数学试验四概率论一用MATLAB计算随机变量的分布1用

1、数学实验四(概率论)一.用MATLA计算随机变量的分布1 用MATLAB计算二项分布当随变量X : B(n, p )时，在MATLAB用命令函数Px =binopdf (X , n, p)计算某事件发生的概率为 p的n重贝努利试验中，该事件发生的次数为 X的概率。例1在一级品率为0.2的大批产品中，随机地抽取 20个产品，求其中有2个一级品的 概率。解在MATLAB，输入>>clear>> Px=bi nopdf(2,20,0.2)Px =0.1369即所求概率为0.1369b2. 用MATLAB计算泊松分布当随变量X : P(；|)时，在MATLAB用命令函数P =

2、poisspdf (x, lambda)计算服从参数为lambda的泊松分布的随机变量取值 x的概率。用命令函数P = poisscdf (x,lambda)计算服从参数为lambda的泊松分布的随机变量在fo,x 取值的概率。例2用MATLAB十算：保险公司售出某种寿险保单 2500份.此项寿险每单需交保费120元，当被保人一年内死亡时，其家属可以从保险公司获得 2万元的赔偿(即保额为2万元).假设此类被保人一年内死亡的概率 0.002,试求：(1) 保险公司的此项寿险亏损的概率 ；(2) 保险公司从此项寿险获利不少于10万元的概率；(3) 获利不少于20万元的概率.利用泊松分布计算.二np

3、二2500 0.002二5(1) P(保险公司亏本)=15 ,. kk .2500 -kP(302X v0)=1P(X 兰 15)=1送 C500 £0.002)(0.998)k=e=1亠k丄k!_5在MATLAB中，输入>> clear>> P1= poisscdf(15,5)P1 =0. 999915 5k即e'= P1 =0 . 9999k =0 k!故 P 保险公司亏本=1-0.9999=0.0001P获利不少于10万元=10 10- kk2500 _k_ kP(30 2X 310) =P(X 兰10)=送 C2500 £0002 )

4、 (0.998 )C2500k=0k=010 k_55 = e 心k!在MATLAB中，输入 >>P=poisscdf(10,5) P =0.9863即'、=e'=0.9863心k!3P获利不少于20万元=55 k_ kk2500-k_ 5 _5P(302X Z20) =P(X 兰5)=送 C；500 f0.002 ) (0.998 )=L ek =0km k !在MATLAB中，输入>>P=poisscdf(5,5)P =0.61605 k5_5e心k!=0.61603. 用MATLAB计算均匀分布当随机变量 X : U a,b时，在MATLAB中用命

5、令函数P 二 unifpdf x,a,b计算在区间l.a,b 1服从均匀分布的随机变量的概率密度在x处的值。用命令函数P = unifcdf (X,a,b)计算在区间la, b服从均匀分布的随机变量的分布函数在X处的值。例3乘客到车站候车时间：U 0,6，计算P 1 ：- 3。解 P 1 <_3 uP _3 -P _1在MATLAB，输入>>p1=u ni fcdf(3,0,6)pl =0.5000>>p2=u ni fcdf(1,0,6)p2=0.1667>>p1-p2ans =0.3333即P 1 ：_3 =0.33334. 用MATLAB计算指数

6、分布当随变量X : E (&)时，在MATLAB用命令函数P =exp pdf (x,lamda )计算服从参数为片的指数分布的随机变量的概率密度。用命令函数P =expcdf (x,lamda )计算服从参数为丸-1的指数分布的随机变量在区间fo, x 取值的概率。例4用MATLAB计算：某元件寿命服从参数为 ( =1000,)的指数分布.3个这 样的元件使用1000小时后，都没有损坏的概率是多少？解 由于元件寿命服从参数为(=1000)的指数分布，PC 1000) =1 -P(乞 1000)在MATLAB，输入>>p=expcdf(1000,1000)0. 6321 &

7、gt;>1-pans =0.3679即P( .1000) =1 _P( 叮000) = 0.3679再输入>>p2=bi nopdf(3,3,0.3679)p2 =0.0498即3个这样的元件使用 1000小时都未损坏的概率为0.0498。5。用MATLAB计算正态分布当随变量X : N (巴02 )时，在MATLAB中用命令函数P = no rmpdf (K, mu, sigma)计算服从参数为 巴貯的正态分布的随机变量的概率密度。用命令函数P = normcdf (K, mu, sigma)计算服从参数为 巴貯的正态分布的随机变量的分布函数在K处的值。2年.如该例5用MA

8、TLAB计算：某厂生产一种设备，其平均寿命为10年，标准差为设备的寿命服从正态分布，求寿命不低于9年的设备占整批设备的比例？。解设随机变量为设备寿命，由题意 N(10,22)PC _9) =1 _P( ：9)在MATLAB，输入>>clear>> p1=n ormcdf(9,10,2)p1 =0.3085>>1-p1ans = 0.6915二.利用MATLA计算随机变量的期望和方差1. 用MATLAB计算数学期望(1 )用MATLAB十算离散型随机变量的期望 通常，对取值较少的离散型随机变量，可用如下程序进行计算：X 二Xi,X2, X； P =Pl, P2

9、； , Pn； EX 二 X * P对于有无穷多个取值的随机变量，其期望的计算公式为:odE(X)=送 xpi -0.可用如下程序进行计算：EX =symsum(Xi p ,0,inf)例6 一批产品中有一、二、三等品、等外品及废品5种，相应的概率分别为0.7、0.1、0.1、0.06及0.04,假设其产值分别为 6元、5.4元、5元、4元及0元.求产值的平均值解 将产品产值用随机变量 表示，那么的分布为:产值©65.4540概率P0.70.10.10.060.04产值的平均值为'的数学期望。在 MATLAB中，输入-6 5.4 5 4 01 ；p-l.0.7 0.1 0 1

10、 0 06.004E =5.4800即产品产值的平均值为5.48.例7随机变量X的分布列如下:k =12 n,计算EX.00 1解 - EX八5k zfc 2在MATLAB中，输入syms k ；symsum(k* (1/2)A k.k.1, inf)ans 二值得注意的是，对案例3.15中简单随机变量，直接用公式计算即可， 不一定使用软件计算。(2)用MATLAB十算连续型随机变量的数学期望假设X是连续型随机变量，数学期望的计算公式为：EX xf(x)dxJjoO程序如下：EX =int(x* f(x), _inf,inf)例8用MATLAB计算：假定国际市场上对我国某种商品的年需求量是一个

11、随机变量a _ x _ b其它(单位：吨)，服从区间l.a,b I上的均匀分布，其概率密度为: 计算我国该种商品在国际市场上年销售量的期望 E .1 dx b - a在MATLAB中，输入clear; symsx a b;E = int ( x/(b _a), x,a,b)E=1/2/(b-a)*(bA2-aA2)E = (a b)/2(3)用MATLAB十算随机变量函数的数学期望假设g(X)是随机变量X的函数，那么当X为离散型随机变量且有分布律PX =Xk = Pk (k =1,2,n或k =1,2)时，随机变量g(X)的数学期望为：cdEg(X)八 g(xQPkk =0其MATLAB计算程

12、序为：Eg(X)二symsum(g(Xk)* Pk,0,inf)当X为连续型随机变量且有概率密度 ;：(x)时，随机变量g(X)的数学期望为：Eg(x) =必(沪(x)dx其MATLAB计算程序为：EX =int(g(x)* f(x),_inf,inf)例9利用MATLAB十算：假定国际市场每年对我国某种商品的需求量是 随机变量X 单 位：吨，服从20,40上的均匀分布，该商品每售出 1吨，可获利3万美元，假设销售不 出去，那么每吨要损 失1万美元，如何组织货源，才可使收益最大？解设y为组织的货源数量，R为收益，销售量为依题意有R=g=3 _y_-y化简得又销售量服从20,40上的均匀分，即1

13、20 ：: x : 40：x二 200其它于是E(R)=Eg( )=：.g(x) (x)dxJtJO1 40一20 20 g(x)dx1 y140一0(4xy)dx+f 3ydx20 2020 y在MATLAB 命令窗口输入>>clear ;symsx y>>EY=1/20*(i nt(4*x-y),x,20,y)+in t(3*y,x,y,40)结果显示1/10*yA2-40-1/20*y*(y-20)+3/20*y*(40-y)将其化简，输入命令>>simplify(1/10*yA2-40-1/20*y*(y-20)+3/20*y*(40-y)结果显示-

14、1/10*yA2-40+7*y再对y在区间120,40 1上求最大值，在命令窗口输入>> f min bnd('1/10* xa 2 -7* x 40',20,40)结果显示3.5000e+001即当组织35吨货源时，收益最大。(注：simplify (f)是对函数f化简；fminbnd( f' ,a,b)是对函数f在区间a,b上求 极小值。要求函数的极大值时只需将f '变为 -f ')2. 用MATLAB计算方差计算方差的常用公式为：D(X) =E(X2) -E(X)2假设离散型随机变量 X有分布律PX二Xk二Pk (k =1,2,n或k=

15、1,2),其MATLAB计算程序为X 二Xi,X2, ,Xn； P =Pi, P2，Pn； EX =X * P；2AD(X)二X. * P -EX 2假设X是连续型随机变量且密度函数为f(x)，那么方差的MATLAB计算程序为EX =int(x* f(x), _inf,inf);2D(X)二int(x * f(x), inf,inf) -EX 2例10利用MATLAB十算：设有甲、乙 两种股票，今年的价格都是10元，一年后它们的价格及其分布分别如下表：X元812.115P0.40.50.1Y元68.623P0.30.50.2试比拟购置这两种股票时的投资风险解 两公司的股票价格都是离散型随机变量

16、先计算甲公司股票的方差，在MATLA晞令窗口输入X =8,121,15;P 二0.4,0.5,0.1;EX =X.* P;DX 二XM2* P -EX 人2运行结果显示DX =5.7425类似的程序我们可得乙公司股票的方差为DY =39.09相比之下，甲公司股票方差小得多，故购置甲公司股票风险较小。例11用MATLAB十算：例8中我国商品在国际市场上的销售量的方差解 销售量为la,b 1上均匀分布，即密度函数为1a Ex Eb(x)二 b -aI 0 其它在MATLAB令窗口输入clear; symsxab;E =int( x/(b-a), x,a,b)；DF： =int(1/(b _a)xA

17、2,x,a,b) _E 人2运行后结果显示1/3/(b-a)*(bA3-aA3)-1/4/(b-a)A2*(bA2-aA2)A2将其化简，在命令窗口中输入simplify(1/3/(b-a)*(bA3-aA3)-1/4/(b-a)A2*(bA2-aA2F2)结果显示1/12*aA2-1/6*b*a+1/12*bA22即b _a 2 /12，这与前面的结论是一致的。3. 常见分布的期望与方差常见分布的期望与方差可以调用如下函数完成表3.1 分布类型名称函数名称函数调用格式二项分布Bino statE,D= Bin ostat(N,P)几何分布GeostatE,D= Geostat(P)超几何分布HygestatE,D= Hygestat(M,K,N)泊松分布PoisstatE,D= Poisstat(九)连续均匀分布Uni fstatE,D= Uni fstat(N)指数分布ExpstatE,D= Expstat(MU)正态分布NormstatE,D= No