高中数学 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 2.3.2 平面与平面垂直的判定 新人教A版必修2

1、23.2 平面与平面垂直的判定平面与平面垂直的判定 第二章点、直线、平面之间的位置关系第二章点、直线、平面之间的位置关系 1.理解二面角的有关概念理解二面角的有关概念，会求简单的二面角的大会求简单的二面角的大小小 2.理解两平面垂直的定义理解两平面垂直的定义 3.掌握两平面垂直的判定定掌握两平面垂直的判定定理理 第二章点、直线、平面之间的位置关系第二章点、直线、平面之间的位置关系 1二面角二面角 (1)从一条直线出发的从一条直线出发的_所组成的图形叫做二面角所组成的图形叫做二面角，这这条直线叫做二面角的条直线叫做二面角的_，这两个半平面叫做二面角的面这两个半平面叫做二面角的面 (2)图形和记法

2、图形和记法 记作：二面角记作：二面角_或二面角或二面角_或二面角或二面角_ 两个半平面两个半平面棱棱lPABQPlQ2二面角的平面角二面角的平面角 (1)在二面角的棱上在二面角的棱上_一点一点 O，以点以点 O 为垂足为垂足，在两个半平面在两个半平面内分别作内分别作_棱的射线棱的射线， 则两条射线构成的则两条射线构成的_叫做二面角的叫做二面角的平面角平面角 任取任取垂直于垂直于角角(2)图形、符号及范围图形、符号及范围 图形：图形： 符号：符号： l，OlOA，OBOAl，OBlAOB 是二面角的平面角是二面角的平面角 范围：范围：0AOB180. (3)规定：二面角的大小可以用它的规定：二面

3、角的大小可以用它的_来度量来度量，二面角的平二面角的平面角是多少度面角是多少度，就说这个二面角是多少度平面角是就说这个二面角是多少度平面角是_的二的二面角叫做直二面角面角叫做直二面角 平面角平面角直角直角3平面与平面垂直平面与平面垂直 (1)定义定义：一般地：一般地，两个平面相交两个平面相交，如果它们所成的二面角是如果它们所成的二面角是_，就说这就说这两个平面互相垂直，平面两个平面互相垂直，平面 与与垂直，记作垂直，记作_ (2)判定定理判定定理 文字语言文字语言 图形语言图形语言 符号语言符号语言 一个平面过另一个平面一个平面过另一个平面的的_，则这两个平面则这两个平面垂直垂直. ll 直二

4、面角直二面角垂线垂线 1判一判判一判(正确的打正确的打“”“”，错误的错误的打打“”“”) (1)二面角的平面角的大小与其顶点在二面角棱上的位置有二面角的平面角的大小与其顶点在二面角棱上的位置有关关( ) (2)二面角可以看成是一个半平面以其棱为轴旋转而成的二面角可以看成是一个半平面以其棱为轴旋转而成的 ( ) (3)如果平面如果平面 内有一条直线垂直于平面内有一条直线垂直于平面 内的一条直线内的一条直线，则则.( ) 答案：答案：(1) (2) (3) 2已知已知 l，则过则过 l 与与 垂直的平面垂直的平面( ) A有有 1 个个 B有有 2 个个 C有无数个有无数个 D不存在不存在 答案

5、：答案：C 3把等腰把等腰 RtABC 沿斜边沿斜边 BC 上的高线上的高线 AD 折成一个二面角折成一个二面角，此时此时BDC60，那么此二面角的大小为那么此二面角的大小为_ 答案：答案：60 4如图如图 P 是二面角是二面角 l 内的点内的点，PA，PB，垂足分别垂足分别为为 A，B.若若APB80，则二面角则二面角 l 的大小为的大小为_ 答案：答案：100 探究点一探究点一 二面角及其平面角的概念二面角及其平面角的概念 下列说法：下列说法： 两个相交平面所组成的图形叫做二面角；两个相交平面所组成的图形叫做二面角； 异面直线异面直线 a，b 分别和一个二面角的两个面垂直分别和一个二面角的

6、两个面垂直，则则 a，b 所成所成的角与这个二面角的平面角相等或互补；的角与这个二面角的平面角相等或互补； 二面角的平面角是从棱上一点出发二面角的平面角是从棱上一点出发， 分别在两个面内作射线所分别在两个面内作射线所成的最小角成的最小角 其中正确的是其中正确的是( ) A B C D 解析解析 由二面角定义知：由二面角定义知：中实质上共有中实质上共有 4 个二面个二面角角，故，故不不正确； 由于正确； 由于 a， b 均垂直于两个面均垂直于两个面， 则则 a， b 都垂直于二面角的棱都垂直于二面角的棱，故故正确；正确； 中所作的射线不一定垂直于二面角的棱中所作的射线不一定垂直于二面角的棱， 故

7、故不正不正确确 答案答案 B (1)要注意区别二面角与两相交平面所成的角并不一致要注意区别二面角与两相交平面所成的角并不一致 (2)要注意二面角的平面角与顶点在棱上且角两边分别在二面角要注意二面角的平面角与顶点在棱上且角两边分别在二面角面上的角的联系与区别面上的角的联系与区别 (3)可利用实物模型可利用实物模型，作图帮助判断作图帮助判断 1.如图如图，P 是二面角是二面角 l 的交线的交线 l 上一定点上一定点，PA，PB，且且 PAl，PBl，BPA120，若点若点 C 是半是半平面平面 上任意一点上任意一点，则则BPC 的范围为的范围为( ) A(0，120) B(0，90) C(90，1

8、20 D90，120 解析：解析：选选 D.当当 PC 与与 l 重合时重合时，BPC90，当当 PC 与与 PA 重重合时合时，BPC120.故故BPC 的范围为的范围为90，120 探究点二探究点二 二面角的求解二面角的求解 已知正四棱锥已知正四棱锥 SABCD(底面为正方形底面为正方形，各侧面为全等的各侧面为全等的等腰三角形等腰三角形)的体积为的体积为 12，底面对角线的长为底面对角线的长为 2 6，求侧面与底求侧面与底面所成的二面角面所成的二面角 解解 设正四棱锥设正四棱锥 SABCD 的高为的高为 h，底面底面边长为边长为 a， 则则 2a2(2 6)2，所以所以 a212.又又13

9、a2h12，所以所以 h36a23. 设设 O 为为 S 在底面上的投影在底面上的投影，作作 OECD 于于 E，连接连接 SE， 可知可知 SECD，SEO 为所求二面角的平面角为所求二面角的平面角 tanSEOha23212 3，所以所以SEO60. 所以侧面与底面所成二面角的大小为所以侧面与底面所成二面角的大小为 60. 在本例中在本例中，条件不变条件不变，求二面角求二面角 DSCA 的正弦的正弦值值 解：解：如图如图，过过 O 作作 OFSC，垂足为垂足为 F，连接连接 FD，OD，AC. 由例题解由例题解析知析知，SO平面平面 ABCD，且且 O 是底面正方形的中心是底面正方形的中心

10、， 所以所以 DOSO，DOAC，又又 ACSOO. 所以所以 DO平面平面 SAC， 又又 SC平面平面 SAC，所以所以 SCDO， 又又 SCOF，DOOFO. 所以所以 SC平面平面 DOF，又又 DF平面平面 DOF，所以所以 DFSC. 所以所以OFD 为二面角为二面角 DSCA 的平面角的平面角 由例题解析知由例题解析知，OD 6，SC OC2OS2 69 15， OFOSOCSC3 6153 25， 所以所以 DF OF2OD21856485， 所以所以 sinOFDODDF6485104， 即二面角即二面角 DSCA 的正弦值为的正弦值为104. 求二面角的步骤求二面角的步骤

11、 (1)作出二面角的平面角；作出二面角的平面角； (2)证明该角两边都与棱垂直证明该角两边都与棱垂直，指出该角就是二面角的平面角；指出该角就是二面角的平面角； (3)计算该角的大小计算该角的大小，简记为作、证、求简记为作、证、求，简称为简称为“一作二证三一作二证三求求” 2.如果二面角如果二面角 l 的平面角是锐角的平面角是锐角，点点 P 到到 、 和棱和棱 l 的的距离分别为距离分别为 2 2、4 和和 4 2，求其二面角的大小求其二面角的大小 解：解：当点当点 P 在二面角在二面角 l 的内部时的内部时，如图如图. 因为因为 PA，所以所以 PAl. 因为因为 ACl，所以所以 l平面平面

12、 PAC. 同理同理，l平面平面 PBC， 而平面而平面 PAC平面平面 PBCPC， 所以平面所以平面 PAC 与平面与平面 PBC 应重合应重合 即即 A、C、B、P 在在同一平面内同一平面内 所以所以ACB 是二面角是二面角 l 的平面角的平面角 在在 RtAPC 中中，sinACPPAPC2 24 212. 所以所以ACP30. 在在 RtBPC 中中，sinBCPPBPC44 222. 所以所以BCP45. 所以所以ACB304575. 当点当点 P 在二面角在二面角 l 的外部时的外部时， 如图如图.同理可得同理可得ACB453015. 综上综上，知所求二面角知所求二面角的大小为的

13、大小为 75或或 15. 探究点三探究点三 平面与平面垂直的判定平面与平面垂直的判定 如图所示如图所示，四边形四边形 ABCD 为正方形为正方形，PD平面平面 ABCD，PDQA，QAAB12PD.证明：平面证明：平面 PQC平面平面 DCQ. 证明证明 由四边形由四边形 ABCD 为正方形为正方形，可得可得 CDAD， 又又 PD平面平面 ABCD， 所以所以 PDCD，PDAD， 故故 CD平面平面 AQPD，从而从而 CDPQ. 如图所示如图所示， 取取 PD 的中点的中点 E， 连接连接 QE.则则 DEAQ， 且且 DEAQ， 从而四边形从而四边形 AQED 是平行四边形是平行四边形

14、， 则则 QEAD，所以所以 QEPD， 所以所以 DQQP. 设设 QA1，则则 AB1，PD2. 在在DQP 中中，有有 DQQP 2，PD2. 所以所以 DQ2QP2PD2，故故PQD90，即即 DQPQ. 又又 CDDQD，所以所以 PQ平面平面 DCQ. 又又 PQ平面平面 PQC，所以平面所以平面 PQC平面平面 DCQ. (1)利用面面垂直的判定定理证明面面垂直时的一般方法是：先利用面面垂直的判定定理证明面面垂直时的一般方法是：先从现有的直线中寻找平面的垂线从现有的直线中寻找平面的垂线， 若这样的垂线存在若这样的垂线存在， 则可通过则可通过线面垂直来证明面面垂直； 若这样的垂线不

15、存在线面垂直来证明面面垂直； 若这样的垂线不存在， 则可通过辅助则可通过辅助线来解决线来解决， 而作辅助线时应有理论根据并有利于证明而作辅助线时应有理论根据并有利于证明， 不能随意不能随意添添加加 (2)在证明垂直过程中在证明垂直过程中，充分利用给出的线段长度判断是否构成充分利用给出的线段长度判断是否构成勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理 3.如图所示如图所示，在四棱锥在四棱锥 PABCD 中中，PA平面平面ABCD，底面底面 ABCD 是直角梯形是直角梯形，ABAD，CDAD.求证：平求证：平面面 PDC平面平面 PAD. 证明：证明：因为因为 PA平面平面 ABCD，CD平面平面 ABCD，

16、 所以所以 PACD. 又因为又因为 CDAD，PAADA，所以所以 CD平面平面 PAD. 又因为又因为 CD平面平面 PDC. 所以平面所以平面 PDC平面平面 PAD. 1二面角和它的平面角的画法二面角和它的平面角的画法 画二面角和它的平面角画二面角和它的平面角，常用以下两种形式：常用以下两种形式： (1)直立式直立式，如图所示如图所示 (2)平卧式平卧式，如图所示如图所示 2二面角的平面二面角的平面角的确定方法角的确定方法 (1)定义法定义法：在二面角的棱上找一个特殊点：在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内过在两个半平面内过该点分别作垂直于棱的射线如图该点分别作垂直于棱的射线如图. (2)垂面法垂面法：过棱上一点作棱的垂直平面：过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两该平面与二面角的两个半平面均有交线个半平面均有交线，这两条射线所成的角这两条射线所成的角，即为二面角的平面即为二面角的平面角如图角如图. (3)垂线法垂线法：过二面角的一个半平面内一点作另一个半平面的垂：过二面角的一个半平面内一点作另一个半平面的垂线线， 过垂足作棱的垂线过垂足作棱的垂线， 利用线面垂直可找到二面角的平面角或利用线面垂直可找到二面角的平面角或其补角此种方法通用于求二面角的题目具体步骤为：一找、其补角此种方法通用于求二面角的