正交变换的等价条件及其应用

1、目 录1引言2正交变换的定义及其等价条件2.1定义2.2等价条件3正交变换的应用3.1化二次型为标准形3.2解不变子空间相关问题3.3求解矩阵问题3.4求解欧氏空间中其它相关问题3.5在积分中的应用4结束语参考文献致谢语正交变换的等价条件及其应用数学系2013级1班 许鹏指导教师：陈金梅摘 要: 正交变换在大学学习中是一个重要的概念,例如在代数中,它涉及到了线性代数中一大部分的基本概念,如矩阵、向量、线性变换、标准正交基等,深入探讨研究这个课题对学好高等代数和线性代数十分有帮助.不仅如此,它在其他的领域也有着大范围的普及,如在积分的应用中,在多重积分的方面。本文首先叙述了正交变换的最基础的概念

2、,从它的定义开始,探究它在代数书中的一些特点和求解过程,主要就正交变换进行探索研究,得出它的几种等价条件,为了体现它的重要作用,我们将做一些例证,举例说明它的价值。关键词:正交变换;标准正交基;内积;正交矩阵。Equivalent Conditions of Orthogonal Transformation and Their ApplicationsXu pengClass 1, Mathematics DepartmentTutor:Chen JinMeiAbstract: Orthogonal transformation is an important concept in univ

3、ersity learning. For example, in algebra, it involves a basic concept of a large part of linear algebra, such as matrix, vector, linear transformation, standard orthogonal basis, and so on. It is very helpful to learn higher algebra and linear algebra, and it is also popular in other fields, such as

4、 in the application of integral points, in the case of multiple points. This paper first describes the most basic concept of orthogonal transformation, from its definition, to explore its characteristics in the algebra of the book and the process of solving the main orthogonal transformation to expl

5、ore the study, to obtain several of its equivalent conditions , In order to reflect its important role, we will do some examples, exemplify its value.Key words: Orthogonal transformation; standard orthogonal basis; inner product; orthogonal matrix.1引言我们熟知的正交变换在某些领域有着巨大作用，例如，近代数学，尤其是对科学技术。一些分析问题的出现，使

6、得它应该对其做出数学的研究和探讨，其中代数方法有其显著意义。该方法应用一些问题之后，使其求解过程化繁为简，容易理解，易于解决。该变换在求解中时常用到，尤其在近代数学中应用广泛。 在我们认识的欧几里得空间中，一提到正交变换，大家都会想到它是线性变换，特点是向量长度不变，换句话说也就是向量内积是恒定的。在几何中，它有自己独特的定义，即每个点与每个点的长度固定，当然了，它还是变换的一种。除此之外，由于内积可以采用其他的方法得出结果，比如长度和夹角，所以，正交变换的描述途径也多种多样。数字中的联系十分紧密，比如正交基与矩阵，还有二次型，正是由于它们之间不可分离的联系，才有了等价条件，甚至于在高等代数的

7、一些方面，打下坚实的基础，为研究提供了方便。在卢联联，朱世平的论文中阐述了正交变换的定、性质及它的等价刻画。对该变换在中学数学中的应用也有简单介绍。在正交变换的几个等价条件中高伟探讨并详细叙述该变换的等价刻画。谢蜀忠在正交变换的若干应用中作以例证，对其应用进行深入的探究总结。该变换是中学数学学习过程中的一个关键结点，而代数与几何形象而紧密的联系，让学生理解更加深刻。因此，本文在众多学者对其讨论与研究的基础上，深层次的思考、探索该变换的等价条件，较为详细的介绍归纳了其在数学物理等领域的应用。2正交变换的定义及其等价条件2.1定义定义1 ：。如果 则称为空间的一个线性变换。定义2 ：,则称为正交矩

8、阵定义3 ：若基 是的一个基，如果且都是，则称是的一个。定义4在代数书中,若一个变换每个点与每个点的长度固定,则称它是正交变换。在欧氏空间中，假定欧式空间的为，如果它，即对于任意的，都有.定义5 ：假定是上的,是的一个.如果中的在下的像仍属于中，对于中任一向量，有，则称是的。定义6 正交补：若满足下面的条件则称为的正交补。2.2等价条件定理1，:（1）是;（2）保正向量的长度不发生变化，则对于;（3）若是，则也是;（4）在任一组下的.证明如果是正交变换，那么两边开方即得反过来，如果保持向量的长度不变，那么，把最后的等式展开即得再利用前两个等式，就有这就是说，是正交变换.设是一组标准正交基，即如

9、果是正交变换，那么这就是说，是标准正交基.反过来，如果是标准正交基，那么由与即得因而是正交变换.设在标准正交基下的矩阵为，即如果是，那么可以看作由正交基到的，因而是正交矩阵.反过来，如果是正交矩阵，那么就是.这样，我们就证明了（1），（2），（3），（4）的等价性.3正交变换的应用3.1化二次型为标准形定理2 任意一个实二次型都可以经过正交的线性替换变成平方和.例1 设二次型，试这把它转变为标准形，并写出所做的正交变换.解 设此二次型的矩阵为，则=计算可得，所以的特征值为当时，得线性无关的特征向量当时，得线性无关的特征向量将它们单位化，得令，则为正交矩阵，于是作正交变换所求标准形为.例2 用正

10、交变换化二次型为标准型解：二次型矩阵由当时，解方程. 对做初等变换属于1的为将正交化 ，将单位化当时，令 则正交变换在于转化二次型方面有着特殊的作用和意义，比配方法要简单、准确。3.2解不变子空间相关问题 例3 证明:，那么的的也是的.证明 设是的任意一个不变子空间，取为的一组标准正交基，把它扩充成的一组，那么因为为，所以也是，又由于是的不变子空间，所以是的一组，而，任取，那么故是的不变子空间.3.3求解矩阵问题例4 对于的线性变换.证明:若是，则是正交变换.证 对任意，当时正交矩阵时，有可见是正交变换.3.4求解欧氏空间中其它相关问题例5 ，定义.证明：(1)是正交变换，这样的正交变换成为镜

11、面反射；(2) 是第二类的.证:(1)对欧式空间中任意元素和实数有所以是线性的，又有因为，所以,故为正交变换.(2) 由于是单位向量，将它扩充成空间的一组标准正交基由于于是因为，所以是第二类的.例6 求证:证明 设是欧氏空间的一个变换，满足只要证明:是的线性变换，那么由的等价条件即证.，有= = = 所以.即有 同理，由，可证 由，即证是的线性变化，又保持内积不变，从而是的正交变换.例7设是维欧氏空间中一个单位向量，定义 证明:是第二类（行列式等于）的正交变换.证 先证是的线性变换.由有.于是是线性变换.由是单位向量，从出发扩大为的一组标准正交基，则由知. 其中为正交矩阵，故是正交变换.再由知

12、是第二类正交变换.3.5在积分中的应用在我们熟知的多元函数积分中在某些数学领域也有着重大的影响，它的换元法在一些计算中作用巨大，例如在积分的计算里。而换元的意义是为了把被积分的函数变得易于计算，或者是使积分这一部分变得简单、容易理解和转化，但换元具有不确定性,并对于使用者会有一定的挑战，所以在把新的积分变量带入到式子中时，我们一定要同一时间照顾到被积函数和积分区域的变化和性质.例8：对于上连续函数,有证明: 若，原式= 等式显然成立，因此可设,把单位向量扩充成一正交矩阵 作正交变换而 ，变为 ，由上式得于是由三重积分变数替换公式得：所以=4结束语本文主要介绍这个大方向下的等价条件，其中融入了许

13、多知名学者的丰富经验与结果，对有关的计算与应用做了进一步的探索与深入学习，让我们从多方面认识到了正交变换的重要程度，从而为它在实际应用的推广奠定了可靠的学术基础。参考文献1卢联联、朱世平.正交变换的等价刻划及应用J.林区教学,2014,203(2):79-80.2李秀英.关于正交变换的定义及其几个等价命题J.通化师院学报,1998,(6):32-35.3游家桦.正交变换在积分中的应用J.贵阳金筑大学学报,2003,51(3)：102-1044北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组.高等代数(第3版)M.北京: 高等教育出版社,20035李炯生,查建国,王新茂.线性代数(第2版)M.合肥:中国科技大学出版社， 20106杨永保 正交变换的两个等价条件的分析J.甘肃联合大学学报（自然科学报）.2006(02)7高伟.正交变换的几个等价条件J.南通纺织职业技术学院学报,2008(06).8张力宏等.欧式空间中正交变换的几个等价条件J.松辽学刊,1997,10(3):37-399谢蜀忠.正交变换的若干应用J.天津职业技术师院,1994,2(45):158-159.10林元重.正交变换在曲线、曲面积分中应用 J.数学通报1996(12);145147.致谢语本人的学位论文是在我的导师陈金梅老师的亲切关怀和悉心指导下完成的。她严肃的科学态度，严谨的治学精神，精益求精的工作作风，