正态总体均值及方差的区间估计

1、第十九讲 正态总体均值及方差的区间估计1. 单个正态总体方差的区间估计设总体， 为来自的一个样本，已给定置信度（水平）为，求的置信区间。当已知时，由于，因此，（）。由分布的定义知：，据分布上分位点的定义，有：从而 故的置信度为的置信区间为：当未知时，据抽样分布有：类似以上过程，得到的置信度为的置信区间为：的置信度为的置信区间为：例有一大批袋装糖果, 现从中随机地取出16袋, 称得重量(以克计)如下:506508499503504510497512514505493496506502509496设袋装糖果的重量近似地服从正态分布,求总体标准差的置信水平为0.95的置信区间.解：总体均值未知，的置

2、信度为的置信区间为：此时， ，查表得 由给出的数据算得因此，的一个置信度为0.95的置信区间为（4.58，9.60）.2. 两个正态总体均值差的区间估计设总体，且与相互独立，来自的一个样本，为来自的一个样本，且设分别为总体与的样本均值与样本方差，对给定置信水平，求的一个置信区间。（1）当已知时，由第六章定理1知，又与相互独立，所以，即；所以可以得到的一个置信水平为的置信区间为：（2）当，但未知时，由第六章定理4知： 其中，从而可得：的一个置信水平为的置信区间为：例:为比较，两种型号步枪子弹的枪口速度，随机地取型子弹10发，得到枪口平均速度为，标准差，取型子弹20发，得到枪口平均速度为，标准差，

3、假设两总体都可认为近似地服从正态分布，且由生产过程可认为它们的方差相等，求两总体均值差的置信度为0.95的置信区间。解：结合实际，可认为来自两个总体的样本相互独立。因两个总体的方差相等，却未知，所以的一个置信水平为的置信区间为：其中，此处， ,查表得，又,，故所求置信区间为：即 3. 两个正态总体方差比的区间估计设总体，且与相互独立，来自的一个样本，为来自的一个样本，且设分别为总体与的样本均值与样本方差，对给定置信水平，求的一个置信区间。据抽样分布知：由分布的上分位点的定义知，即于是得的一个置信水平为的置信区间为：例:研究由机器A和机器B生产的钢管的内径, 随机地抽取机器A生产的管子18只,

4、测得样本方差抽取机器B生产的管子13只, 测得样本方差设两样本相互独立,且设两机器生产的管子的内径分别服从正态分布和, 这里均未知,求方差比的置信度为0.90的置信区间.解：记机器A生产的钢管为总体X, 机器B生产的钢管为总体Y，由题意知，且来自与的两个样本相互独立，因此，的一个置信水平为的置信区间为此处，查表求能够得到数据，采用线性插值方法有得。又由F函数的性质得.于是所求置信区间为即 由于的置信区间包含1，在实际中我们认为两者没有显著差别。第七章 参数估计第5节 正态总体均值及方差的区间估计单个正态总体均值的区间估计当已知时，的置信水平为的置信区间为： （5.1）当未知时，的置信水平为的置

5、信区间为.（5.4）注意：当分布不对称时，如分布和分布，习惯上仍然取其对称的分位点，来确定置信区间，但所得区间不是最短的。在实际中常遇到下面的问题：已知产品的某一质量指标服从正态分布，但由于原料、设备条件、操作人员不同，或工艺过程的改变等因素，引起总体均值、总体方差有所改变，我们需要知道这些变化有多大，这就需要考虑两个正态总体均值差或方差比的估计问题。在该题中所得置信区间的下限大于0，在实际中我们就认为比大（可信度为95%）；相反，若下限小于0，则认为与没有显著的差别。（课间休息）4. （01）分布参数的区间估计问题：设有一容量的大样本，它来自（01）分布的总体X，X的分布律为，其中为未知参数

6、。现在来求的置信水平为的置信区间。易知（01）分布的均值和方差分别为设大样本来自（01）分布的总体X，由中心极限定理知于是有从而得到的一个置信水平为的置信区间为，其中，。例:从一大批产品中任取100件产品进行检验，发现其中有 60 件是一级品。试求这批产品的一级品率 p 的置信度为 95%的置信区间.解：产品的一级品率p是(01)分布的参数，且样本的容量较大，因此，一级品率 p 的一个置信水平为0.95的置信区间为其中，。此处，由P61页查表得，于是，一级品率 p 的一个置信水平为0.95的置信区间为.5. 单侧置信区间 正态总体均值与方差的单侧置信区间 例:设从一批灯泡中, 随机地取5只作寿

7、命试验,测得寿命(以小时计)为 1050, 1100, 1120, 1250, 1280, 设灯泡寿命服从正态分布, 求灯泡寿命平均值的置信水平为 0.95 的单侧置信下限.解：为(独立同分布的中心极限定理)（林德伯格勒维定理）设相互独立，服从同一分布, 且具有数学期望和方差： , 则中心极限定理的另类描述：均值为, 方差为的独立同分布的随机变量的算术平均值, 当充分大时近似地服从均值为,方差为的正态分布.由于不等式等价于，将不等式化简，以为自变量的函数对应于一个开口朝上的抛物线。设该抛物线与坐标横轴轴的交点分别为（），则等价于。以随机变量X表示某件产品是否是一级品（X=1表示产品是一级品，X=0表示产品不是一级品），则X服从（01）分布，分布律为请大家思考如何从正态分布表中查