极坐标的知识点和例题与答案

1、27.2 曲线的极坐标方程【知识网络】1. 曲线的极坐标方程的意义.2. 直线、圆和圆锥曲线的极坐标方程.【典型例题】例1.（1）化极坐标方程为直角坐标方程为 （C）A或 B C或 D 提示： （2）在平面直角坐标系中，以点为圆心，为半径的圆在以直角坐标系的原点为极点，以轴为极轴的极坐标系中对应的极坐标方程为 （A）A BC D提示：圆的直角坐标方程为，化为 极坐标方程为，曲线也过极点，与等价，对应的极坐标方程为.（3）极坐标方程表示的曲线为 （C）A一条射线和一个圆 B两条直线C一条直线和一个圆 D一个圆提示： 则或（4）极坐标方程分别为与的两个圆的圆心距为_. 提示:圆心分别为和（5）极坐

2、标方程表示的曲线是 . 双曲线 提示：等价于，.例2.设过原点的直线与圆的一个交点为，点为线段的中点，当点在圆上移动一周时，求点轨迹的极坐标方程，并说明它是什么曲线.解：圆的极坐标方程为，设点的极坐标为，点的极坐标为，点为线段的中点， ，将代入圆的极坐标方程，得. 点轨迹的极坐标方程为，它表示原心在点，半径为的圆.例3. 过抛物线的焦点作倾斜角为的直线，交抛物线于两点，求线段的长度.解：对此抛物线有，所以抛物线的极坐标方程为，两点的极坐标分别为和， ， .线段的长度为.例4. 长为的线段，其端点在轴和轴正方向上滑动，从原点作这条线段的垂线，垂足为，求点的轨迹的极坐标方程（轴为极轴），再化为直角

3、坐标方程.解：设线段的端点分别为且在轴正方向上， 在轴的正方向上，设点的极坐标为，则，且，点的轨迹的极坐标方程为.由可得， 其直角坐标方程为.【课内练习】1.将极坐标方程化为直角坐标方程是（C）A B C D提示：.2.极坐标方程表示的曲线为 （D）A极点 B极轴 C一条直线 D两条相交直线 提示：，为两条相交直线3.圆的圆心坐标是 （A）A B C D 提示：圆的普通方程为，圆心为，半径为. .4. 两直线和的位置关系是（） A平行 B相交但不垂直 C垂直 D重合提示：的直角坐标方程为化为直角坐标方程为， 其斜率为，直线的斜率为，两直线互相垂直（时也成立）.5. 设曲线的普通方程为,则它的极

4、坐标方程为 . 提示：用代入即得.6.直线的极坐标方程为_. 提示：直线的极坐标方程为.7.设直线过极坐标系中的点,且平行于极轴,则它的极坐标方程为 .提示：在相应的直角坐标系中，直线的方程为.8.从极点作圆的弦,求各弦中点的轨迹方程.解:设所求曲线上的动点的极坐标为,圆上的动点的极坐标为由题设可知,将其代入圆的方程得:.所求的轨迹方程为.9.已知曲线的极坐标方程为，求此曲线的直角坐标方程，并讨论在不同范围内取值时，方程表示的曲线的类型（其中和为正的实常数）.解：方程写成，将和代入，得，即 ，两边平方，得整理得，.由上述方程可知，当时，方程表示双曲线；当时，方程表示抛物线；当时，方程表示椭圆.

5、10. 过椭圆的左焦点作直线，交椭圆于两点，证明：为定值.证明：椭圆方程可化为， ， 以椭圆的左焦点极点，轴正方向为极轴的方向建立极坐标系， 则椭圆的极坐标方程为.设点的极坐标为，则点的极坐标为，为定值.作业本1.将直角坐标方程化为极坐标方程时，极点和的值分别是 （D）A坐标原点 B坐标原点 C焦点 D焦点 提示：由直角坐标方程知，根据圆锥曲线的极坐标方程建立的方法知，极点是圆锥曲线的焦点.2. 设曲线的极坐标方程为,则它表示的曲线是 （D）A圆心在点直径为的圆 B圆心在点直径为的圆C圆心在点直径为的圆 D圆心在点直径为的圆提示：曲线的直角坐标方程为，即.3.在极坐标系中与圆相切的一条直线的方

6、程为 （A）A B C D 提示：的普通方程为，的普通方程为 圆与直线显然相切4. 设曲线的极坐标方程为,则它的直角方程为 . 提示：与等价.5.设直线过极坐标系中的点,且垂直于极轴,则它的极坐标方程为 .6. 过抛物线的焦点作倾斜角为的直线，交抛物线于两点，求的值.解：抛物线中，.在以抛物线的焦点为极点，轴为极轴的极坐标系中，抛物线的极坐标方程为，设点的极坐标为，则点的极坐标为，则， 的值为.7. 一颗慧星的轨道是抛物线，太阳位于这条抛物线的焦点上.已知这慧星距太阳千米时，极半径和轨道的轴成角.求这颗慧星轨道的极坐标方程，并且求它的近日点离太阳的距离.解：以太阳的位置为极点，轨道的轴为极轴，建立极坐标系，设轨道的极坐标方程为，因为时， ，轨道的极坐标方程为，当时，.这颗慧星轨道的极坐标方程为，它的近日点离太阳的距离为千米.8.