极坐标与参数方程数学讲义

1、极坐标与参数方程一、考纲要求1 .理解参数方程的概念，了解某些常用参数方程中参数的几何意义或物理意义，掌握参数方程与普通方程的互化方法.会根据所给出的参数，依据条件建立参数方程.2 .理解极坐标的概念.会正确进行点的极坐标与直角坐标的互化.会正确将极坐标方程化为直角坐标方程，会根据所给条件建立直线、圆锥曲线的极坐标方程二、知识结构1 .参数方程的概念在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x,y都是某个变数t的函数f(t),g(t),并且对于t的每一个允许值，由这个方程所确定的点M（x,y）都在这条曲线上,可编辑那么这个方程就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x,y的变数t叫做参变数，简称参

2、数。相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。常见的曲线的参数方程2 .直线的参数方程x x tcosay y tsina标准式过点Po（x0,yo）,倾斜角为”的直线l的参数方程是（t为参数，其几何意义是PM的数量）AAAA上上上.（2）一般式b过te点Po（xo,y。）斜率k=tg后的直线的参数方程是ay v。at(t为参数,btJ)tan3 .圆锥曲线的参数方程圆 圆心在（a,b）,半径为r的圆的参数方程是r cosb r sin（）是参数）2 x(2)椭圆椭圆a2。1（a b。）的参数方程是b2a cosbsin7Vxbcos椭圆、台1（ab。）的参数方程是（f）为

3、参数）abyasin（3）抛物线抛物线y22px的参数方程为x2Ptt为参数y2pt4 .极坐标极坐标系在平面内取一个定点。，从O引一条射线Ox,选定一个单位长度以及计算角度的正方向（通常取逆时针方向为正方向）,这样就建立了一个极坐标系，O点叫做极点，射线Ox叫做极轴.极点；极轴；长度单位；角度单位和它的正方向，构成了极坐标系的四要素，缺一不可.点的极坐标设M点是平面内任意一点，用p表示线段OM的长度，。表示射线Ox到OM的角度，那么p叫做M点的极径，0叫做M点的极角，有序数对(p,。叫做M点的极坐标.注意：点P(,)与点R(,)关于极点中心对称；点P(,)与点P2(,)是同一个点；如果规定0

4、,02，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标(,)表示(即一一对应的关系)；同时，极坐标(，)表示的点也是唯一确定的。极之标与直角坐标的不同是，直角坐标系中，点与坐标是一一对应的，而极坐标系中，点与坐标是一多对应的.即一个点的极坐标是不惟一的.P(,)(极点除外)的全部坐标为(,+2k)或(，+(2k1),(kZ).极点的极径为0,而极角任意取.圆的极坐标方程以极点为圆心，a为半径的圆的极坐标方程是a;以(a,0)(a0)为圆心，a为半径的圆的极坐标方程是2acos;以(a,万)(a0)为圆心，a为半径的圆的极坐标方程是2asin；直线的极坐标方程过极点的直线的极坐标方程是(0)和(0).

5、过点A(a,0)(a0),且垂直于极轴的直线l的极坐标方程是cosa.化为直角坐标方程为xa.过点A(a,)且平行于极轴的直线l的极坐标方程是sina.化为直角坐标方程为2ya.极坐标和直角坐标的互化(1)互化的前提条件极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合；极轴与x轴的正半轴重合两种坐标系中取相同的长度单位.(2)互化公式222xcosysin0的象限由点(x,y)所在的象限确定xyy,tgy（x0）x三、课前预习1.直线y2x1的参数方程是()A、 xt（t为参数）y2t21B、 x2t1（t为参数）y4t1C、xt1(t为参数)D、2t1xsiny2sin（t为参数）答案：C2,已知M

6、5,-,下列所给出的不能表示点的坐标的是3A、5,B、45yC、5,D、答案：A3.在极坐标系中，圆p=-2sin0的圆心的极坐标系是B、（1,5）C、(1,0)D、(1解：将极坐标方程化为普通方程得：x22y0,圆心的坐标为（0,1）,其极坐标为(1,T),选B4.点P1,E,则它的极坐标是（A、2,3B、2,43C、2,一3D、答案：C5,直角坐标系xoy中,以原点为极点,X轴的正半轴为极轴建极坐标系，设点A,B分别在x曲线Ci:3cosA、1答案：Asin（为参数）和曲线C2:1上，则AB的最小值为B、2C、3D、46.参数方程为1t（t为参数）表示的曲线是（A、一条直线答案：D7.若直

7、线xy2t3tB、两条直线c、一条射线D、两条射线t为参数与直线4xky1垂直，则常数k（）A、-6B、C、6D、答案：A8.极坐标方程4cos化为直角坐标方程是（）A、(x2)2B、C、x2(y2)2D、(x1)2(y1)2答案：A4sin( x-）与曲线4A、 相交过圆心答案：DB、相交C、相切D、相离刍2的位置关系是（二t210.曲线的参数方程为3t2t22（t是参数），则曲线是（1A、线段答案：DB、双曲线的一支C、圆D、射线11.在极坐标系中，圆2上的点到直线cos3sin6的距离的最小值答案：1x = 22 + 3tx（t为参数）的距离x=1+cosy = 1 3t12.圆C：（。

8、为参数）的圆心到直线l：y=sin0答案：213.已知两曲线参数方程分别为75cos(0w的交点坐标为答案：（1,sinx)和5t2(tR),它们t14.以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，已知曲线C1、C2的极坐标方程分别为0,曲线C3的参数方程为32cos（为参数，且2sin),则曲线Ci、C2、C3所围成的封闭图形的面积是入2答案：23四、典例分析考向一极坐标系，曲线的极坐标方程，极坐标和直角坐标的互化相关知识点：极点与原点重合，极轴与x轴正半轴重合，长度单位相同x互化公式：ycos,或sin例1(1)点tanM的极坐标分别是(2,一),(4,2换算成直角坐标依次是（2）点M的

9、直角坐标分别是（2,0）,（0,2）,2,2),(73,1)如果0,0换算成极坐标依次是【例2在极坐标系中，过圆为.分析：由4cos得24过圆心的直线的直角坐标方程为4cos的圆心,一一.2cos.所以x【变式1】在极坐标系中，圆心在A、2.2cosB、,且垂直于极轴的直线的极坐标方程22y4x,(x2)x2.直线的极坐标方程为cos2y4圆心坐标2。(2,0)(2,2.2cos）且过极点的圆的方程为（C、22sinD、2.2sin分析：圆心在（4（x扬2y22。【变式2】已知曲线）即指的是直角坐标系中的（J2。）圆的直角坐标方程:圆的极坐标方程为Ci,C2的极坐标方程分别为22coscos3

10、,4cos(0,0-）,则曲线Ci与C2交点的极坐标为2解:曲线Ci,C2的直角坐标方程分别为x3,（x2)2y24,且y0,两曲线交点的直角坐标为（3,0).即y=x2(x0)；.应选B.2xsin3.在方程（。为参数）所表示的曲线一个点的坐标是（）ycos2A、(2,-7)1B、（一3C、(：,1)22D、(1,0)解：y=cos2=1-2sin2=1-2x2,将x=1代入，得y=J_。，应选C.4.曲线的极坐标方程pA、x2+（y+2）2=422=4sin。化成直角坐标方程为（）B、x2+(y-2)2=4C(x-2)2+y2=4D、(x+2)2+y2=4解：将=xx2y2,sin(=x2

11、y代入p=4sin0,得x2+y2=4y,即x2+(y-2)2=4.，应选B.2y5.已知圆的极坐标方程p=2sin（）,则圆心的极坐标和半径分别为（）6A、(1,3),r=2B、(i,6)j=iC、(1,-),r=1D、(1,-),r=2答案：C6.在极坐标系中，与圆p=4sin。相切的一条直线的方程是（A、psin9=2B、pcos9=2C、pcos-2)D、pcos(=-4解:点P（p,。）为l上任意一点，则有cosB2,0P得pcos（=2,应选B.7.4sin2-5表示的曲线是（2A、解:4psin22=5B、椭圆cos14p-2C、双曲线的一支D、抛物线2cos5.把p=Jx2y2

12、pcos(=x,代入上式，得2jx2y2=2x-5.平方整理得-252=-5x+.它表示抛物线.，应选4D.8.极坐标方程4sin29=3表示曲线是（A、两条射线B、两条相交直线C、圆D、抛物线解：由4sin29=3，得4x=3,即y2=3x2y=/3x,它表示两相交直线.，应选B.9.直线：3x-4y-9=0与圆:2cos2sin,（为参数）的位置关系是（）A、相切答案：DB、相离C、直线过圆心D、相交但直线不过圆心10.在极坐标系中，点到圆2cos的圆心的距离为（C、D、解：分别化为直角坐标进行计算,（2,一）化为直角坐标是（1,J3）,圆32cos的直角坐标方程是x2y2x0,圆心的坐标

13、是（1,0）,故距离为J3。答案：D11.经过点M（1,5）且倾斜角为的直线，以定点M到动点3P的位移t为参数的参数方程是A、1t2上2B、C、答案：A1t2-3t212.若直线A、3答案：C13.设a,bA、R,1t232D、bt321t2at（t为参数）与圆x2+y2-4x+1=0相切,则直线的倾斜角为B、八2c、一或一33D、或52b26,则ab的最小值是（C）B、C、一3D、43t14.若直线l的参数方程为y轴上5（t为参数），则过点（4,-1）且与l平行的直线在23t5的截距为答案：-4x15.直线y1 3t(t2 3t为参数）的倾斜角为;直线上一点 P（x , y）与点M（-1距离

14、为答案：135。，|32t|x16.圆 C y对称白圆C3 4cos ,2 4sin的普通方程是（为参数）的圆心坐标为,和圆C关于直线x答案：(3,2);(x+2)2+(y3)2=1617.在极坐标系中，圆cos与直线cos1的位置关系是答案：相切18.在极坐标系中，直线AB.答案：8-(R)与圆4cos4j3sin交于A、B两点，则319.在直角坐标系xOy中，直线l的方程为x-y+4=0,曲线C的参数方程为x、3cosaysina(I)已知在极坐标(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点。为极点，以x轴正兀半轴为极轴)中，点P的极坐标为(4,),判断点P与直线l的位置关系；(II)设点Q是曲线C上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值.解：(1)把极坐标下的点(4,-)化为直角坐标得：P(0,4)又点P的坐标满足直线方程，所以点P在直线l上。(2)因为点Q在曲线C上，故可设点Q的坐标为(J3sin,cos),从而点Q到直线l的距离为2cos()4,|.3cossin416八,、八,td尸!1J2