求解最值问题的几种思路

1、求解最值问题的几种思路 最值问题涉及的知识面较广，解法灵活多变，越含着丰富的数学思想方法，对发展学生的思维，提升学生解题能力起着十分重要的作用.本文举例介绍这类问题的常见思路和方法. 一、利用非负数的性质 在实数范围内，显然有，当且仅当时，等号成立，即的最小值为. 例1形码 设、为实数，求的最小值.解析 = = =. 当，即时，上式等号成立. 故的最小值为-1. 二、均值代换法 在一些数学问题中，常遇到含有型条件的问题，若用来代换，往往能获得简捷的妙法. 例2 已知、为实数，且，求的最值. 解析 由得，易得最小值为.设,其中, 又， 即. 的最小值是，最大值是2. 三、局部换元法 例3 若，求

2、的最小值.解析 设, J则.故的最小值为. 四、积化和差法 完全平方公式； . 将这两个公式的左右两边分别相减，得 结论1 . 由于，故由又可得如下积化和的完全平方不等式. 结论2 ，当且仅当时，等号成立. 结论、表明两个代数式之积可化为它们的和差的关系式.应用上述公式解题，方法独特，别致新颖，给人一种清晰、明快的感觉. 例4 设，求的最大值. 解 把两边平方得 ， 即， .由积化和差公式，得代人上式，得.,.又时,，.注 有时将积化和差公式化为如下形式: , 用起来比较方便. 五、配方法 解题时把题中所给的代数式，应用配方法化成一个或几个完全平方式与常数的代数和的形式;再根据，可求出代数式的

3、最小值，根据，可求出代数式的最大值.例5 求函数的最值.解析 .,的最小值是0，最小也是0.当时，的最小值为:. 注 本题如果机械地套用二次函数求极值的公式去求的最值，那就错了.事实上，当时，取得极小值，这是不可能的。一般情况下，如果自变量取值范围有一定限制，不能轻易套用极值公式，而应先通过配方，再求极值，这样做才不会得出错误的答案. 六、增加辅助量 例6 若实数、满足条件和，求的最值. 解 ,.设，,则,而.，即.故的最大值为，最小值为.七、数形结合法例7 已知、都是小于1的正数，求的最小值. 解 对形如的问题，不妨考虑利用勾股定理和题中所给的已知条件，构造相应的几何图形，并根据图形中边与边

4、之间的关系解决问题.如图1，构造边长为1的正方形，是正方形内一点，它到、的距离分别为、，即，则由勾股定理，易得.， ,则,即所求最小值. 八、构造一元二次方程 例8 若，求的最小值.解 将配方，得 设则方程可构造为以为主元的一元二次方程:是实数，即解之得即的最小值 点评 此题巧妙运用了构造方程的思想，并利用一元二次方程根的判别式求得的最值. 九、构造函数 由于最值问题中一般都存在某些变量变化的过程，因此解决最值问题离不开函数，我们常利用构造函数法使问题得到解决. 例9 求代数式:的最值.解 设，再令，则有最小值为，最大值为 十、零点分段讨论法 例10 当时，求函数的最大值. 分析 先由条件，求出的取值范围，再用“零点分段讨论法”去掉函数中的绝对值符号，然后求出在各个区段上的最大值并加以比较，从中确定出在取值范围内的最大值. 解 由6，知. 当时，当时，故当时，函数有最大值16. 对于最值问题，还