汽车公司的最佳生产方案研究

1、汽车公司的最佳生产方案摘要本文研究汽车公司的最佳生产方案，使其获利最大。通过建立线性规划模型，分别求解在现有资源、外包加工、加班下的最大毛利润，通过一一对比，得出最佳生产方案。针对问题A（1），通过数据分析，列出两车间生产能力的线性比例关系，并分析得到毛利润=销售额总成本（材料费+人工费+可变管理费+固定管理费），在现有资源下，重新调整两类货车数量，列出约束条件，建立线性规划模型，解得最佳生产方案为生产A101型货车2054辆，A102型货车623辆，最大月毛利润为449250元，比上年增加2.13倍，效益明显。针对问题A（2），通过“外包加工”的方式增加发动机装配能力来提高产量，解除发动机装

2、配能力的约束，建立在不低于原毛利润的条件下，以最大外包加工费用为目标函数的线性规划模型，解得外包加工费用临界值为491.24元，此时A101型货车外包加工生产数量为1095辆，并解得外包加工费用小于273.81元时，采用外包加工的生产方案是最优的。针对问题B，类比于第一问，对目标函数和约束条件进行适当修改，重新建立线性规划模型，解得生产A101型货车1428辆，A102型货车1500辆时，最大月毛利润为395560元。通过灵敏度分析，加班能力存在剩余，且其毛利润小于现有资源下合理安排生产得到的毛利润，因此不建议采取加班方式来提高公司毛利润。最后，我们对模型进行了进一步的讨论与分析，以使模型更加

3、适用和具有说服力，并提出了改进方案，旨在公司获利最大化。关键词：毛利润；线性规划；外包加工一、 问题的提出和重述1.1问题的提出南洋汽车公司生产2种型号货车：A101型和A102型，设有冲压车间，发动机装配车间、A101型和A102型货车各自装配车间，这些车间的生产能力是有限的。当前的市场需求情况是：A101型货车售价为2100元、A102型货车售价为2000元，且在这样的价格下，不管汽车公司生产多少辆货车都能够售出。根据上半年的销售情况得出，A101型货车每个月的销售为333辆，A102型货车每个月的销售为1500辆。此时，A102型货车装配车间和发动机装配车间已经满负荷情况下运行，而冲压车

4、间和A101型货车装配车间的生产能力还未充分发挥出来。这种生产水平下的标准成本、关于管理费用的详细情况、上半年度的收入报表已详细列出。在每月举行的计划会议上，各部门提出建议：（1）销售部门经理认为，销售A101型货车无利可图，建议A101型货车停产；（2）财务部门经理认为，A101型货车销售量太小，因此分摊给每辆车的固定成本大。因此，应增加A101型货车的产量，与此同时，适当减少A102型货车的产量；（3）生产部门经理认为，在不减少A102型货车产量的情况下，以适当的价格，通过其他厂商的协作，即外包加工，增加发动机的装配能力，从而增加A101型的产量，这也许是最好的方案。1.2问题的重述A、在

5、现有条件下，考虑：（1）在现有资源的条件下，怎样安排生产最为合理？（2）如果可以通过“外包加工”增加发动机的装配能力，怎样的“外包加工”费是可以接受的？B、考虑用加班的方法来提高发动机装配车间的生产能力。假设加班后，发动机装配能力的增加相当于2000辆A101型货车，直接劳动力费用提高50，加班的固定管理费用为40000元，可变的管理费用仍保持原来数值。问：加班的方法是否值得采用？二、 问题的分析本文要制定一个最优的汽车生产方案，在约束条件下，使得利润最大。本文的约束条件主要来自两方面：其一，公司各生产车间生产能力的限制；其二，甲乙两种类型的货车由于产量的不同，导致对固定成本的分摊不同，直接影

6、响各自标准成本的大小。在各部门建议下分别考虑以下三种情况下的最大毛利润：（1）增加A101型货车的产量，适当减少A102型货车的产量（即在现有资源下重新规划生产）；（2）在不减少A102型货车产量的情况下，通过适当的外包加工，增加发动机的装配能力来增加A101型货车的产量；（3）用加班的方法来提高发动机装配车间的生产能力，以便于生产更多的A101和A102货车。通过对这三种方案的利润对比，来决定采用哪种生产方案最优。针对问题A(1)的分析：根据数据分析，每卖出一辆A101型车亏损91元，其原因是由于A101型生产量太小，导致固定成本的分摊量就大。增加A101的产量，使得成本降低便可能会盈利。因

7、此在现有资源下，我们考虑对两类货车的生产量重新调整，使得利润最大化。针对问题A(2)的分析：外包加工费主要由三部分组成：（1）直接劳动力费用中的“发动机装配”成本；（2）管理费用中的“发动机装配”成本；（3）公司付给其他厂商的委托加工费。根据题意，在不减少A102型货车的情况下，通过与其他厂商的协作来提高利润，即外包加工后A101型的发动机装配能力约束解除，考虑将“外包加工”后的毛利润与原毛利润进行比较，从而求得可以接受的“外包加工”费的最大值。针对问题B的分析：用加班的方法提高发动机装配车间的生产能力，导致该环节的直接劳动力费用相应提高50，固定管理费增加40000元，所以加班费应该为发动机

8、装配车间因加班而产生的所有费用。本问题实际上只对问题A(1)中的目标函数和约束条件进行适当修改，通过与原毛利润和重新规划生产后的毛利润对比来决定是否采用加班方式。三、 模型假设1、 在当前市场价格条件下，不管生产多少量车，都能售出。2、 直接材料费、直接劳力费和固定管理费稳定不变。3、 毛利润指汽车总销售额减总成本，不考虑销售行政过程中的费用及所得税。4、 为了使生产出来的汽车配套以便于销售，冲压车间和发动机装配车间的生产量应相 互配套。四、 符号及变量说明:生产A101型货车的数量；:生产A102型货车的数量；:外包加工生产的A101型货车的数量；: A101型货车的总成本；: A102型货

9、车的总成本；:每辆A101型货车的外包费用；:月毛利润；:月销售额；: 直接材料费；:直接劳力费；: 可变管理费；: 不变管理费；: 外包加工总费用；五、 模型的建立和求解5.1针对问题A(1)的模型建立和求解对各车间月生产能力的讨论通过对表一车间月生产能力的数据表分析，对冲压车间和发动机装配车间单独生产某一车型时的月生产能力给出了限制，而不能反映同时生产两种车型时彼此之间的限制能力。根据题意“发动机装配车间每生产1辆A102型货车，在原来产量的基础上甲型的产量相应的减少2辆”，根据比例关系3300：1667=1.98：12：1，同样，对于冲压车间而言生产甲乙型车的能力大小是2500：3500

10、=1：1.4。由于两种车型的装配车间独立，彼此之间不相互影响。车间A101A102冲压车间发动机装配车间 A101型装配车间A102型装配车间2500（1：1.4）3300（2：1） 2250350016671500表5.1 A101、A102车间月生产能力表5.1.2对固定管理费用分摊计算的讨论公司的管理费用分为不变管理费用和随生产量不同而改变的管理费用，对每一辆车而言可变管理费用并不改变，改变的是固定管理费用在两类货车每辆车上的分摊，且只随生产数量的不同在改变。我们尝试建立计算两种类型车的标准成本，的公式，主要包括直接材料费用，直接劳力费用，可变管理费，不变管理费（表示A101车间，表示A

11、102车间）考虑分摊后： ， 其中，分别为冲压，发动机装配，A101型货车装配，A102型货车装配的各项固定管理费。5.1.3建立合理安排后毛利润的目标函数根据假设，总毛利润（单位：元）=，即：代入，后：易知上述方程为非线性方程，求解繁琐，因此考虑对其简化，重新建立毛利润的模型。销售总收入：；直接材料费：；直接劳力费：；可变管理费：；不变管理费：；毛利润： ；代入化简后，得到毛利润的目标函数为线性方程：。5.1.2考虑其约束条件根据车间的生产能力表和前述对各车间月生产能力的讨论可知，约束条件共有4个,分别为：A101型装配车间对总产量的约束为；A102型装配车间对总产量的约束为；冲压车间对总产

12、量的约束为；发动机装配车间对总产量的约束为；5.1.4模型一的求解通过上述分析，建立以下线性规划模型：用lingo软件求解(程序见附录模型一)可得=2054辆，=623辆，=449250元。并且可以计算两种类型车的标准成本是：（单位：元/每月），且A101型货车的总毛利润为357.4千元，A102型货车的毛利润为91.8千元，由图5.2可知，A101型货车的毛利润贡献率是A102型货车的近四倍。图5.2 两类货车的毛利润贡献率综上，在现有资源下公司最佳的生产方案应为每月生产A101型车2054辆，生产A102型车623辆，则每月能获得利润449250元，按此方案生产下半年的收入为2695.5千

13、元，比上半年毛利润上涨1428.5千元,效益十分明显。5.2针对问题A(2)的模型建立和求解通过上一问的灵敏度分析可知，发动机装配能力为紧约束，因此提高发动机装配能力可以增加货车产量。根据公司建议，在不减少A102型货车产量的情况下，以适当的价格，通过其他厂商的协作，即“外包加工”。5.2.1建立外包加工后毛利润的目标函数“外包加工”能增加发动机的装配能力，从而增加A101型的产量，使得利润增加。通过将“外包加工”后的毛利润与原毛利润进行比较，从而求得可以接受的“外包加工”费的最大值：类比于问题A(1)，建立“外包加工”后毛利润的模型：销售总收入：；直接材料费：；直接劳力费：；可变管理费：；不

14、变管理费：；外包加工费：；毛利润： ；代入化简后，得到毛利润线性方程：。5.2.2考虑其约束条件根据车间的生产能力表和前述对各车间月生产能力的讨论可知，约束条件分别为：A101型装配车间对总产量的约束为；A102型装配车间对总产量的约束为，要求A102型货车的产量不减少，所以；当A101型装配车间装配1500辆时，即满负荷时，A102型装配车间装配做多为；冲压车间对总产量的约束为；发动机装配车间在外包加工条件下生产能力无限制；“外包加工”后的毛利润大于原毛利润，即：5.2.3模型二的求解通过上述分析，建立以下线性规划模型：用lingo软件求解(程序见附录模型二)得辆，辆，辆，元，即能够接受的最

15、大“外包加工”费用为491.24元，此时毛利润等于原毛利润，收益并不理想。若要使毛利润大于第一问的合理安排生产后的毛利润，此时解得元，所以当时，比现有资源下的合理安排方案更好，应该积极谋求外包加工。 图5.3 不同外包加工费下的每月毛利润三维图5.3针对问题B的模型建立和求解相比于问题A（1），加班改变的是发动机装配车间的生产能力，其直接劳动力费用也提高50，加班的固定管理费用为40000元，其余不变，因此根据问题A（1），容易求解加班后的最大毛利润。建立加班后毛利润的目标函数销售总收入：；直接材料费：；直接劳力费：；可变管理费：；不变管理费：；毛利润： ；代入化简后，得到毛利润的目标函数为线

16、性方程：。5.3.2考虑其约束条件加班后发动机装配能力的增加相当于2000辆A101型货车，根据装配A101和A102型发动机的比例关系，加班后的月生产能力如下表所示：车间A101A102冲压车间发动机装配车间 A101型装配车间A102型装配车间250053002250350026671500所以约束条件为：A101型装配车间对总产量的约束为；A102型装配车间对总产量的约束为；冲压车间对总产量的约束为；发动机装配车间对总产量的约束为；5.3.3模型三的求解通过上述分析，建立以下线性规划模型：用lingo软件求解(程序见附录模型三)可得辆，辆，=395560元，半年毛利润为2373千元，比原

17、毛利润增加1106千元，但相比模型一所解得的利润减少322千元，因此采取加班的方法较第一问重新合理安排生产的方法次之。（详见图5.3各方案利润比较图）。通过对灵敏度分析，加班所增加的发动机装配能力在此生产方案中有剩余，所以不建议采用加班的方式来增加产量。图5.4各方案利润比较图六、 模型的评价和改进6.1模型的评价6.1.1优点(1)全篇模型充分运用线性规划模型，形式简单，利用lingo软件进行求解，方便快速。（2）根据现有资源为公司制定最优生产方案，最大利润为原有生产方案的2.13倍，优化效果十分显著。通过对各种方案下的利润比较，可以准确选择具体采用哪种方案。6.1.2缺点（1）没有考虑市场

18、的不稳定因素，每月销售量不一定等于每月生产量，若在此条件下，销售额发生变动，模型不再适用。（2）对于两个发动机装配车间的生产能力比例取了近似，导致结果与实际有微小差异。6.2模型的改进对于外包加工模型，外包费用的临界值为491.24元，可以根据市场行情和生产成本费用，充分考虑到双赢原则，给定各50%的利润，能准确算出外包加工费用。对于加班费用，可以减少一定的加班能力，使得不减少生产量的情况下，加班费用最少，解得加班能力为增加相当于1916辆A101型货车时，达到利润最大化。七、 模型的推广和应用本文给出的线性规划模型，方便、直观、实用，所涉及到的数学原理和计算以及概念都较为简单明了，易于推广。

19、模型结果有利于实际应用中的管理者做出准确决策，以获得最大利润。参考文献：1姜启源、谢金星、叶俊数学模型(第四版)M.北京:高等教育出版社.2009；2谢金星、薛毅 优化模型与LINDOLINGO软件应用清华大学出版社.2005 年7月；3胡适耕、施保昌 最优化原理华中科技大学出版社.2000年5月；附录：模型一代码： max=2100*x+2000*y-(1200+200+400)*x-(1000+225+425)*y-385000;1.4*x+y<=3500;x+2*y<=3300;x<=2250;y<=1500;gin(x);gin(y);结果： Global op

20、timal solution found. Objective value: 449250.0 Objective bound: 449250.0 Infeasibilities: 0.000000 Extended solver steps: 0 Total solver iterations: 3 Variable Value Reduced Cost X 2054.000 -300.0000 Y 623.0000 -350.0000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 449250.0 1.000000 2 1.400000 0.000000 3 0.00

21、0000 0.000000 4 196.0000 0.000000 5 877.0000 0.000000模型二代码：max=c*z;2100*(x+z)+2000*y-(1200+200+400)*x-(1000+225+425)*y-(1200+40+100+120+175)*z-c*z-385000-1267000/6>0;x+z<2250;1.4*(x+z)+y<3500;y=1500;x=333;gin(z);结果： Local optimal solution found. Objective value: 537908.4 Objective bound: 53

22、7908.4 Infeasibilities: 0.8537309E-01 Extended solver steps: 1 Total solver iterations: 108 Variable Value Reduced Cost C 491.2406 0.000000 Z 1095.000 -465.0000 X 333.0000 0.000000 Y 1500.000 0.000000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 537908.4 1.000000 2 -0.8537309E-01 -1.000000 3 822.0000 0.000000 4 0.8000000 0.000000 5 0.000000 -