极坐标系与参数方程一轮复习你值得拥有

1、极坐标系与参数方程 知识梳理1、 极坐标1、极坐标定义：是平面上一点，表示的长度，是，则有序实数实数对,叫极径，叫极角；一般地，。2、极坐标和直角坐标互化公式： 或，的象限由点所在象限确定.二、常见曲线的极坐标方程1、圆的极坐标方程（1）圆心在极点，半径为的圆的极坐标方程是 ；（2）圆心在极轴上的点处，且过极点O的圆的极坐标方程是 ；（3）圆心在点处且过极点的圆O的极坐标方程是 。2、直线的极坐标方程（1）过极点且倾斜角为的直线的极坐标方程是 ；（2）过点，且垂直于极轴的直线的极坐标方程是 ；三、常见曲线的参数方程直线圆椭圆双曲线抛物线过点，倾斜角为圆心在点，半径为中心在原点，长、短轴分别为中

2、心在原点，长短轴分别为第一节 平面直角坐标系中的伸缩、平移变换【知识点】定义1：设是平面直角坐标系中的任意一点，在变换的作用下，点的对应点为。称为平面直角坐标系中的伸缩变换。定义2： 在平面内，将图形F上所有点按照同一个方向，移动同样长度，称为图形F的平移。若以向量表示移动的方向和长度，我们也称图形F按向量平移在平面直角坐标系中，设图形F上任意一点P的坐标为，向量，平移后的对应点为.则有：即有： ，在平面直角坐标系中，由所确定的变换是一个平移变换。 因为平移变换仅改变图形的位置，不改变它的形状和大小所以，在平移变换作用下，曲线上任意两点间的距离保持不变。【典例1】（2014年高考辽宁卷（文）将

3、圆x2y21上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C.(I)写出C的参数方程；（II）设直线l：2xy20与C的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程练习：1将点变换为点所用的伸缩变换公式是 （ ） A. B. C. D.2.在同一直角坐标系中，将直线变成直线，则满足图象变换的伸缩变换公式是_.3.在平面直角坐标系中将曲线按照变换得到的曲线的方程为_。4.已知曲线.若把曲线上各点的横坐标压缩为原来的，纵坐标压缩为原来的，得到曲线，则曲线的参数方程为_，普通方程为_。【典例2】把圆先向下平移1个单位长度

4、，再向右平移3个单位长度后得到圆，求圆的普通方程。练习：1. 点先向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度后得到点的坐标是_。2. 抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到的抛物线的顶点坐标是_。3. 将曲线先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度后得到的曲线的方程是_。第二节 极坐标与直角坐标互化【知识点】 或，的象限由点所在象限确定.练习一：把下列点的极坐标化为直角坐标（1） ； （2） ； （3） ； （4） ； （5） ； （6） ； 练习二：把下列点的直角坐标化为极坐标（1） ；（2） ； （3） ；（4） ； （5） ； （6） ； 考点二：曲线的极坐标

5、方程与直角坐标方程的互化练习一：把下列曲线的极坐标方程化为直角坐标方程（1）: ； （2）: ；（3）: ；（4）: ；（5）: ；（6）: ；(7)直线: ； （8）射线: ；(9) : ；(10) : ；注意：极：直线或射线 直：（或（）或（）练习二：把下列曲线的直角坐标方程化为极坐标方程: （1）: ； （2）: ；（3）: ；（4）: ；（5）: ；（6）: ；高考再现（2013年高考辽宁卷（文）在直角坐标系中以为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系.圆,直线的极坐标方程分别(I)求与交点的极坐标;(II)设为的圆心,为与交点连线的中点.已知直线的参数方程为,求的值.2.（2014年高考广

6、东卷（文）在极坐标系中，曲线C1与C2的方程分别为与。以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C1与C2交点的直角坐标为_3（2014年高考陕西卷（文）在极坐标系中，点到直线 sin1的距离是_4. （2015年高考湖南卷（文）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.若曲线C的极坐标方程为，则曲线C的直角坐标方程为_. 第三节 参数方程与普通方程互化【知识点】常见曲线的参数方程直线圆椭圆双曲线抛物线过点，倾斜角为圆心在点，半径为中心在原点，长、短轴分别为中心在原点，长短轴分别为把参数方程化为普通方程的常用方法：（1）代入法：利用解

7、方程的技巧求出参数，然后代入消去参数；（2）三角法：利用三角恒等式消去参数，如平方关系；（3）整体消元法：根据参数方程本身的结构特征，从整体上消去。练习一：把下列曲线的直角坐标（普通）方程化为参数坐标方程（1）， ；（2）， ；（3）， ； （4）， ；（5）， ；（6）直线的倾斜角为，且过点，则： ； （7）直线过点，倾斜角为，则： ；练习二：把下列参数方程化为直角坐标方程（普通方程）（1）（：参数）， ；（2） ；（3）（：参数）， ；（4）（：参数）， ；（5）（：参数）， ；（6）（：参数）， ；（7）（：参数）， ；（8）（：参数）， ；高考再现1 （2013年高考广东卷（文）已知曲

8、线的极坐标方程为.以极点为原点,极轴为轴的正半轴建立直角坐标系,则曲线的参数方程_。 （2013年高考湖南（文11）在平面直角坐标系中,若直线(s为参数)和直线(t为参数)平行,则常数a的值为_ （2013年高考陕西卷（文15）圆锥曲线 (t为参数)的焦点坐标是_4. （2014年高考湖南卷（文）在平面直角坐标系中，曲线C：(t为参数)的普通方程为_5（2013年高考课标卷（文） 已知曲线的参数方程为(为参数),以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.()把的参数方程化为极坐标方程;()求与交点的极坐标().6（2014年高考新课标卷2（文）在直角坐标系xOy中，以

9、坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为，.(I)求C的参数方程；（II）设点D在C上，C在D处的切线与直线l：yx2垂直，根据(1)中你得到的参数方程，确定D的坐标7. （2015年高考广东卷（文）在平面直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系曲线的极坐标方程为，曲线的参数方程为（为参数），则与交点的直角坐标为 第四节 极坐标和参数方程的综合应用考点一：曲线上的动点到直线距离的最值问题常用参数方程和三角恒等变换的知识解决。步骤：（1）利用曲线的参数方程把曲线上的动点的坐标设出来；（2）利用点到直线的距离公式求出曲线上的动点到直线的距离；（3）利用辅助

10、角公式（其中），把第（2）步求出的距离的右边化为（）的模式。（4）利用三角函数的有界性求出距离的最值。【典例1】 在直角坐标系中，曲线的参数方程为，在以原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为。（I）求曲线的普通方程与曲线的直角坐标方程；（II）设为曲线上的动点，求点到的距离的最小值，并求此时点的坐标。变式：若把曲线的参数方程改为，设为曲线上的动点，求点到的距离的最大值。练习：1（2014年高考新课标卷1（文）已知曲线C：1，直线l：(t为参数)(I)写出曲线C的参数方程、直线l的普通方程；（II）过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|

11、的最大值与最小值2. (2015年高考陕西卷（文）在直角坐标系中，直线的参数方程为为参数），以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，的极坐标方程为.(I)写出的直角坐标方程；(II)为直线上一动点，当到圆心的距离最小时，求点的坐标.考点二：标准直线参数方程中参数的几何意义【知识梳理】若（：参数）已是标准参数方程，即，且和曲线(圆、椭圆、抛物线)交于两点，则:把中的代入曲线的直角坐标方程， 整理 ()，其中，； 为方程()的两根（即两点对应的参数分别为）,；由的几何意义，得:公式1: 长度之积: ； 公式2: 长度之和:()；或()；公式3: 弦长； 但若是和圆可不用此公式,而用更简单； 说

12、明：上述公式中的两条线段为所过的点分别和曲线两交点的连线段 ； 公式4:线段AB的中点M对应的参数。【典例】在直角坐标系中，直线的参数方程为（t为参数）.在极坐标系（与直角坐标系取相同的长度单位，且以原点O为极点，以轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为.（）求圆C的直角坐标方程；（）设圆C与直线交于点A、B，若点P的坐标为，求的值 .练习：1.已知过点的直线与曲线交于两点，求,；2.经过点作直线，交椭圆于两点。如果点恰好为线段的中点，求直线的方程。3. （2014年高考江苏卷（文）在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为(t为参数)，直线l与抛物线y24x相交于A，B两点，求线段AB的长考

13、点三：求动点的轨迹方程问题求曲线的极坐标方程的方法和步骤：建、设、限、代、化(1)建立适当的极坐标系，设是一曲线上任意一点；(2)由曲线上的点所适合的条件，列出曲线上任意一点的极径和极角之间的关系式；(3)将列出的关系式进行整理、化简，得出曲线上的极坐标方程；(4)证明所得方程就是曲线的极坐标方程【典例】（2013年高考课标卷（文）已知动点都在曲线上,对应参数分别为与,为的中点.()求的轨迹的参数方程;()将到坐标原点的距离表示为的函数,并判断的轨迹是否过坐标原点.练习：1.已知曲线的参数方程为，在同一平面直角坐标系中，将曲线上的点按坐标变换得到曲线。（）求曲线的普通方程；（）若点A在曲线上，点B（3，0），当点A在曲线上运动时，求AB中点P的轨迹方程。 2.在极坐标系中，已知圆的圆心，半径。（）求圆的极坐标方程；（）若点在圆上运动，点在的延长线上，且,求动点的轨迹方程。3.以平面直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，自极点作直线与曲线相交于点，在线段上有一动点满足若点的轨迹为曲线，方程（为参数）表示的轨迹为曲线（）求曲线的极坐标方程；（）若曲线与交于点、，求、两点间的距离考点四：应用的几何意义表示两点间的距离极坐标系下的两点间的距离公式：设，由余弦定理可得，特别地，当时，【典例】(2015年高考新课标