成（积分和里选左端点）故原式3） 因

8、为当时，左端的极限右端极限12： 利用级数求解极限问题（1） 利用收敛级数通次趋向于零 例：解：因为（当时） 故正项级数收敛，从而通项（当时）（2） 利用收敛级数余项趋向于零 例：求 解：因为级数收敛，因此其余项 故原极限为零。（3） 利用级数的收敛性 由于若收敛，则也收敛，因此极限存在例：设 证明收敛 证明： 对利用Lagrange中值定理公式因此有故收敛，从而也收敛。13 利用连续性求极限例：求 解：由于初等函数在有定义的地方皆连续原极限12利用两个重要极限求极限（1）（2）下面我们来证明这两个结论成立的情况：（1）证明; 我们先证。首先，对任意，有，其中表示x的整数部分。当时，不等式左，右两侧表现为两个数列极限与利用函数极限的夹逼性，得到再证，为此令，于是当时，从而有将结合起来，就得到yOABC （1）图（1）设的弧度为，由于面积，可以得到。从而有显然上式对于也成立。由于，可知。应用极限的夹逼性，得到的例题：对于的应用求极限：解：例题：对于的应用求极限：解：参 考 文 献1 华东师范大学数学系.数学分