正弦定理余弦定理和解斜三角形

1、56正弦定理、余弦定理和解斜三角形正弦定理：（2R为三角形外接圆直径），（为三角形面积），其他形式： a ：b ：c =sinA：sinB：sinCCABacb a=2RsinA, b=2RsinB , c=2RsinC余弦定理：a2=b2+c2-2bccosA,(可按a,b,c,轮换得另二式)余弦定理变式： , (轮换得另二式)余弦定理向量式：如图a=b+ c , c= a b c2=|c|2=|a-b|2=(a-b)2=a2+b2 - 2ab =a2+b2 - 2abcosC(其中a|=a,|b|=b,|c|=c)【例1】在ABC中，求证：.变式训练1在ABC中，a、b、c分别是角A、B、

2、C的对边求证：.【例2】在ABC中，若B60°，2bac，试判断ABC的形状变式训练2在ABC中，已知(abc)(bca)3bc，且sin A2sin Bcos C，试确定ABC的形状【当堂训练】1、在三角形中, 如果, 那么这个三角形是 （ ） A直角三角形 B 锐角三角形 C钝角三角形 D 直角三角形或钝角三角形2、在ABC中，“”是“”的 （ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件3、在ABC中，已知B=30°, ,c=150，那么这个三角形是 （ ）A等边三角形B直角三角形C等腰三角形D等腰三角形或直角三角形4、设A是ABC中的最小角

3、，且，则实数a的取值范围是 （ ）Aa3Ba1C1a3Da05、在ABC中，a,b,c,分别是三内角A、B、C所对的边，若B=2A，则b:a的取值范围是（ ）ABCD6、在ABC中，若三个内角A，B，C成等差数列且A<B<C，则的取值范围是（ ）ABC D7、在中，所对的边长分别为，设满足条件和，求和的值8、已知的三边、成等比数列，且，（1）求；（2）求的面积【家庭作业】一、填空题1在中，已知，则_2已知等腰三角形的底边上的高与底边长之比为，则它的顶角的正切值是_3在中，若，那么三角形的形状为_4在中，则_5在中，则 6在锐角中，若，则的取值范围是_7在中，若，则_8在中，已知，若

4、此三角形有两解，则的取值范围是_9(A)在中，则三角形的形状为_ (B) 已知，且，则在及中必为常数的有_10(A)在中，则的取值范围是_ (B)已知三角形的三边长分别是，则三角形的最大角等于_二、 选择题 11在中，是 （ ）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件 12在中，若则此三角形是 （ ） A. 等腰三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.钝角三角形13在中，若，那么其三边关系式为 （ ）A. B. C. D. 14(A)在中，为三角形三条边，且方程有两个相等的实数根，则该三角形是 （ ） A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.等腰

5、三角形 (B)已知关于的方程的两根之和等于两根之积的一半，则是 （ ）A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰或直角三角形 D.等腰直角三角形 三、解答题 15在中，若，试判断三角形的形状16在中，若，求。17在中，若。（1）求；（2）若，求的值。18(A)已知A码头在B码头的南偏西处，两码头相距200千米，甲、乙两船同时分别由A码头和B码头出发，乙船朝着西北方向航行，乙船的航行速度为40海里/小时，如果两船出发后5小时相遇，求甲船的速度。（1海里=1.852千米）（精确到0.1海里）(B)甲船在点发现乙船在北偏东的点处，测的乙船以每小时海里的速度向正北行使。已知甲船速度是每小时海里，问：甲船

6、如何行驶才能最快与乙船相遇？19、(A)在中，若，（1）判断三角形的形状；（2）如果三角形面积为，求三角形周长的最小值。 (B)三条线段长分别为和，其中，是否能以此三条线段构成三角形？并说明理由。参考答案例1、证明方法一左边·右边，所以.方法二右边··左边，所以.变式1证明方法一左边右边等式成立方法二右边左边等式成立例2、解方法一根据余弦定理得b2a2c22accos B.B60°，2bac，2a2c22accos 60°，整理得(ac)20，ac.ABC是正三角形方法二根据正弦定理，2bac可转化为2sin Bsin Asin C.又B60&

7、#176;，AC120°.C120°A，2sin 60°sin Asin(120°A)，整理得sin(A30°)1，A60°，C60°.ABC是正三角形变式2解由(abc)(bca)3bc，得b22bcc2a23bc，即a2b2c2bc，cos A，A.又sin A2sin Bcos Ca2b·，b2c2，bc，ABC为等边三角形【当堂训练】1、答案：D解析：利用正、余弦定理将角变为边求解2、答案：B解析：利用三角形内角和与三角函数的性质来解决3、答案：D解析：利用正弦定理4、答案：A解析：因为A是最小的角，根据A

8、的范围来求。5、答案：B6、答案：C解析：2B=A+C，设，（d > 0）则，又7、答案：,解析：解法一：由余弦定理，因此， 在ABC中，C=180°AB=120°B.由已知条件，应用正弦定理： 解得从而解析：（1）由， 由、成等比数列，知，且不是最大边 （2）由余弦定理 得， 【家庭作业】一、填空题1. 2或12. 3. 等腰直角三角形4.5. 6. ()7. 8. 9. （A）等边三角形，(B) 10. （A）, (B)二、选择题11. C 12. B 13. B 14.（A） A (B) A三、解答题15. 由，得，化简得，即是等腰三角形。16. ，17. （1）由题设得，即，解得，故；（2），即，将代入，得，解得或。18. (A)如右图，设两船在处相遇，由题意，（单位：千米）。 所以 即千米，所以甲船的速度为海里/小时。（B）设两船的相遇处为点，如图：，可知，在中，为定值，分别是甲船与乙船在相同时间里的行程。由已知条