浅谈导数恒成立中的整数问题

1、导数恒成立中问题中的整数问题导数为我们解决有关函数问题提供了一般性方法，是解决实际问题强有力的工具. 与初等数学方法比较，利用导数研究函数性质具有简捷性、有效性和一般性的特点. 以函数为载体，以导数为工具，考查函数图象、极（最）值、单调性及其应用为目标，是最近几年函数、导数及不等式交汇试题的显著特点和命题趋向导数问题灵活多变，经常在与函数、不等式以及数列等知识的交汇处命题，综合程度高，命题时以能力立意为主，思维力度大，涉及的数学思想方法丰富多样，因此，将导数问题归类研究，揭示各种题型的普遍特征和规律，是每一位高中数学教师当之不让的责任.从整体指导思想方面说，解决导数问题关键是要先让学生理解函数

2、的概念，掌握好各类函数的结构特征和基本性质，并能将其用于解决具体问题之中要让学生形成函数思想，真正树立函数观念和变量意识，并能主动利用导数、方程、不等式处理问题，让他们能够在具体问题中顺利实施有效的化归与转化重视逻辑推理，加强逻辑命题的结构分析和命题转化训练（如当且仅当、存在、恒成立、能成立等语言涵义理解）加强实际运用，提高综合应用能力多研究函数性质及解不等式、证明不等式的基本方法，尤其是：构造函数、建立方程、挖掘不等式关系，含参数字母的分类讨论，比较法、分析法、综合法、放缩法等常见的证明方法从具体题型方面说，应该建立导数问题的研究框架，对问题形成整体把握. 根据个人的研究和教学体会，笔者认为

3、导数问题大致可分为七大类：一、导数单调性、极值、最值的直接应用 二、交点与根的分布三、不等式证明（一）作差证明不等式（二）变形构造函数证明不等式（三）替换构造不等式证明不等式四、不等式恒成立求字母范围（一）恒成立之最值的直接应用（二）恒成立之分离常数（三）恒成立之讨论字母范围五、函数与导数性质的综合运用六、导数应用题七、导数结合三角函数八、导数中涉及整数的问题在解决问题时，经常涉及以下八种主要的数学思想和方法：一、数形结合思想二、分类讨论思想三、函数与方程思想四、作差法五、分离参数法六、构造函数法七、构造不等式法八、转换变量法纵观最近几年的高考试题，含参数不等式的恒成立问题成为一个热点，研究的

4、文章也层出不穷，但是对于导数恒成立中与整数有关的问题，大家观注甚少，下面本文将就这类问题的类型进行一番归纳和研讨，抛砖引玉，期望与各位专家同行切磋提高，共同完善. 一、参数的范围与整数相关此类问题，只是将传统的在实数范围内求解的恒成立问题，向整数范围作了一个简单的迁移，只是传统问题在整数范围内的具体化，分析问题的思路和解题的方法与在实数范围内的讨论相同，我们来看具体的问题.设函数在上是单调递增.（）求实数的取值范围；（）若时，求满足条件的最大整数的值.（其中是自然对数的底数）对于本题的第一问，学生解决起来没有太大障碍，值得注意的是临界值在本题中不符合题意，在解题时应重视这个细节，具体解法如下：

5、（），又是上的单调递增，由得的取值范围为.对于本题的第二问，也是本文要重点探讨的问题，我们将用三种方法进行分析和解答.（方法一）构造函数法从要解决的问题入手，观察不等式的形式，不难想到要等价变形，使问题得到转化. 即只需证明恒成立，因此构造一个目标函数来求解.（）设函数，则.（i）当时，在单调递减，因此，符合题意.（ii）当时，.当时，当时，.在.因此，只需,即.设，在上增函数，使，综上，使成立的.符合题意的最大整数的值为2.（方法二）分离参数法对于恒成立问题，我们通常有一种解决方式，即去解决分离参数法，这样做的目的是尽可能地减少讨论.（）欲使，只需，即.设，设，当，上单调递增，使，且当时 当

6、，在上单调递减，在上单调递增，.的范围是，由前面分析知，符合题意的最大整数的值为2.（方法三）猜想验证法对于这类问题，可先通过对取值，缩小的范围，猜测的取值，并对一般情况加以证明.设，因为是上的增函数，且，所以是上的增函数.由条件知，因此猜测满足条件最大整数为2，下面证明对任意，恒成立.因为等价于设 ，当 当当即对任意的都有，即对任意，恒成立，符合题意的最大整数的值为2.二、函数的表达式与整数相关（2008山东卷第21题）已知函数其中nN*,a为常数.（）当n=2时，求函数f(x)的极值；（）当a=1时，证明：对任意的正整数n,当x2时，有f(x)x1.第一问属于常规问题，略解如下：（）由已知

7、得函数f(x)的定义域为x|x1，当n=2时， 所以（i）当a0时，由f(x)=0得1，1，此时=.当x（1，x1）时，0,f(x)单调递减；当x（x1+）时，0, f(x)单调递增.(ii)当a0时，0恒成立，所以f(x)无极值.综上所述，n=2时，当a0时，f(x)在处取得极小值，极小值为当a0时，f(x)无极值.（）(方法一)分类讨论法当a=1时， (i)当n为偶数时，令则）=1+0（x2）.当x2,+时，g(x)单调递增，又g(2)=0，因此g(2)=0恒成立， 所以f(x)x1成立.（ii）当n为奇数时，要证x1,由于0，故只需证ln(x1) x1, 令h(x)=x1ln(x1),则

8、=10(x2), 所以,当x2，+时，单调递增，又h(2)=10， 所以当x2时，恒有h(x)0,即ln(x1)x1命题成立.综上所述，结论成立.（方法二）放缩法当a=1时，当x2，时，对任意的正整数n，恒有1，故只需证明1+ln(x1) x1.令则当x2时，0，故h(x)在上单调递增，因此，当x2时，h(x)h(2)=0，即1+ln(x1) x1成立.故当x2时，有x1.即f（x）x1.三、自变量的范围与整数相关已知函数，.（）若函数依次在处取到极值（i）求的取值范围；（ii）若，求的值（）若存在实数，使对任意的，不等式 恒成立求正整数的最大值第一问属于常规问题，略解如下：（）（i）(ii)

9、.第二问，通过观察题中函数的形式，尝试使用分离参数法.（）不等式 ，即，即.转化为存在实数，使对任意，不等式恒成立,只需在上恒成立。，只需恒成立。设，则。设，则，在区间上是减函数。又存在，使得。当时，有，当时，有，在区间上递增，在区间上递减。又当时，恒有；当时，恒有；使命题成立的正整数的最大值为5.四、方程的根（函数的零点）与整数相关已知函数，其中是自然数的底数，。（）当时，解不等式；（）若在，上是单调增函数，求的取值范围；（）当时，求整数的所有值，使方程在，上有解。第一问属于常规问题，略解如下：因为，所以不等式即为，又因为，所以不等式可化为，所以不等式的解集为 ，当时，在上恒成立，当且仅当时

10、取等号，故符合要求； 当时，令，因为，所以有两个不相等的实数根，不妨设，因此有极大值又有极小值若，因为，所以在内有极值点，故在上不单调 若，可知，因为的图象开口向下，要使在上单调，因为，必须满足即所以.综上可知，的取值范围是 当时, 方程即为，由于，所以不是方程的解，所以原方程等价于，令，因为对于恒成立，所以在和内是单调增函数， 又，所以方程有且只有两个实数根，且分别在区间和上，所以整数的所有值为。五、与整数相关的综合应用已知函数， 设 （1）是否存在唯一实数，使得，若存在，求正整数m的值；若不存在，说明理由。（2）当时，恒成立，求正整数n的最大值。第一问，求函数零点所在的整数区间，过程如下：（1）由得 则因此在内单调递增.因为，即存在唯一的根，于是第二问，属于前面探讨过的参数范围与整数相关问题，过程如下：（2）由得，且恒成立，由第（1）题知存在唯一的实数，使得，且