求解海洋内波垂向结构的几种Sturm变换方法

1、求解海洋内波垂向结构的几种Sturm变换方法基金项目：国家自然科学基金资助项目（50179024） 作者简介：叶春生，1976，男，博士，讲师主要从事物理海洋学及水力学的研究Email: smileyshark; Tel: 133 9371 9089叶春生1 蒋晶晶1 沈国光2 （1.郑州大学水利与环境学院，郑州，450001；2.天津大学建筑工程学院，天津，300072）摘 要：海洋内波垂向结构的求解是研究海洋内波的基础，利用Sturm变换求解垂向结构是一种行之有效的方法。首先，分析了二阶线性变系数常微分特征值方程转化为Sturm-Liouville标准型的一般方法。其次，利用一般方法，给出

2、了将海洋内波垂向结构转化为标准型的一次Sturm变换及其标准型。随后，给出了另外两种形式的一次Sturm变换及其标准型。然后，给出了二次Sturm变换的方法及其标准型。通过Sturm-Liouville理论的研究，获得了用于海洋内波研究的四种形式的Sturm变换，以及相应的标准型。一次Sturm变换的三种形式可用于低频内波的求解，二次Sturm变换的形式可用于高频内波的求解。根据Sturm-Liouville理论，各种形式标准型的数值解构成Hilbert空间，从而实测海洋内波数据可以表示成解向量的广义Fourier级数。关键词：海洋内波；垂向结构；特征值方程；Sturm-Liouville标准

3、型；Sturm变换；低频内波；高频内波；广义Fourier级数中图分类号:O 35312 文献标识码: ASeveral Methods of Sturm Transformation in Solving the Vertical Structure of Ocean Internal WavesYe Chunsheng1 Jiang Jingjing1 Shen Guoguang2 （1. Zhengzhou University, School of Water Conservancy and Environment Engineering, Zhengzhou 450001; 2. T

4、ianjin University, School of Civil Engineering, Tianjin,300072）Abstract: Its a basis of solving the vertical structure to study the ocean internal waves, and Sturm transformation is an effective method in use. First, it analyses the general method of how to transfer a second order ordinary different

5、ial eigenvalue equation with variable coefficients into Sturm-Liouville standard type. Second, applying the general method, it gives one-time Sturm transformation which is used to transfer control equation of internal waves into its standard type. Third, it gives another two types of Sturm transform

6、ation and their standard types respectively. Later, it gives two-time Sturm transformation and its relative standard type. Through the study of Sturm-Liouville theory, it obtains four types of Sturm transformation and gives their standard types respectively. Three types of one-time Sturm transformat

7、ion could be used in solving lower frequency internal waves, while the type of two-time Sturm transformation could be used in solving higher frequency ones. According to Sturm-Liouville theory, numerical results of each standard type of vertical structure compose Hilbert space, hence field data of o

8、cean internal waves could be expand into general Fourier series based on solution vectors.Key Words: Ocean Internal Waves; Vertical Structure; Eigenvalue Equation; Sturm-Liouville Standard Forms; Sturm transformation; Lower Frequency Internal Waves; Higher Frequency Internal Waves; General Fourier S

9、eries1. SturmLiouville理论基础通常，二阶线性变系数常微分特征值方程可以写为如下形式 （1）式中，。由数理方程可知，对于任意一个二阶线性变系数常微分特征值方程，乘以适当的函数后总可以化为下面的形式1 （2）上式称为Sturm-Liouville方程，以下简记为SL。为自变量，称为权重函数。为与密度函数区分，此处的权重函数记为，与文献1有所不同。若令，则（2）式变为 （3）这是特殊情况下的SL方程，与（2）式相比，（3）式不存在未知函数的一阶导数项。SL方程又可写成如下形式 （4）微分算符为 （5）时，若且仅在有限个点上成立，则有如下结论：(1) 存在可数多个实的特征值，以及

10、与特征值相对应的特征函数系，；(2) 所有特征值非负，即；(3) 特征函数系是关于权函数的完全正交系，即： （6）(4) 若在上有连续的一阶导数及分段连续的二阶导数，且在边界上是第一、第二、三类齐次边界条件或自然边界条件，则关于的广义Fourier级数在上绝对且一致收敛于。其中，各项的Fourier系数由下式决定 （7）2. 海洋内波的垂向结构2海洋内波是发生在密度稳定层化的海水内部的一种波动，其最大振幅出现在海洋内部，波动频率介于惯性频率和浮力频率之间，其恢复力在频率较高时主要是重力与浮力的合力。海洋内波与表面波最显著的区别在于内波最大的振幅发生在海面以下，存在垂向波数，且内波的控制方程决定

11、了在其传播的深度范围内，会有不同的内波模态。内波控制方程整理简化后为如下形式 （8）式中：为海洋内波垂向速度幅值，深度的函数；、分别为关于深度的一阶、二阶导数；为浮力频率，深度的函数，可表示为；为重力加速度；为海洋内波的圆频率；为海洋内波的水平波数；为地转惯性频率。（8）式的特征方程为 （9）其判别式为 （10）对于实际海洋，是个小量，可以不予考虑。由于地转频率相对于海洋内波圆频率小得多，亦可以忽略不计。从而，判别式的符号完全由与的大小关系决定。判别式的正负决定了解的特性，即在垂向上是否存在波动。典型的海洋密度分层与浮力频率分布如图1所示3。-HZXNZ00G2G1图1 典型海洋密度及浮力频率

12、分布示意图Fig.1 Density and Blunt frequency distribution of typical ocean areas图1中，、是选定的内波圆频率与浮力频率曲线的两个交点。设交点的纵坐标分别为、。由于内波圆频率不可能比来得更大，仅当时，才可能有内波的存在。由实际海洋浮力频率的分布特性，决定了某一圆频率为的内波只能在一定的深度范围内传播，即存在波导，内波的传播限于波导内而不会穿越。从图1中可以看到，圆频率为的内波仅存在于与的两个交点、所限定的区间内。海洋内波控制方程为二阶线性变系数常微分特征值方程，因此可以归结为SL问题。考虑到某一频率的内波，在整个水深范围内方程具

13、有分层特性，可以利用两次变换及一般二阶方程的通用变换方法，将内波控制方程转化为SL标准型。3. 获取SL标准型的几种方法3.1 获取SL标准型的一般方法获取SL标准型的一般方法，不妨称之为一次Sturm变换。设，简记为，则 （11） （12）将微分算符（5）式代入（4）式有 （13）将代入原始微分方程（1）整理可得 （14）比较（13）、（14）两式得 （15）方程组中，、和是未知函数。由该方程组的前两式可得 （16）对（16）式两边同时积分得 （17）求得之后，分别代入（15）式中的一、三、四式，相应地可以求解、和。对于任意二阶线性变系数常微分特征值方程，只须令 （18）即可将原方程转化为形

14、如的SL标准型。3.2 海洋内波控制方程的一次Sturm变换对于海洋内波问题，其控制方程为（8）式。显然，该式属于自变量为的二阶线性变系数常微分特征值方程。比较（1）式可得，注意到，由一次Sturm变换可得 （19）从而有 （20） （21）将（20）、（21）两式代入（8）式整理可得 （22）与（13）式相比可知 （23）于是，（22）式可以整理为 （24）由公式（4）可知，上式为SL标准型。数值求解上式，需要给出的边界条件。的边界条件可以由变换（19）式及下文的边界条件给出。3.3 一次Sturm变换的第二种形式3在（8）式两边同时乘以密度函数，整理后不难得到 （25）显然，上式为SL标准

15、型，未知量以而不是来表述。这一点具有较为重要的实用价值，因为从形式上看，（25）式比（24）式简单。（24）、（25）两式为一次Sturm变换之后的海洋内波控制方程，但是仅对于低频内波的求解有实际意义，下面通过正交性的证明来说明这个问题。3.3 解函数正交性的证明4以（25）式为例。设固有函数和分别满足方程（25）式，即 （26） （27）将式（26）×、（27）×，相减可得 （28）对（28）式从到积分得（29）所以有（30）参照图1，对于低频海洋内波，表面边界条件可以采用刚盖近似，即 （31）在海底，由于水质点不可穿越，边界条件可以表述为 （32）将（31）、（32）两

16、式代入（30）式右端，不难得到（30）式右端为零，故 （33）由SL理论，当时，所以有 （34）因此，SL型方程（25）式，其解函数关于权函数是正交的。通过证明过程可知，低频内波满足边界条件（31）式和（32）式，此时（25）式才具有实用价值。当时，将式（26）×得 （35）从到积分得 （36）由（31）式和（32）式，不难知道上式右端第一项为0。由于第二项被积函数非负，并且存在内波的区域满足，由（36）式可得 （37） 上式说明，对于（25）式，其特征值。3.4 一次Sturm变换的第三种形式5根据SL理论，对SL标准型方程，如果，此时一阶导数项为零。由（3）式的导出及其描述，对于

17、海洋内波的控制方程，可以寻求某种变换，如果一阶导数项的系数为零，则获得的方程为SL标准型。不妨设，则 （38）（39）将式（38）、（39）代入内波控制方程（8）式，不难得到一阶导数项的系数，令其等于零可得 （40）将代入上式，两边同时积分可得 （41）因此，变换可以取为，将其代入（8）式可得 （42）式中，该式即欲求的SL标准型。4. 获取SL标准型的两次Sturm变换364.1 一次Sturm变换利用上述一次Sturm变换的另一种形式，得到（42）式。4.2 二次Sturm变换整理（42）式可得 （43）参照图1，对于分布而言，在整个坐标轴上，将其分成上、中、下三个区域，分别记为、区。由分

18、布知，在、区，；在区，。故（43）式是对应的、区Sturm-liouville微分方程；在区，因为<0，所以对应的SL型微分方程应为下式 （44）因为仅当时，才可能有内波的存在。以下讨论将内波方程在区转化为SL标准型的情形。由数理方程，对于区的微分方程（44）式，如果设，并做第二次Sturm变换，则变换的结果仍为SL标准型6。由变换关系，不难求得 （45）对二次Sturm变换求一阶导数可得 （46）对（46）式求二阶导数可得 （47）考虑到，将（46）、（47）式整理可得 （48） （49）下面计算项。由（48）、（49）式消去可得 （50）从而， （51）将（51）式代入（44）式，将

19、替换成，等式两边再同时乘以，整理可得 （52）上式便是海洋内波控制方程在区时的SL标准型。4.3 边界条件由图1可以看出，在、点处，有，即，故不难得出如下边界条件 （53） （54）需要提到的一点是，当内波的圆频率较低的时候（如半日潮频），可以预见理论上的与两点会超出水深范围，此时内波存在的区间为，而不是。菲利普斯曾经就该问题提出过一个判别准则7，即如果下式成立 （55）则刚盖条件仍可以使用。在水面，可以验证该式是可以得到满足的。从而在两次变换之后，仍满足齐次边界条件。4.4 解函数的正交性及一个重要结论类似于一般通用变换方法中正交性的证明，对于二次Sturm变换，正交性表示为 （56）将二次

20、Sturm变换代入（56）式得 （57）由此可见，（56）、（57）两式是等价的。由于（57）式仅适用于低频海洋内波的求解，而（56）式对于求解波导内的高频内波也是可行的，因此前者更具有普遍意义。5. 结论以上给出了求解海洋内波控制方程的四种Sturm变换方法。利用Sturm变换，可以求解海洋内波的垂向结构，具体的数值解过可以参考文献3、6，此处不再给出数值结果。通过理论分析，可以得到如下一些结论：（1） 文中一次Sturm变换的三种形式，以及两次Sturm变换，都可以将海洋内波控制方程转化为SL标准型；（2） 由SL方程的性质，其解向量构成完备的Hilbert内积空间，从而实际测量的海洋内波

21、可以表示成解向量的广义Fourier级数；（3） 由一般二阶线性变系数常微分特征值方程的通用变换方法给出的一次Sturm变换，以及另外两种形式的Sturm变换，仅适用于低频海洋内波的情形，即全水深范围内存在海洋内波的情形；（4） 采用两次Sturm变换的方法，可以获得波导处的边界条件，从而可以仅针对波导区域求解具有垂向波动性质的海洋内波的垂向结构。根据各层的边界衔接条件，进而给出全水深的结果。参考文献1 吴崇试.数学物理方法M.北京：北京大学出版社，2004.Wu Chongshi. Methods of Mathematical PhysicsM. Beijing:Beijing University Press,2004.2 方欣华，杜涛.海洋内波基础和中国海内波M.青岛：中国海洋大学出版社，2004.Fang Xinhua, Du Tao. Fundamentals of Oceanic Internal Waves and Internal Waves in the China SeasM. Qingdao:Ocean University of Chin