浙江工商大学高等数学求导习题详解

1、1 设存在,求.分析 在导数存在的条件下,将所求的极限化为导数定义的形式即可.解 .2 设在处连续,且,求.分析 本题只能用导数的定义来求,并且利用连续函数的性质.解 为此,先求出.3 设,求.请指出下面解题中的错误,并写出正确的解法.分析 本题是要考查对的定义的理解.解 ,上面的解法是把错误理解为,实际上,应该是导函数在的值.正确的解法是:,.4 单项选择题: 设在点处可导,而在点处不可导,则在点处( ).(A)必不可导,而未必不可导；(B)和都可导；(C)可导,且不可导；(D)与都不可导.分析 本题是要考察导数的运算法则解 因为,如果可导,则由上式可推出可导,与已知矛盾.所以必不可导,又如

2、果在可导,在不可导,而在也可导.故未必不可导.所以答案为(A).5 单项选择题: 如果存在时,.(A)；(B)；(C)；(D).分析 可以用导数的定义来考虑.解 因为 .所以答案为(B).6 设,用几种不同的方法求.分析 可以用几种不同的求导法则来进行比较,以后可以选择一种好的方法.解法一 用商的求导法则 .解法二 用乘积的求导法则 .解法三 先化简再用和的求导法则 .观察上述三种方法可知方法三最简单. 7 用复合函数的求导法则,求下列函数的导数. (1)；(2).分析 复合函数的求导法则看起来不难,但实际上很容易犯错误,必须注意乘上中间变量的导数.解 (1) . (2) .8 设,求.分析

3、本题是幂指函数,用对数求导法.解 由两边求对数,得到:，再两边对求导,得到， 9 设函数,当时,求它的导数分析 由于本题是多个因式作乘除,因此可以采用对数求导法.解 当时,由两边求对数,得到:,再两边对求导,得到.所以 .如果此题求的不是,而是求,则可以用下例的方法比较简便.10 设函数,求它的导数.分析 由于,且含有的因子,所以可以采用定义的方法.解 .由此可以看出,求导的方法可以多种多样,应该根据具体的题目,选择一种比较简便的方法.11 设处处可导，求的值.分析 本题是分段函数的求导问题,只需考虑分界点的连续性及可导性.解 由于在处,显然是可导的,所以只需考虑在处的可导性.因为在处连续，.

4、又,，而在处可导，于是.12 单项选择题: 设,则在点可导的充分必要条件是( ).(A)存在.(B)存在.(C)存在.(D存在.分析 注意:由于本题并没有在点处可导作为已知条件,所以在考虑充分条件时应该特别注意.解 (A)由于, (1)如果在点可导,说明存在,因为,所以存在.如果存在,因为,所以,由(1)式可知存在,因为,即只能表示在点的右导存在,并不能说明在点可导.因此,在点可导只是存在的充分条件.(B)由于, (2)如果在点可导,说明存在,因为,由(2)式可知,所以存在.如果存在,因为,所以存在,所以在点可导.因此,在点可导是存在的充分必要条件.(C)用同样的方法可以说明在点可导是存在的充

5、分条件,而不是必要条件.(D)同样,在点可导只是存在的充分条件而不是必要条件.综上所述,本题的答案是(B).13 设，求.分析 这是一个分段函数的求导问题,当不是分界点时,采用公式求导. 当是分界点时,往往采用定义的方法或采用求左、右导的方法.解 当时,.又,因此, .14 函数的不可导点的个数是（ ）.(A) 3 (B)2 (C)1 (D) 0分析 本题技巧性较强,关键是,由导数定义可知,在点不可导,而在点可导.故对进行因式分解,并考察使的点.解 ，故在不可导.在可导,所以,函数的不可导点的个数是两个.答案是(B).注:本题如果用定义来求的话,虽然也可以得到正确的结果,但太麻烦.15 设可导

6、,.问在的可导性如何?分析 本题只需要用定义来分析.解 .所以, 在点可导.16 设,其中具有一阶连续导数,求.分析 抽象函数的求导往往采用定义求导.解 一阶可导,从而连续. ,得到.而以下的方法是错误的:.故 .上述方法错误的原因是:并不知道是否二阶可导,而这种错误,初学的同学是经常犯的.17 已知曲线与在原点相切,求分析 本题考查导数的几何意义及导数的定义.解 因为曲线与在原点相切,所以它们的函数值与导数在点相同,从而推出,又 故.18 单项选择题: 设在的某邻域内有定义,且，则在处( ).（A）极限不存在.（B）极限存在但不连续.（C）连续但不可导.（D）可导.分析 本题主要是从连续及可

7、导的定义来考虑解 ，令，得，即，又 ，所以，可导.答案为(D).19 单项选择题: 设，其中是有界函数，则在处( ).（A）极限不存在. （B）极限存在但不连续.（C）连续但不可导. （D）可导.分析 本题主要是分析分段函数在分界点的连续性及可导性.解 先考虑在处的连续性.因为所以在处连续.又 ，故 ，可导.答案为(D).20 设在时有定义,且有二阶导数,试确定常数,使函数在处有二阶导数.分析 要使在处有二阶导数,则应满足如下条件:(1)在处连续；(2)在处的左、右导存在并且相等；(3)在处的左、右二阶导存在并且相等.下面分别讨论.解 (1), , .因为在处连续,得到.(2).因为在处的左、

8、右导存在并且相等,得到.(3).因为在处的左、右二阶导存在并且相等,所以.综上所述,当,时,在处有二阶导数.21 已知是周期为的连续函数，且在的某邻域内满足关系式，其中是当时比高阶的无穷小，且在处可导，求曲线在点处的切线方程.分析 本题考查导数的定义,无穷小量的概念,关键是要求出及.解 由，得；又 另一方面，令，有. ，由于的周期为5，故， 所求切线方程为 .22 单项选择题: 设，则在处可求导的最高阶数为( ).(A)0 （B）1 （C）2 （D）3分析 本题只要考虑的阶可导性,因为的任何阶导数都存在.为此,用分段函数来考虑在处的阶可导性.解 令,则分段考虑函数的可导性.得到,(注意:求分界

9、点的导数时,先考虑连续性,然后用公式求出左、右导数.再判别左、右导数是否相等.)由于在处的左、右导数分别为6和-6，故不可导，故在处可求导的最高阶数为2阶.答案为(C).23 设，求.分析 此题可以先将表达式化简,然后求导.如果直接求导就比较麻烦.解 先化简，所以 .24 设，求.分析 本题若直接计算,不仅麻烦,而且看不出规律来,为此我们可以先将表达式化为最简分式,然后用阶的求导公式.解 先化简，因为 ，.25 设，求,.分析 对于求乘积的阶导数,当其中一项求若干阶导数后为零时,可以用公式.解 由于的三阶导数为零,所以我们用公式:.及 ，得所以 26 求在点的阶导数. 分析 本题的阶导数没有现

10、成的公式,但是我们要求的是.因此,我们采用一定的技巧来解决.解 由于,从而.两边对求导得.当时,.从而有.对上式求阶导数,并利用公式得到:.用代入得到:,即有.因为,.所以,.27 设是由方程所确定的隐函数，求.分析 本题用隐函数求导解 方程两边对求导， (1)用代入原方程,得到，代入(1)式 ，(1)式两边再对求导：，用,，代入得:.28 求过点且与曲线上一点的切线相垂直的直线方程.分析 本题用隐函数求导,并且要知道切线的斜率.解 两边关于求导，切线斜率，故所求直线方程为：.29 已知函数的参数形式为:，求，.分析 本题用参数方程求导解 ，.30 设函数由方程确定，求.分析 本题用参数方程及

11、隐函数求导的方法解 ，对方程两边关于求导：， ，所以 31 设,满足,且二阶可导,求.分析 本题是抽象函数的复合函数以及隐函数的混合求导问题,比较复杂,需要概念特别清楚.解 ,上式两边再对求导,得到(1)方程两边对求导,得到(2)(2)式两边再对求导,得到(3)由(2)式可得(4)将(4)式代入(3)式得到(5)将(4)式和(5)式代入(1)式得到32 设一圆锥形容器,底面朝上,它的顶角为,现均匀地以每秒的流量注入水,当水深时,求:水面上升的变化率；(2)水面半径的变化率.分析 本题是关于相关变化率的应用问题.应该先分别建立体积与水面高度以及与水面半径的关系,然后在等式两边 H R对求导.解 作草图如上图:(1)因为顶角,所以水深与水面半径的关系为,体积,即得到.将其两边对求导: .当时, ,代入上式得到:(2)由(1)可知,将其两边对求导得到:.当时, ,代入上式得到:.所以当水深为时,(1)水面上升的变化率为；(2)水面半径的变化率为.33 设,试计算在处当时的函数的增量以及函数的微分.分析 本题是利用定义来求增量及微分.解 ,故 .而 .34 单项选择题: 如果对于函数有.则当时,在点处的微分是( ).(A)与等价无穷小.(B)与同阶无穷小,但不是等价无穷小.(C)比高价无