沪教版九年级上册 243 相似三角形中的证明与计算 讲义

1、主 题相似三角形中的证明与计算教学内容学习目标：1综合运用所学判定定理结合相似三角形的定义进行判定或计算；2综合运用相似三角形的性质解决几何问题互动（此环节设计时间在2030分钟）相似三角形的判定定理：相似三角形的性质定理：回顾上次课的预习思考内容已知：如图，在ABC中，BDAC于点D，CEAB于点E，EC和BD相交于点O，联接DE（1）求证：EODBOC； （2）若SEOD16，SBOC36，求的值参考答案：（1）证明：在BOE与DOC中BEOCDO，BOECODBOECOD 即 又EODBOC EODBOC(2) EODBOCSEOD16，SBOC36 在ODC与EAC中AECODC，OC

2、DACEODCAEC 即 问题1：上题中如何证明ADEABC？参考答案：先证ABDACE，再根据两边对于成比例且夹角相等即可。问题2：上题中共有多少对相似三角形？参考答案：8对精选例题：（此环节设计时间在4050分钟）例题1：如图，在ABC中，D是AB的中点，过点D的直线交边AC于点E，交BC的延长线于点F，求证： 教学说明：此题考查三角形一边的平行线性质定理推论；注意讲解此类题作平行线的不同方法；证明：如图，过点C作CGAB，交DF于点G CGAD， 同理：， 又AD=BD， ， 试一试：如图，直线BD交AC、AB于D、F，交CB的延长线于E，且，求的值参考答案：如图，过点D作DGBC，交A

3、B于点G，则有，又，设AF=7k，FB=3k，则AB=10k，于是AG=4k，GF=3k，例题2：已知：如图，正方形ABCD的边长是1，P是CD的中点，点Q是线段BC上一动点，当BQ为何值时，以A,D,P为顶点的三角形与以Q,C,P为顶点的三角形相似 分析：ADP与QCP相似时，D=C=90°，分两种情况讨论解：正方形ABCD的边长是1，P是CD的中点， PD=PC= 当DPA=CPQ时，即，解得CQ=1， ；当DPA=PQC时，解得， 试一试：如图，在正方形ABCD中，E为BC中点，点F在CD边上，且DF = 3 FC，联结AE、AF、EF，图中是否存在与EAF相等的角？若存在，请

4、写出并加以证明；若不存在，请说明理由参考答案：图中存在与相等的角，分别是和由正方形ABCD得 ，E为BC中点，DF = 3 FC，在和中，且 ，且在中， ，又， 同理例题3：如图，已知在中，于，是的中点，的延长线与的延长线交于点（1）求证：FDCFBD；（2）求证：证明：（1）， ACD+DCB=B=DCB=90°ACD=B 是的中点 DE=EC ACD=FDCFCD=B FDCFBD(2) FDCFBD 在和中， 试一试：如图，梯形中，点在边上，与相交于点，且求证：（1）； （2）证明：（1）在梯形中， ， 证明：（2）， 例题4：如图所示，在直角梯形ABCD中，点E在BC上，点F

5、在AC上，（1）求证：；（2）当AD=8，DC=6，点E，F分别是BC，AC的中点时。求直角梯形ABCD的面积解：（1）在梯形ABCD中， DAF=ACE又DFC=AEB，DFC=DAF+ADF， AEB=ACE+CAEADF=CAE， （2）AD=8，DC=6， AC=10，又F是AC的中点，AF=5， , CE=.E是BC的中点， BC=, 直角梯形ABCD的面积=（+8）6=课堂达标训练：此环节设计时间在30分钟左右（20分钟练习10分钟互动讲解）。1如图：四边形对角线与相交于点，（1）求证：；（2）点在线段上，若，求证：证明：（1）， . 又， .（2）由（1）得：. .， . . ，

6、 . . .2如图，在矩形中，点是线段上的一个动点，将三角板的直角顶点重合于点，三角板两直角中的一边始终经过点，另一直角边交射线于点（1）证明：；（2）设，求与的函数关系式，并写出它的定义域；解：（1）矩形， 题意 （2）点在边上，据题意： 又 课堂回顾：（此环节设计时间在510分钟内）让学生回顾本节课所学的重点知识，以学生自我总结为主，学科教师引导为辅，为本次课做一个总结回顾课后作业：【巩固练习】1如图，在ABC中，如果CE平分ACB，D在BC边上，AD交CE于F，且CAD=B，那么图中与CDF相似的三角形是 参考答案：CAE 2在中，是的中点，且，与相交于点，与相交于点（1）求证：；（2）若，求的面积参考答案：（1）略； （2）4.53如图，在平行四边形中，为边上一点，且，在上取一点，使（1）请直接写出图中所有相似的三角形（不必证明）；（2）若，求的值