梁弯曲时的强度条件

1、第五节 梁弯曲时的强度条件梁截面上的弯矩M是随截面位置而变化的。因此，在进行梁的强度计算时，应使在危险截面上，即最大弯矩截面上的最大正应力不超过材料的弯曲许用应力s，即梁的弯曲强度条件为:(1-29) 应用强度条件，同样可以解决强度校核、设计截面和确定许可载荷等三类问题。下面例题说明了它在解决强度校核方面的应用。本节另外附有例1-17，1-18和1-19三道例题来加强读者对此部分地掌握。有兴趣的可以点击作进一步的学习。例1-16图a所示容器，借助四个耳座支架在四根各长2.4m的工字钢梁的中点上，工字钢再由四根混凝土柱支持。容器包括物料重110kN，工字钢为16号型钢，钢材弯曲许用应力s=120

2、MPa，试校核工字钢的强度。解析：将每根钢梁简化为简支梁，如图a，通过耳座加给每根钢梁的力为kN。简支梁在集中力的作用下，最大弯矩发生在集中力作用处的截面上，P力在梁的中间L/2处，最大弯矩值为：由型钢表查得16号工字钢的 ，故钢梁的最大正应力为：MPa120MPa 故此梁安全。 第二十章  弯曲的强度计算第一节  概述    如图20-1所示的车轴，图20-2所示的桥式吊车梁，以及桥梁中的主梁，房屋建筑中的梁等。受力后这些直杆的轴线将由原来的直线弯成曲线，这种变形称为弯曲。以弯曲变形为主的杆件通常称为梁。   &

3、#160; 一般说来，当杆件受到垂直于杆轴的外力，或在通过杆轴的平面内受到外力偶作用时，杆将发生弯曲变形。我们先来研究比较简单的情况，即梁的横截面具有对称轴图20-3（a），全梁有对称面，并且所有外力都作用在对称面内的情形。在这种情形下梁的轴线弯成位于对称平面内的一条平面曲线图20-3（b），这种弯曲属于平面弯曲。本章就是讨论平面弯曲时横截面上的内力、应力和变形问题。第二节  静定梁的基本形式    梁是一种常用的构件，几乎在各类工程结构中都占有重要地位。本章只讨论以下几种最基本的梁。一、简支梁    图20-4（a）所示为

4、某型内燃机凸轮轴的结构示意图，挺杆作用于轴的力P垂直于轴线，在P力作用下，凸轮轴将产生弯曲变形。一般情况下，凸轮轴两端滑动轴承可近似简化为铰支座，而右支座只限制轴在垂直方向的位移，则简化为活动铰支座。通常轴本身用轴线表示。其计算简图如图20-4（b）所示。这种一端为固定铰支座、另一端为活动铰支座的梁，称为简支梁。二、悬臂梁    图20-5（a）所示摇臂钻床的悬臂，一端套在立柱上，另一端自由。空车时悬臂除受自重外，还有立轴箱的重力作用而产生弯曲。由于立柱的刚性较大，且悬臂套在立柱上也有一定的长度，使悬臂左端可简化为固定端，这样就得到如图20-5（b）所示的计算简图

5、。这种一端固定，另一端为自由的梁，称为悬臂梁。三、外伸梁    某机械主传动箱内的传动轴，其外伸端装有锥形齿轮图20-6（a），作用于齿轮的 Pq力除轴向力Pa外，还有径向力Pr和圆周力P（图中Pr和P未画出），如果单独研究Pa对轴的作用，可将Pa平移至轴上，则可简化为一沿轴线作用的Pa和一力矩Mo=Par，轴向力Pa使轴产生压缩变形（这里暂不考虑），而力偶Mo将使轴产生弯曲变形。因为力Pa向左，轴必向左移动。现假定右轴承限制轴在水平和垂直两方向的位移，故可简化为固定铰支座。此时左轴承仅限制轴在垂直方向的移动，则简化为活动铰支座。于是得到 如图20-6（b）所示的

6、计算简图。这种由一个固定铰支座和一个活动铰支座支承，而且有一端（或两端）伸出支座以外的梁，称为外伸梁。     上 述简支梁、悬臂梁和外伸梁，都可以用平面力系的三个平衡方程来求出其三个未知反力，因此，又统称为静定梁。有时为了工程上的需要，为一个梁设置较多的支 座，因而使梁的支反力数目多于独立的平衡方程数目，这时只用平衡方程就不能确定支反力。这种梁称为超静定梁。本章将仅限于研究静定梁。    梁上的载荷有集中力、集中力偶和分布载荷（分布力）。分布载荷即为作用线垂直于梁轴线的线分布力，常以载荷集度q表示。其常用单位为N/m或kN

7、/m。第三节  平面弯曲时梁横截面上的内力一、内力 为了计算梁的应力和变形，首先应该确定梁在外力作用下任一横截面上的内力。这个问题可以利用截面法解决。    如图20-7（a）所示的简支梁，承受集中力P1、P2、P3作用。先利用平衡方程求出其支座反力YA、YB。现在用截面法计算距A为x处的横截面C上的内力，将梁在C截面假想截开，分成左右两段，现任选一段，例如左段图20-7（b），研究其平衡。在左段梁上作用着外力YA和P1，在C截面上一定存在着某些内力以维持其平衡。     现将左段梁上所有外力向C截面形心

8、O简化，得主矢量Q和主矩M图20-7（b）中虚线所示。由此可知，为了维持AC段梁的平衡，C截面上必然存在着两个内力分量：与主矢量Q平衡的内力Q和与主矩M平衡的内力偶矩M。称内力Q为剪力，内力偶矩M为弯矩。     由左段梁的平衡条件可得X截面的剪力和弯矩，即                          

9、                                                  

10、                                                   

11、0;                    式为向C截面形心O取矩。     同理，如以右段为研究对象图20-7（c），并根据CB段梁的平衡条件计算C截面的内力，将得到与式（a）、（b）数值相同的剪力和弯矩，但其方向均相反。这一结果是必然的，因为它们是作用力与反作用力的关系。二、应力剪力和弯矩是由分布在横截面上的应力构成的。虽然我们还不知道应力在横截面上的分布规律，但可将它们分

12、解成正应力和剪应力。由图20-8（b）可看出，剪力Q是由剪应力组成的。而弯矩M的出现可以这样来说明：图20-8（a）的梁在P力作用下将向下弯，这时横截面的下部区域作用着拉应力，上部区域作用着压应力，它们分别合成为拉力N2和压力N1，而N1和N2大小相等，平行反向，从而构成一力偶，这就是弯矩M。下面介绍剪力和弯矩的符号规定。与拉、压、扭转类似，弯曲时也是根据变形来确定它们的内力符号。自梁内取出dx小段，其错动趋势如图20-9（a）所示，即“左上右下”时剪力为正，反之为负图20-9（b）。至于弯矩的符号，则为当dx小段弯成下凸时弯矩为正图20-9（c），反之为负图20-9（d）。按上述符号规定，计

13、算某截面内力时，无论保留左侧或右侧，所得结果的数值与符号都是一样的。例20-1  图20-10（a）所示简支梁AB，试计算C 、B截面上的内力（B截面是指无限接近于B截面并位于其左侧的截面）。解  首先计算其约束反力，设其方向如图20-10(a)所示。由平衡方程得：                         这里YA 为负，说明它的方向设反了。 下面计

14、算C截面的内力。假想将梁在C截面截开，如果保留左段，可先设剪力QC 与弯矩MC 皆为正，它们的方向必然如图20-10（b）所示。在图20-10（b）中将YA的正确方向画出，这时，由平衡方程得：                        弯矩MC 得正号，说明原先假定正弯矩的转向是对的，同时又表示该截面的弯矩是正弯矩。而剪力QC得负号，说明剪力的方向设反了，实际上为负剪力。最后再计算B截面的内力。将梁假想

15、在B截面截开，并选右段为研究对象，设QB与MB皆为正，由平衡方程得                通过上面的讨论可总结出用截面法求剪力和弯矩的法则如下：欲求某截面的剪力Q和弯矩M，先自该截面切开，保留一段（左段或右段），在截面上对照图20-9（a）和图20-9（c）设出正剪力Q和正弯矩M。然后用 求剪力Q；用 求弯矩M，在写力矩平衡方程时一般以该截面的形心作为力矩中心。最后求出的剪力如得正号表明该截面的剪力是正剪力，如得负号则表明是负剪力。对于弯矩正负也同样判断。 

16、 第四节  剪力图和弯矩图    前 节讨论了梁上任一截面的剪力和弯矩。在梁上取不同的截面，其剪力和弯矩一般说是不同的。为了进行强度计算和变形计算，必须知道沿梁轴线剪力和弯矩的变化规 律，最大剪力和最大弯矩的数值及其所在截面。用图形来表示剪力和弯矩沿梁轴的变化最为方便，这种图形叫剪力图和弯矩图。下面用例题说明这一问题。    例 20-2  切刀在切割棒料时，若刀刃上的切割力在垂直方向的分力为P图20-11（a），切刀的伸出长度为l，试作切刀伸出部分的剪力图和弯矩图。解  首先将刀杆简化为一个受

17、集中力P作用的悬臂梁图20-11（b）。以自由端为坐标原点，在建立梁的剪力和弯矩方程时，取距原点为x的任意截面图20-11（b），并研究截面左边的一段梁。由于其上的外力为已知，故无需先求支座反力。按前述方法，可得到该截面上的剪力和弯矩分别为：                    由于梁上除P力外，再没有其它的载荷，因而这两个方程式（a）、（b）对于全梁的各横截面，即在0xl的范围内均适用。   

18、 由式（a）知，剪力Q是一常数，所以剪力图是一平行于x轴的直线图20-11（c）；由式（b）知，弯矩M是x 的一次函数，所以弯矩图是一直线，只需确定其上两点的数值，例如 处， ； 处， 。选定适当的比例，即可绘出弯矩图20-11（d）。剪力图、弯矩图表明，在固定端处左侧横截面上的弯矩值最大， ，这里的负号实质上仅表示梁的变形现象，而无一般的代数符号的含义。至于剪力，则在各截面上均相同。    综上所述，绘制梁的剪力图和弯矩图的步骤是：画计算简图；求支座反力；列剪力方程和弯矩方程；根据剪力和弯矩方程的特性，计算必要的几个截面上的剪力和弯矩值，按适当的比例分别描点作出

19、Q图、M图，并标出最大弯矩和剪力的数值及其所在截面位置。    例20-3   图20-12（a）所示为一钢板校平机的示意图。其轧辊可简化为一简支梁，工作时所受压力可近似地简化为作用于全梁的均布载荷q图20-12（b），试作梁的剪力图和弯矩图。    解  对于简支梁，必须首先计算支反力，这是因为在计算横截面的剪力和弯矩时，不论取截面哪一边的梁，其上的外力均包括有一个支反力。在本例中，梁AB在均布载荷q的作用下，其合力是ql，由梁和载荷的对称关系可知：     任取距左端A为

20、x处的横截面，当0xl时，在此截面左边梁上均布载荷的合力为qx。它对于此截面形心的力臂为 图20-12（c）。则由此可列出梁的剪力和弯矩方程：                                       

21、    (a)                                            (b)  

22、;   由式（a）知剪力图为一斜直线，确定两点： 处， ； 处， ，即可绘出剪力图图20-12（d）。Q图在梁跨中点经过横坐标轴，在此截面Q值为零。    由式（b）知，M是x的二次函数，因此弯矩图为一抛物线，至少应由三点（包括顶点）来确定。梁端处（即 及 时）的弯矩均为零，由于载荷对称，抛物线顶点必在跨度中点，此时以  代入式（b）即得 ，由以上三点的坐标即可绘出弯矩图图20-12（e）。    有时不能凭观察判断出抛物线顶点的位置，可将弯矩方程式对x取一次导数并令其等于零，即可求解抛物线顶点的横坐标x

23、。    例 20-4  装有直齿圆锥齿轮的传动轴图20-13（a），可简化为简支梁图20-13（b）。当仅考虑齿轮上的轴向力Pa对轴的力偶矩 时，试作轴的剪力图和弯矩图。    解  先由平衡方程 和 分别算得支反力为：        因整个梁的载荷仅为一力偶，故全梁只有一个剪力方程。取距左端为x的任意剪力来分析，当 时           &#

24、160;                                       （a）在集中力偶Mo的左、右边两段梁的弯矩方程式将不相同，须分段列出。AC段上，即 时，    

25、;                                              (b)    CB段上，即

26、 时，由式（a）知，剪力图为一水平直线图20-13（c）。由式（b）和（c）知，AC和CB两段梁的弯矩皆为斜直线，只要确定线上两点，就可以确定这条直线。梁端处的弯矩均为零。另外根据式（b）在 处（即c截面左侧）， 。根据（c）式，当 时 ，由此可绘出弯矩图如图20-13（d）所示。ba时，在集中力偶作用处的右侧截面上的弯矩值最大。    例20-5   图20-14（a）为一直齿圆柱齿轮传动轴。该轴可简化为简支梁，当仅考虑齿轮上的径向力P对轴的作用时，其计算简图如图20-14（b）所示。试作轴的剪力图和弯矩图。   

27、; 解  先由平衡方程式 和 分别求得支反力为：          在集中载荷的左、右两段梁的剪力和弯矩方程均不相同。对于c截面以左的梁，即 时，其剪力和弯矩方程为：                             

28、60;                        (a)   (b)   而对于C截面以右的梁，即 时，其剪力、弯矩方程为：                

29、                              (c)                    &#

30、160;                 (d)    根据（a）、（c）两式，可绘出剪力图图20-14（c）；而根据（b）、（d）两式，则可绘出弯矩图图20-14（d）。    由图21-14可见，当ba时，在AC段梁的任意横截面的剪力值为最大，即 ，而集中载荷作用处的横截面上其弯矩值为最大，即 。第五节  剪力、弯矩和分布载荷间的关系  

31、60; 由于载荷的不同，梁各截面的剪力和弯矩也不同，因而得出不同形式的剪力图和弯矩图。事实上，载荷、剪力和弯矩之间存在着一定的关系。如图20-12中，若将弯矩方程和剪力方程分别对x求导数，则得：    负号表示分布载荷是向下的。上面得到的关系实际是普遍存在的，下面就从普遍情况来推导这种关系。    在图20-15所示的梁中，用相距为dx的两截面m-n和m1-n1切出一微段图20-15（b）。设作用在m-n截面上的剪力Q、弯矩M为正，其方向如图示。 截面上的内力与作用在m-n截面上的不同，分别以dQ和dM代表Q和M的增量，则作用于m1n

32、1截面上的剪力为Q+dQ，弯矩为M+dM。对于此微段梁而言，分布载荷和剪力、弯矩均为外力，考虑dx段的平衡：                                          

33、;             （20-1）    这里规定分布载荷以向上为正。再对m1n1截面形心o取力矩：，     式中最后一项为高阶微量，与前n项相比可以略去，故得：                     

34、;                              （20-2）上式再对x微分一次，利用式（20-1）得到：                

35、                                  （20-3）    上式给出了q、Q、M间的微分关系。需要指出的是在推导式（20-1）到式（20-3）时，x轴以向右为正。    现在我们先说

36、明上述微分关系在绘制Q、M图中的应用。由以上三式可知，将弯矩方程M（x）对x求导数，即得剪力方程Q(x)；将剪力方程Q(x)对x求导，即得分布载荷q（x）。故从x的幂次讲，M（x）比Q（x）高一阶，Q（x）又比q（x）高一阶。    式（20-1）表明剪力图在某点的斜率等于相应截面的分布载荷值。当某段有向下的分布载荷时（q为负），该段剪力图的斜率必为负，即在该段内剪力图为递减：反之，则剪力图为递增。    式（20-2）表明弯矩图在某点的斜率等于相应截面的剪力值。如在某截面Q=0，即 ，则弯矩图在该处取极值（指M图在此处的切线为水平方

37、向）。在集中载荷P作用下，剪力图有突变，弯矩图的斜率亦应有突变，即弯矩图在该处有折角。    根据式（20-3）可判断弯矩图图形的凸凹。如某段有向下的分布载荷，则 为负，即弯矩图是向上凸的曲线。根据上述微分关系和上节所举例题，可以总结出Q、M图的下述规律。第一，梁上某段无分布载荷时，则该段剪力图为水平线，弯矩图为斜直线。第二，梁上某段有向下的分布载荷时，则该段剪力图递减（），弯矩图为向上凸的曲线（）；反之，当有向下的分布载荷时，剪力图递增（/），弯矩图为向下凸的曲线（ ）。如为均布载荷时，则剪力图为斜直线，弯矩图为二次抛物线。第三，在集中力P作用处，剪力图有突变（

38、突变值等于集中力P），弯矩图为折角，在集中力偶m作用处，弯矩图有突变（突变值等于力偶矩m）。剪力图无变化。第四，  某截面Q=0，则在该截面弯矩有极值（极大或极小）。    下面举例说明其应用。    例20-6  外伸梁AD受载荷如图20-16（a）所示。试利用微分关系作剪力图及弯矩图。O72kN60kN20kN14400kN·cm11400kN·cm88kN8000kN·cmx1600kN·cm图20-16Q    解 （1）求支反力：由平衡

39、条件 和 可求得；                （2）作剪力图：根据梁上受力情况应分为AC、CB、BD三段。AC段无载荷，所以剪力图应为一水平直线。CB及BD段有向下的均布载荷作用，所以Q图为向下倾斜的直线，且两段斜率一样。在集中力作用处Q图发生突变，其突变值等于集中力的大小。这样，根据梁上受力情况便可看出Q图的大致形状如图20-16（b）所示。所以作剪力图只要计算下面几个控制点处的剪力值。在AC 段内    在B点左侧 &

40、#160;  在B点右侧    在D点左侧    根据上面数值可作剪力图图20-16（b）所示。    （3）作M图：根据Q图可以再来看M图的形状。AC段Q为正值常数，所以M图为向上倾斜的直线。在C处有集中力偶，所以弯矩图在此有突变。CB段Q由正值变到负值，所以M图在Q=0的截面以左为向右上的凸曲线，以右为向右下的上凸曲线，在Q=0处，M图有极大值（或极小值）。在B点处Q有突变，所以M图在此形成尖角。BD段Q为正值并由大到小，所以M图为向右上的上凸曲线。作弯矩图时，只计算下面几个控制点的弯矩值：

41、在C点左侧    在C点右侧    在B点        在CB段内Q=0处，可令CB段的剪力方程等于零而求得该截面距梁左段的距离x的剪力为：所以    由此得                根据上面数值可作弯矩图图20-16c所示。由弯矩图可见，最大弯矩值发生在C点左侧，既Mmax=144kN·m

42、。    上例说明，当我们熟悉剪力图和弯矩图的规律以后，在作Q图和M图时，可以不写方程式，只要三步就行：第一，计算支座反力。第二，分段定形。即根据梁受力情况，将梁分成几段，再根据各段内载荷分布情况，利用q、Q、M的微分关系，确定该段内剪力图和弯矩图的几何形状。第三，定值作图，即计算若干个控制截面（内力规律发生变化的截面，亦即外力不连续的截面）的内力值，就可绘出梁的剪力图和弯矩图。第六节   用叠加法作剪力图和弯矩图    当我们熟练地掌握了梁在各种简单载荷作用下的剪力图和弯力图后，对于在几个载荷共同作用下受力较复杂

43、的梁运用叠加的方法来作图，在使用上有时显得较方便。下面以桥式起重机横梁为例（图20-17）来说明。梁在集中力P和自重q作用下，其左端A的支反力为： 这个结果说明支反力RA包括两项，它们分别代表每一种载荷的作用，且互不影响。因此在求支反力时，可以先求集中力单独作用时的支反力，在求均布载荷q单独作用时的支反力。然后相加。这种先分别求各载荷作用下的结果，最后再用相加而求得总结果的方法，称为叠加法。若求梁在距左端A为x处截面上的剪力和弯矩（ ）。则有以上二式中，第一项分别是集中力P单独作用时的剪力和弯矩；第二、三项分别是均布载荷q单独作用时的剪力和弯矩。这表明当梁上有若干个载荷共同作用时，每

44、一种载荷在横截面上引起的内力剪力和弯矩，不受其它载荷的影响。所以可应用叠加法求剪力和弯矩。这样，当梁受几个载荷作用时，可分别作出各个载荷单独作用时的剪力图和弯矩图图2017（c）、（d）。然后把这些剪力图和弯矩图分别互相叠加，就得到了全部载荷同时作用下的剪力图和弯矩图图2017（）。叠加时应注意的是，截面的内力是以纵坐标来度量的。所谓内力图的叠加，是指内力图纵坐标的代数值相加，而不是内力图的拼合。例20-7  东方红拖拉机变速箱第一轴，受力如图20-18（a）所示（当仅考虑垂直方向的P1t、P2t时），试用叠加法作弯矩图。解  先作载荷P1t单独作用时的弯矩图图20-18（

45、b），再作载荷P2t单独作用时的弯矩图图20-18（c）最后叠加。在此问题中，由于图20-18（b）、（c）中弯矩图的纵坐标值的符号是相反的，所以叠加时实际应将相应的纵坐标值相减。  叠加时可沿图20-18（c）的水平线A2C2向上作垂直线段，长度等于图20-18（b）中相应的纵坐标值，两弯矩图中因符号相反，故重叠部分的纵坐标值相消，得最后的弯矩图图20-18（a），它是以折线A1.2EB1C2为基线的。叠加时另一种作法是沿图20-18（c）的斜直线A2B2向下作垂直于A2C2的线段，长度仍等于图20-18（b）中的相应的纵坐标值，结果如图20-18（d）所示。不同之处是最

46、后所得弯矩图的基线是一水平直线。第七节  刚架的弯矩图、轴力图在工程中常常遇到许多杆件所组成的框架形式的结构。如图20-19（a）所示的钻床机架，加重线为简化后床身的简图。图20-19（b）为C形 卡头及其受力简图。在这种结构中，杆和杆的交点叫做节点。如果在节点处杆间的夹角保持不变，即杆与杆在节点处不发生相对转动，为了区别于铰链点而称这样的 节点为刚节点，常在节点处加填角表示。刚节点处的内力除了力以外还有内力偶（因为用刚节点连接的两杆，在该节点处不发生相对转动）。有刚结点的框架称为刚 架。凡未知反力和内力能由静力学平衡条件确定的刚架为静定刚架。下面举例说明静定刚架弯矩图和轴力图的画法

47、。 例20-8   试绘制20-20（a）所示刚架的弯矩图和轴力图。解  利用平衡条件求反力：， ，          然后列轴力和弯矩方程，因剪力Q比较次要而略去不计，对AB段距左端为x的任意截面有：      再列BC段的内力方程，对距C段为y的任意截面有：            由上述方程可画出刚架的M图和N图图20-20（b）（c）。在画刚

48、架弯矩图时，规定把弯矩图画在杆件受压纤维的一侧。如图20-20的水平杆AB上侧纤维受压，该段M图画在上侧；竖直杆BC右侧纤维受压，该段图画在右侧。一般金属桁架的节点，常是铆接或是焊接，虽具有一定程度的刚性，但经过研究得知，当载荷加在桁架节点上时，在杆上由于弯矩而产生的应力远小于由轴力而产生的应力，故桁架节点可视为铰链。第八节   弯曲时的正应力现在来研究梁横截面上的应力，先研究正应力。由前几节知，梁横截面上的弯矩是由正应力组成的，与剪应力无关。而剪力又仅与剪应力有关。因此，可以取一段只有弯矩而无剪力的梁来研究弯曲正应力，在此情况下的弯曲称为纯弯曲。图20-21（b）所示的梁

49、即属于纯弯曲。此梁各截面的剪力Q等于零，而弯矩M是一个常值。横截面上的正应力必组成一个矩为Mm的力偶，此力偶位于外力偶m所在的平面内（纵向对称面内）。如果知道应力在横截面上的分布规律，就能计算出其上每一点的应力。但只用静力条件不能找到应力分布规律，因此，所研究的问题是超静定的，需先通过实验来研究梁的变形。一、矩形截面梁纯弯曲实验取矩形截面梁，在梁的表面上作出与梁轴线平行的纵向线和与纵向线垂直的横向线。在梁两端施加力偶m，使此梁发生纯弯曲（图20-21），则可观察到以下现象：其一，横线ab、cd、ef、gh仍保持为直线，互相倾斜了一个角度后，仍垂直于弯曲后的纵线。abcd和efgh变形后各位于一

50、倾斜平面内。其二，所有的纵线都弯曲成曲线。靠近底面的纵线伸长，靠近顶面的纵线缩短。而位于其间的某一位置的一条纵线oo，其长度不变。其三，原来的矩形截面，变形后上部变宽，下部变窄。二、假设以 上看到的只是梁弯曲后外表的变化，梁的变形就只能由表面的变形现象去推断它。横截面的轮廓线在梁弯曲后仍然保持在一平面内，这就启示我们提出以下假设：梁 的所有横截面在变形过程中要发生转动，但仍保持为平面，并且和变形后的梁轴线垂直。这一假设称为平面假设。又因为梁下部的纵向纤维伸长而宽度减小，上部纵 向纤维缩短而宽度增加。因此又假设：所有与轴线平行的纵向纤维都是轴向拉伸或压缩。（即纵向纤维之间无挤压）。以上假设之所以

51、成立，是因为以此为基础所得 到的应力和变形公式为实验所证实。这样，平面假设就反映出梁弯曲变形的本质了。根据平面假设，把梁看成由无数纵向纤维所组成，包括oo在内且与底面平行的一层纵向纤维，既不伸长也不缩短，我们把它叫中性层，中性层和横截面的交线，叫做中性轴，以z表示。这样，弯曲变形的特点可归结为：各横截面绕中性轴转动，中性层以下纤维伸长，以上纤维缩短图20-22（a）。d三、梁横截面上的正应力现在来推导纯弯曲时梁的正应力公式。与推导扭转剪应力公式相似，也需要综合考虑变形几何、物理和静力学三方面关系来解决（一）变形几何方程纯弯曲时梁的纵向纤维由直线弯成圆弧图20-22（b）。相距为dx的两相邻截面

52、m-n和p-q延长交于O处，O即为中性层的曲率中心。梁轴线的曲率半径以 表示，两平面间的夹角以 表示。现求距中性层为y处的ab纤维的线应变。该纤维变形后的长度为（+y） ，原长为dx，即d。故纤维的的线应变 为：                                &#

53、160;           (a)（二）物理方程因假设纵向纤维为轴向拉伸或压缩，于是当正应力不超过比例极限时，由胡克定律知                               &#

54、160;                    (b)对于指定的横截面， 为常数，（b）式就是横截面上的正应力的分布规律。由此式可知，横截面上的任一点处的正应力与该点到中性轴的距离成正比，而在距中性轴等远的同一横线上的各点处的正应力相等(图20-23)。·dAzzyyxC图20-24mM图20-23 （三）静力学关系上面虽已找到应力分布规律，但还不能直接按(b)式计算弯曲正应力，这是因为

55、曲率半径 以及中性轴的位置均未确定。这可以从静力学方面来解决。纯弯曲时梁横截面上仅有正应力(图20-24)。我们取横截面的对称轴为y轴，中性轴为z轴。过y、z轴的交点与杆纵线平行的线取为x轴。把横截面划分为无数微面积dA，在坐标(y、z) 处的微面积dA上作用着微内力 dA。横截面上这些微内力构成空间平行力，故可组成三个内力分量：轴力N和绕y、z轴之矩My、Mz即在纯弯曲时,截面的轴力N与绕y轴的矩My都为零，绕z轴的矩Mz即是横截面的弯矩M，因此            &#

56、160;                                      (c)            

57、60;                                    (d)             

58、                                        (e)下面综合考虑变形几何、物理和静力学三方面的结果。首先将正应力分布规律的表达式（b）代入式（c）得：  &

59、#160;                                    (f)式中E、不随dA位置而变，故提到积分号前。SZ为截面对z轴的静矩（见附录）。由于 不可能等于0，必须Sz=0。故知z轴必为过截面的形心轴,因此中性轴必通过截面的形

60、心C。把(b)式代入式(d)得：                                          (g)式中 为横截面积的惯性积(见附录)。由于y轴为横截面的对称轴，故 自

61、然满足。这时，y、z即为横截面的形心轴。再以(b)式代入(e)式得:即  = 式中 ，即截面对中性轴z的惯性矩(见附录)，故                                       

62、;              （20-4）由式（20-4）即可确定中性层的曲率。EIZ称为梁的抗弯刚度，因为此值大时曲率 小，故梁的弯曲变形也小。以式(20-4)代入式(b)，最后求得：                       

63、0;                             （20-5）这就是梁横截面上的正应力公式。式中M为截面的弯矩，y为欲求应力点至中性轴的距离，Iz为截面对中性轴的惯性矩。Czxyzy·dA图20-25当弯矩为正时，梁下部纤维伸长，故产生拉应力；上部纤维缩短而产生压应力。弯矩为负时，则与上相反。一般

64、用式(20-5)计算正应力时，M与y均代以绝对值，而正应力的拉、压由观察判断。式（20-5）是根据纯弯曲的情形导出的，但对于横向弯曲（即剪力、弯矩均不为零的情形），也可以足够精确地用来计算正应力。式（20-5）虽然是根据纯弯曲的情形导出的，但对于横向弯曲（即剪力、弯矩均不为零的情形），也可以足够精确地用来计算正应力。式(20-5)虽然是针对梁横截面有对称轴的情形推出的，但对于不对称截面(图20-25)，如果选取y、z轴是过形心C的主轴(附录)，则必有Sz=0,Iyz=0，上面(c)、(d)式都得到满足。再利用（e）式，得到的公式与式(20-5)是相同。只要使横向力位于截面形心主轴y与杆轴x所构

65、成的平面内，即发生平面弯曲；另一形心主轴z是中性轴。这就使我们把公式 的适用范围推广到不对称截面梁而外力作用面通过一个形心主轴的情形。当截面具有对称轴而外力位于对称平面时所发生的平面弯曲，只是这里所讨论的一种特例。第九节  弯曲正应力的强度条件及其应用由式（20-5）知梁的最大正应力发生在最大弯矩截面的上、下边缘处，故= (a)(b)yzyzCCb/2   b/2   h/2   h/2   d/2   d/2  &

66、#160;图20-26这里Iz/ymax是只决定于截面的几何形状和尺寸的几何量，以Wz表示，称为截面对于中性轴z的抗弯截面模量。于是                                        

67、;        （20-6）对于矩形截面图20-26（a）对于圆形截面图20-26（b），对于各种轧制型钢，其惯性矩和抗弯截面模量可查型钢表（附录）。弯曲时正应力的强度条件是：还应指出，对于铸铁等脆性材料，由于它们的抗拉和抗压强度不同，则应按拉伸和压缩分别进行强度计算，即要求最大拉应力和最大压应力不超过许用拉应力L和许用压应力y。即               &#

68、160;                                20-8(a)ql2/8图20-27(b)(c)l/2l/2PACBzqPl/4下面举例说明强度条件的应用。例20-9  某车间安装一简易天车图20-27（a），起重量G=50kN，跨度l=9.5m，电葫芦自

69、重G=6.7kN，天车在起吊重物时多少承受一些突然加载的作用，故梁在中间承受的集中力（G+G1）应乘以动荷系数kd=1.2（根据设计规范），许用应力=140MPa,试选择工字截面。 解  在一般机械中，梁的自重较其承受的其它载荷小，故可先按集中力初选工字截面，集中力P值为：由集中力在中间截面引起的弯矩是图20-27（b）：只考虑此弯矩时的强度条件为： 故 由型钢表查找Wz比1150×103 mm3 稍大一些的工字钢号，查出40C工字钢，其 1190×10mm3,此钢号的自重q=801N/m。这时自重在中间截面引起的弯矩是图20-27（c） &#

70、160; 中间截面的总弯矩是：于是考虑自重在内的强度条件是：                虽大于许用应力 ,但超出值在5%以内，工程中是允许的。当不考虑梁自重时， 为：考虑自重与不考虑自重相比，梁内应力相差（）/143.3 。因此，对于像钢这类强度较高的材料，计算应力时一般可忽略其自重的影响。例20-10  铸铁梁的载荷及截面尺寸如图20-28（a）所示，C为T形截面的形心，惯性矩Iz=6031×104mm4，材料的许用拉应力 ，许用压应力 ，

71、试校核梁的强度。图 20-28截面B 截面A(c) (d)15kN 30kN1m 3m2002003015kN m 30KN m M图 30Cy1=157.5 y2z-+(a)(b)MBMAABacbdy解  梁弯矩图如图20-28(b)所示，绝对值最大的弯矩为负弯矩，发生在截面上，应力分布如图20-28(c)所示。 此截面最大拉应力发生于截面上边缘各点处，大小为：最大压应力发生于截面下边缘各点处，即 虽然A截面弯矩的绝对值 ，但MA为正弯矩，应力分布如图20-28(d)所示。最大拉应力发生于截面下边缘各点，此截面上最大拉应力大于最大压应力。因此，全梁最大拉应力究竟发生在哪

72、个截面上，必须经过计算才能确定：A截面最大拉应力为：  从以上计算可看出，最大压应力发生于截面下边缘处，最大拉应力发生于A截面下边缘处，都满足强度条件，因此是安全的。第十节   弯曲时的剪应力梁在发生横力弯曲时，横截面上不仅有弯矩M作用，而且还有剪力Q作用。弯矩是截面上正应力合成的结果，剪力则是截面上剪应力合成的结果。本节将研究几种常见的简单截面梁横截面上的剪应力的计算公式和剪应力的分布情况。一、矩形截面梁图2029所示一受横向截荷的矩形截面梁，在求任意截面上的剪应力时，对剪应力的分布作如下假设：第一，截面上任一点的剪应力方向均平行于剪力Q的方向。第二，剪应力沿矩

73、形截面的宽度均匀分布，即剪应力的大小只与y坐标有关。 Pm(b)(a)(c)Qyhzyxmnzx图 20-29y 根据以上两假设，沿矩形截面宽度剪应力分布如图20-29（b）所示。为了对上述假设的合理性作一简略说明，我们在靠近梁侧面处取一小单元体图20-29（b）。设横截面上在边界处剪应力分解成平行于边界的y和垂直于边界的z ，由剪应力互等定理可知在单元体的侧面必有-x 与z 大小相等。但此侧面即为梁的侧表面，而侧表面为自由表面，不可能有剪应力，故知x=z=0，即说明梁横截面上沿周界处剪应力的方向必与周界相切。因此，左、右边界上剪应力是平行于剪力Q的。又因对称关系，在y轴上

74、剪应力必然平行于剪力Q。此外进一步设想整个截面上各点剪应力均平行于剪力Q。又当截面高度h大于宽度b时，可近似地认为剪应力沿截面宽度均匀分布。由弹性力学可以证明，在这两点假设基础上建立的剪应力公式对长梁是足够精确的。如从梁上两横截面之间并在距中性层为y处切取一微体积mn 图20-29（b）、（c），根据以上两假设，在此体积的竖直面上有均匀分布的竖直剪应力。又由剪应力互等定理知，此体积的水平面上有水平剪应力 ，并且=。下面我们先求水平截面上的。在梁上取长为dx的一小段图20-30（a），设左、右截面上的弯矩分别为M及M+dM，剪力为Q。再在11、22两截面间距离中性层为y处作一水平截面，研究此截面

75、以下的部分图20-30（b）、（c）。在六面体3 124上只画出左右侧面上的正应力和水平截面上的剪应力。在左侧截面上作用的正应力将构成一向左的水平力N1，在右侧截面上作用的正应力将构成一向右的的水平力N2，因为两截面上弯矩不同，故N1、N2也不同。只有在存在水平剪应力的情况下，才能维持六面体在水平方向的平衡。因此，可由此六面体的水平方向的平衡而得到。MQQ2hyxx1 2y1 21 23 4 11 2 1 23 4 N2xzdAN1A1dx(b)(a)(c)图 20-30dxM+dM21 2 b 在图20-30（c）所示的六面体的左侧面上，在距中性轴z为处取一微面

76、积dA，则dA上的正应力 ，故       式中A1表示六面体3 124左侧截面的面积， 即为这部分面积对中性轴的静矩S，此值随水平截面的位置y而变。同理可得：水平截面3 4上的剪应力沿截面的宽度b无变化，沿长度dx也无变化（如梁上有分布力时， 沿长度dx的变化亦可略去），故 所组成的水平力为bdx。写出3 124的x方向平衡方程：       将求得的N2、N1代入上式得：故  由剪应力互等定理知 ，故在横截面上距中性轴为y处的剪应力为：式中Q为横截面上的剪力，I

77、z为横截面对中性轴的惯性矩，b为截面宽度， 为截面距中性轴为y处的横线以上（或以下）的面积对中性轴的静矩。这一公式称为儒拉夫斯基公式。现在我们根据（20-9）式讨论剪应力在横截面上的分布。在距中性轴为y处横线以下面积对中性轴的静矩为图20-31（a）故 上式表明，沿矩形截面高度按二次抛物线规律变化图20-31（b）。在横截面的上、下边缘y=± 处，=0。在中性轴上，即y=0，出现最大剪应力：                 &

78、#160;                                       （20-10）式（20-10）说明矩形截面梁的最大剪应力为平均剪应力的一倍半。h( + y)Cbyy2h2h212z(a)

79、(b)图 20-31图 20-32PmmnnO因为剪应力与剪力Q平行、同向，故根据Q的方向即可判断的方向。    由于剪应力自梁顶至梁底沿横截面按抛物线变化，得出剪应变= 也必定按同样方式变化。因在不同位置发生大小不同的剪应变，故变形后横截面不再保持为平面m- n 而发生翘曲，如图20-32 中的 所示。在截面上、下两端剪应力为零，该处剪应变亦为零，故横截面翘曲后 仍与杆弯曲后的上表面与下表面垂直。中性层处的剪应变最大， 即为m-n在O处的切线与m-n 的夹角。既然如此，那么，在平面假设基础上推导的正应力公式在横向弯曲时是否适用呢？当两截面间没有分布载荷时，两截面

80、的剪力相同，因而翘曲也相同。这时两截面间纤维长度的改变并不受翘曲的影响，所以正应力公式（20-5）仍然正确。当有分布载荷时，两截面的剪力有一差数，其翘曲亦稍有不同。精确的研究表明，如果梁长与梁高相比足够大时（例如l5h），这种翘曲对正应力的影响很小，仍可以认为正应力公式是正确的。在有集中力作用时，在力作用点附近不大的区域内产生很大的应力，这种情形具有局部性质，对梁的设计没有很大影响。    对于其它形状的对称截面，上面的推导结果仍然可以用来求得问题的近似解。对一般常用的截面，最大剪应力均出现在中性轴上各点处。根据剪应力强度计算的需要，下面就着重讨论几种常用截面的最

81、大剪应力max。二、工字形截面梁翼板腹板maxmaxzy图20-33d工字形截面梁是由腹板和翼板组成，而剪应力Q约有97分布在腹板上，所以工字形截面剪应力的计算，主要是腹板的问题。由于腹板是狭长矩形，对于矩形截面梁所作的假设仍然适用。因此，剪应力可直接按式（20-9）计算，它沿腹板高度h按抛物线规律分布，最大剪应力max发生在中性轴上（图20-33所示）。式中Sz为中性轴任意一边的半个横截面面积对中性轴的静矩。d为腹板的宽度。对于各种工字钢，Iz / Sz 的数值可从型钢表中查得，然后直接代入公式计算。三、圆形截面梁    对于圆形截面（图20-34），由于梁的表

82、面没有剪应力存在，根据剪应力互等定理，则圆截面边缘处各点的剪应力的方向必与圆周相切图20-34（a）。因此，在矩形截面中对剪应力所作的假设在圆截面中就不再适用。由对称关系可知在图20-34(a)中m点和n点处的剪应力方向将相交于y轴上某一点处，于是可假设mn线上任一其它点处的剪应力也指向该点；另外假设mn线上各点的剪应力在y轴方向的分量y大小相等，因此此假设与对矩形截面所作的假设完全相同，所以可用式（20-9）来计算此分量。且y沿截面高度h为抛物线分布，最大剪应力仍在中性轴上。下面导出最大剪应力的计算公式：则       可见，圆形截面梁的最大剪应力是截面上平均剪应力值的1.33倍。四、圆环形截面梁 &