正弦定理和余弦定理详解

1、高考风向1.考查正弦定理、余弦定理的推导；2.利用正、余弦定理判断三角形的形状和解三角形；3.在解答题中对正弦定理、余弦定理、面积公式以及三角函数中恒等变换、诱导公式等知识点进行综合考查学习要领1.理解正弦定理、余弦定理的意义和作用；2.通过正弦、余弦定理实现三角形中的边角转换，和三角函数性质相结合基础知识梳理1正弦定理：2R，其中R是三角形外接圆的半径由正弦定理可以变形：(1)abcsin_Asin_Bsin_C；(2)a2Rsin_A，b2Rsin_B，c2Rsin_C；(3)sinA，sinB，sinC等形式，解决不同的三角形问题2余弦定理：a2b2c22bccos_A，b2a2c22a

2、ccos_B，c2a2b22abcos_C余弦定理可以变形：cosA，cosB，cosC.3SABCabsinCbcsinAacsinB(abc)·r(r是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R、r.4在ABC中，已知a、b和A时，解的情况如下：A为锐角A为钝角或直角图形关系式absinAbsinA<a<baba>b解的个数一解两解一解一解难点正本疑点清源1在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在ABC中，A>B?a>b?sinA>sinB；tanA+tanB+tanC=tanA·tanB·

3、;tanC；在锐角三角形中，cosA<sinB,cosA<sinC·2根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：(1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换例1已知在中，解三角形.思路点拨:先将已知条件表示在示意图形上（如图），可以确定先用正弦定理求出边，然后用三角形内角和求出角，最后用正弦定理求出边.解析：，又，总结升华：1.正弦定理可以用于解决已知两角和一边求另两边和一角的问题；2.数形结合将已知条件表示在示意图形上，可以清楚地看出已知与求之间的关系，从而恰当地选择解答方式.举一反三：【变式1】在中，已知，解三角形。【答案】根据三角形内角和

4、定理，；根据正弦定理，；根据正弦定理，【变式2】在中，已知，求、.【答案】，根据正弦定理，.【变式3】在中，已知，求【答案】根据正弦定理，得.例2在，求：和，思路点拨:先将已知条件表示在示意图形上（如图），可以确定先用正弦定理求出角，然后用三角形内角和求出角，最后用正弦定理求出边.解析：由正弦定理得：，（方法一），或，当时，（舍去）；当时，（方法二），即为锐角，总结升华：1.正弦定理也可用于解决已知两边及一边的对角，求其他边和角的问题。2.在利用正弦定理求角时，因为，所以要依据题意准确确定角的范围，再求出角.3.一般依据大边对大角或三角形内角和进行角的取舍.类型二：余弦定理的应用：例3已知中，

5、、，求中的最大角。思路点拨:首先依据大边对大角确定要求的角，然后用余弦定理求解.解析：三边中最大，其所对角最大，根据余弦定理：，故中的最大角是.总结升华：1.中，若知道三边的长度或三边的关系式，求角的大小，一般用余弦定理；2.用余弦定理时，要注意公式中的边角位置关系.举一反三：【变式1】已知中,求角.【答案】根据余弦定理：，【变式2】在中，角所对的三边长分别为，若，求的各角的大小【答案】设，根据余弦定理得：，；同理可得；【变式3】在中，若，求角.【答案】，类型三：正、余弦定理的综合应用例4在中，已知，求及.思路点拨:画出示意图，由其中的边角位置关系可以先用余弦定理求边，然后继续用余弦定理或正弦

6、定理求角.解析：由余弦定理得：=求可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理：（法一：余弦定理），（法二：正弦定理）又，即总结升华：画出示意图，数形结合，正确选用正弦、余弦定理，可以使解答更快、更好.举一反三：【变式1】在中，已知,.求和.【答案】由余弦定理得：，由正弦定理得：，因为为钝角，则为锐角，.【变式2】在中，已知角所对的三边长分别为，若，求角和【答案】根据余弦定理可得：，；由正弦定理得：.其他应用题详解一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1如图所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于akm，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40

7、76;，则灯塔A与灯塔B的距离为()AakmB.akmC.akmD2akm解析利用余弦定理解ABC.易知ACB120°，在ACB中，由余弦定理得AB2AC2BC22AC·BCcos120°2a22a2×3a2，ABa.答案B2张晓华同学骑电动自行车以24km/h的速度沿着正北方向的公路行驶，在点A处望见电视塔S在电动车的北偏东30°方向上，15min后到点B处望见电视塔在电动车的北偏东75°方向上，则电动车在点B时与电视塔S的距离是()A2kmB3kmC3kmD2km解析如图，由条件知AB24×6，在ABS中，BAS30&#

8、176;，AB6，ABS180°75°105°，所以ASB45°.由正弦定理知，所以BSsin30°3.答案B3轮船A和轮船B在中午12时离开海港C，两艘轮船航行方向的夹角为120°，轮船A的航行速度是25海里/小时，轮船B的航行速度是15海里/小时，下午2时两船之间的距离是()A35海里B35海里C35海里D70海里解析设轮船A、B航行到下午2时时所在的位置分别是E，F，则依题意有CE25×250，CF15×230，且ECF120°，EF70.答案D4(2014·济南调研)为测量某塔AB的高度

9、，在一幢与塔AB相距20m的楼的楼顶处测得塔顶A的仰角为30°，测得塔基B的俯角为45°，那么塔AB的高度是()A20mB20mC20(1)mD30m解析如图所示，由已知可知，四边形CBMD为正方形，CB20m，所以BM20m又在RtAMD中，DM20m，ADM30°，AMDMtan30°(m)ABAMMB2020(m)答案A5(2013·天津卷)在ABC中，ABC，AB，BC3，则sinBAC()A.B.C.D.解析由余弦定理AC2AB2BC22AB·BCcosABC()2322××3×5，所以AC，再

10、由正弦定理：sinBAC·BC.答案C6(2014·滁州调研)线段AB外有一点C，ABC60°，AB200km，汽车以80km/h的速度由A向B行驶，同时摩托车以50km/h的速度由B向C行驶，则运动开始多少h后，两车的距离最小()A.B1C.D2解析如图所示，设th后，汽车由A行驶到D，摩托车由B行驶到E，则AD80t，BE50t.因为AB200，所以BD20080t，问题就是求DE最小时t的值由余弦定理，得DE2BD2BE22BD·BEcos60°(20080t)22500t2(20080t)·50t12900t242000t40

11、000.当t时，DE最小答案C二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)7已知A，B两地的距离为10km，B，C两地的距离为20km，现测得ABC120°，则A、C两地的距离为_km.解析如右图所示，由余弦定理可得：AC21004002×10×20×cos120°700，AC10(km)答案108如下图，一艘船上午9：30在A处测得灯塔S在它的北偏东30°处，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午10：00到达B处，此时又测得灯塔S在它的北偏东75°处，且与它相距8nmile.此船的航速是_nmile/h.解析设航速为v

12、nmile/h在ABS中，ABv，BS8，BSA45°，由正弦定理得：，v32(nmile/h)答案329如图，为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使C在塔底B的正东方向上，测得点A的仰角为60°，再由点C沿北偏东15°方向走10米到位置D，测得BDC45°，则塔AB的高是_米解析在BCD中，CD10，BDC45°，BCD15°90°105°，DBC30°，BC10(米)在RtABC中，tan60°，ABBCtan60°10(米)答案10三、解答题(本大题共3小题，每小题10分

13、，共30分)10(2014·台州模拟)某校运动会开幕式上举行升旗仪式，旗杆正好处于坡度15°的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离为10米(如图所示)，旗杆底部与第一排在一个水平面上若国歌长度约为50秒，升旗手应以多大的速度匀速升旗？解在BCD中，BDC45°，CBD30°，CD10，由正弦定理，得BC20.在RtABC中，ABBCsin60°20×30(米)，所以升旗速度v0.6(米/秒)11.如图，A、B是海面上位于东西方向相距5(3)海

14、里的两个观测点，现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距20海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/时，该救援船到达D点需要多长时间？解由题意，知AB5(3)海里，DBA90°60°30°，DAB90°45°45°，ADB180°(45°30°)105°.在DAB中，由正弦定理，得，于是DB10(海里)又DBCDBAABC30°(90°60°)60°，

15、BC20(海里)，在DBC中，由余弦定理，得CD2BD2BC22BD·BC·cosDBC30012002×10×20×900.得CD30(海里)，故需要的时间t1(小时)，即救援船到达D点需要1小时12.(2013·江苏卷)如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50m/min.在甲出发2min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1min后，再从B匀速步行到C.假设缆车匀速直线运行的速度为130m/min，山路AC长为1260m，经测量，cosA，cosC.(1)求索道AB的长；(2)问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？(3)为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？解(1)在ABC中，因为cosA，cosC，所以sinA，sinC.从而sinBsin(AC)sin(AC)sinAcosCcosAsinC××.由正弦定理，得AB×sinC×1040(m)所以索道AB的长为1040m.(2)假设乙出发t分钟后，甲、乙两游客距离为d，此时，甲行走了(10050t)m，乙距离A处130tm，所以