高中数学 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 2.3.1 直线与平面垂直的判定 新人教A版必修2

1、 1.掌握直线与平面垂掌握直线与平面垂直的定义直的定义 2.掌握直线与平面垂直掌握直线与平面垂直的判定定理的判定定理 3理解直线与平面所成的角的概念理解直线与平面所成的角的概念，并能解决简单的线面角问并能解决简单的线面角问题题 第二章点、直线、平面之间的位置关系第二章点、直线、平面之间的位置关系 1直线与平面垂直直线与平面垂直 (1)直线与平面垂直的定义直线与平面垂直的定义 如果直线如果直线 l 与平面与平面 内的内的_都垂直都垂直，就说直线，就说直线 l 与与平面平面 互相垂直互相垂直，记作记作_ 第二章点、直线、平面之间的位置关系第二章点、直线、平面之间的位置关系(2)直线与平面垂直的判定

2、定理直线与平面垂直的判定定理 文字语言文字语言 图形语言图形语言 符号语言符号语言 一条直线与一个平一条直线与一个平面内的面内的_都垂都垂直直，则该直线与此平则该直线与此平面垂面垂直直 lalbababPl 任意一条直线任意一条直线l2.直线与平面所成的角直线与平面所成的角 (1)如图如图，一直线一直线 PA 和一个平面和一个平面 相交相交，但不和这个平面垂直但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个这条直线叫做这个平面的平面的_，斜线和平面的交点斜线和平面的交点 A 叫做叫做_ 过斜线上斜足以外的一点向平面引 过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线垂线 PO， 过垂足过垂足 O 和斜足和斜足 A 的直

3、线的直线 AO 叫做斜线在这个平面上叫做斜线在这个平面上的的_ 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的_， 叫叫做这条直线和这个平面所成的角做这条直线和这个平面所成的角 (2)一条直线垂直于平面一条直线垂直于平面，称它们所成的角是直角；一条直线在称它们所成的角是直角；一条直线在平面内或一条直线和平面平行平面内或一条直线和平面平行，称它们所成的角是称它们所成的角是 0的角的角 两条相交直线两条相交直线 1 判一判判一判(正确的打正确的打“”“”， ，错误的打错误的打“”“”) (1)如果一条如果一条直线与一个平面内无数条直线都垂直，那么这条直直线与一个平面

4、内无数条直线都垂直，那么这条直线与这个平面垂直线与这个平面垂直( ) (2)如果一条直线与一个平面内所有直线都垂直如果一条直线与一个平面内所有直线都垂直， ，那么这条直线那么这条直线与这个平面垂直与这个平面垂直( ) 斜线斜线斜足斜足射影射影锐角锐角答案：答案：(1) (2) 2已知直线已知直线 a直线直线 b，b平面平面 ，则则( ) Aa Ba Ca Da 是是 的斜线的斜线 答案：答案：C 3如图如图，ADB 和和ADC 都是以都是以 D 为直角顶点的直角三角形为直角顶点的直角三角形，且且 ADBDCD， BAC60， 则直线则直线 AD平面平面_； 直； 直线线 BD平面平面_；直线；

5、直线 CD平面平面_ 答案：答案：BCD ADC ADB 探究点一探究点一 直线与平直线与平面垂直的定义面垂直的定义 下列命题中下列命题中，正确的序号是正确的序号是_ 若直线若直线 l 与平面与平面 内的一条直线垂直内的一条直线垂直， 则则 l； 若直线若直线 l 不不垂直于平面垂直于平面 ，则则 内没有与内没有与 l 垂直的直线；垂直的直线；若直线若直线 l 不垂直不垂直于平面于平面 ， 则则 内也可以有无数条直线与内也可以有无数条直线与 l 垂直；垂直； 若平面若平面 内内有一条直线与直线有一条直线与直线 l 不垂直不垂直，则直线则直线 l 与平面与平面 不垂直不垂直 解析解析 当当 l

6、与与 内的内的一条直线垂直时一条直线垂直时，不能保证，不能保证 l 与平面与平面 垂垂直直，所以所以不正确；当不正确；当 l 与与 不垂直时不垂直时，l 可能与可能与 内的无数条内的无数条平行直线垂直平行直线垂直，所以所以不正确不正确，正确根据线面垂直的定义正确根据线面垂直的定义，若若 l，则则 l 与与 内的所有直线都垂直内的所有直线都垂直，所以所以正确正确 答案答案 (1)直线和平面垂直的定义是描述性定义直线和平面垂直的定义是描述性定义，对直线的任意性要注对直线的任意性要注意理解实际上意理解实际上，“任何一条任何一条”与与“所有所有”表达相同的含义当表达相同的含义当直线与平面垂直时直线与平

7、面垂直时， 该直线就垂直于这个平面内的任何直线 由该直线就垂直于这个平面内的任何直线 由此可知此可知， 如果一条直线与一个平面内的一条直线不垂直如果一条直线与一个平面内的一条直线不垂直， 那么这那么这条直线就一定不与这个平面垂直条直线就一定不与这个平面垂直 (2)由定义可得线面垂直由定义可得线面垂直线线垂直线线垂直， 即若即若 a， b， 则则 ab. 1.以下命题正确的是以下命题正确的是( ) aa； aabb； aabb. A B C D 解析：解析：选 选A. 由线面垂直的判由线面垂直的判定定理可知结论正确；定定理可知结论正确； 中 中b， ， 的关系可以线面平行或直线在平面内；的关系可

8、以线面平行或直线在平面内； 中直线可以与平面平中直线可以与平面平行 行， ，相交或直线在平面内相交或直线在平面内 探究点二探究点二 直线与平面垂直的判定直线与平面垂直的判定 如图如图，AB 为为O 的直径的直径，PA 垂直于垂直于O 所在的平面所在的平面，M 为圆周上任意一点为圆周上任意一点，ANPM，N 为为垂足垂足 (1)求证：求证：AN平面平面 PBM； (2)若若 AQPB，垂足为垂足为 Q，求证：求证：NQPB. 证明证明 (1)因为因为 AB 为为O 的直径的直径， 所以所以 AMBM.又又 PA平面平面 ABM，所以所以 PABM. 又因为又因为 PAAMA，所以所以 BM平面平

9、面 PAM. 又又 AN平面平面 PAM，所以所以 BMAN. 又又 ANPM，且且 BMPMM，所以所以 AN平面平面 PBM. (2)由由(1)知知 AN平面平面 PBM， PB平面平面 PBM，所以所以 ANPB. 又因为又因为 AQPB，ANAQA， 所所以以 PB平面平面 ANQ. 又又 NQ平面平面 ANQ，所以所以 PBNQ. 在本例中若条件不变在本例中若条件不变， ，在四面体在四面体PAMB的四个面的四个面中共有多少个直角三角形中共有多少个直角三角形 解解：由例：由例(1)的证明过程知的证明过程知， BM平面平面 PAM，又又 PM平面平面 PAM，所以所以 BMPM. 所以所

10、以PAMPABAMBBMP90. 所以四个面都是直角三角形所以四个面都是直角三角形 证明线面垂直的方法证明线面垂直的方法 (1)线线垂直证明线面垂直线线垂直证明线面垂直 定义法定义法(不常用不常用，但由线面垂直可得出线线垂直但由线面垂直可得出线线垂直)； 判定定理法：要着力寻找平面内哪两条相交直线判定定理法：要着力寻找平面内哪两条相交直线(有时作辅助有时作辅助线线)；结合平面图形的性质；结合平面图形的性质(如勾股定理逆定理、等腰三角形底边如勾股定理逆定理、等腰三角形底边中线等中线等)及一条直线与平行线中一条垂直也与另一条垂直等结论及一条直线与平行线中一条垂直也与另一条垂直等结论来论证线线垂直来

11、论证线线垂直 (2)平行转化法平行转化法(利用推论利用推论) ab，ab； ，aa. 2. 如图所示如图所示， 在三棱柱在三棱柱ABCA1B1C1中中， 侧棱侧棱 AA1底面底面 ABC，ABAC1，AA12，B1A1C190，D 为为 BB1的中点求证：的中点求证：AD平面平面A1DC1. 证明：证明：因为因为 AA1底面底面 ABC， 平面平面 A1B1C1平面平面 ABC， 所以所以 AA1平面平面 A1B1C1，显然显然 A1C1平面平面 A1B1C1， 所以所以 A1C1AA1. 又又B1A1C190，所以所以 A1C1A1B1而而 A1B1AA1A1， 所以所以 A1C1平面平面

12、AA1B1B，AD平面平面 AA1B1B， 所以所以 A1C1AD.由已知计算得由已知计算得 AD 2，A1D 2，AA12. 所以所以 AD2A1D2AA21，所以所以 A1DAD. 因为因为 A1C1A1DA1，所以所以 AD平面平面 A1DC1. 探究点三探究点三 求解直线与平面所成的角求解直线与平面所成的角 在正方体在正方体 ABCDA1B1C1D1中中，E 是棱是棱 DD1的中点的中点，求求直线直线 BE 与平面与平面 ABB1A1所成的角的正弦值所成的角的正弦值 解解 取取 AA1的中点的中点 M，连接连接 EM，BM. 因为因为 E 是是 DD1的中点的中点， 四边形四边形 AD

13、D1A1为正方形为正方形， 所以所以 EMAD. 又在正方体又在正方体 ABCDA1B1C1D1中中， AD平面平面 ABB1A1， 所以所以 EM平面平面 ABB1A1， 从而从而 BM 为直线为直线 BE 在平面在平面 ABB1A1上的射影上的射影，EBM 即为直即为直线线 BE 与平面与平面 ABB1A1所成的角所成的角 设正方体的棱长为设正方体的棱长为 2， 则则 EMAD2，BE2222123. 于是在于是在 RtBEM 中中，sinEBMEMBE23， 即直线即直线 BE 与平面与平面 ABB1A1所成的角的正弦值为所成的角的正弦值为23. 求直线与平面所成的角的方法求直线与平面所

14、成的角的方法 (1)作图：作图：作作(或找或找)出斜线在平面上的射影出斜线在平面上的射影，将空间角转化为平面将空间角转化为平面角角， 作射影要过斜线上一点作平面的垂线作射影要过斜线上一点作平面的垂线， 再过垂足和斜足作直再过垂足和斜足作直线线， 注意斜线上点的选取以及垂足的位置要与问题中已知量有关注意斜线上点的选取以及垂足的位置要与问题中已知量有关，才能便于计算才能便于计算 (2)定角：定角：证明某平面角就是斜线与平面所成的角证明某平面角就是斜线与平面所成的角 (3)计算计算：通常在垂线段、斜线和射影所组成的直角三角形中计：通常在垂线段、斜线和射影所组成的直角三角形中计算算 3. 如图所示如图

15、所示，RtBMC 中中，斜边斜边 BM5，它在它在平面平面 ABC 上的射影上的射影 AB 的长为的长为 4，MBC60，求求 MC 与平与平面面 CAB 所成的角的正弦值所成的角的正弦值 解：解：由题意知由题意知，A 是是 M 在平面在平面 ABC 内的射影内的射影，所以所以 MA平面平面ABC， 所以所以 MC 在平面在平面 CAB 内的射影为内的射影为 AC. 所以所以MCA 即为直线即为直线 MC 与平面与平面 CAB 所成的角所成的角 又因为在又因为在 RtMBC 中中，BM5，MBC60， 所以所以 MCBMsinMBC5sin 60532532. 在在 RtMAB 中中，MAMB

16、2AB252423. 在在 RtMAC 中中，sinMCAMAMC3532235. 即即 MC 与平面与平面 CAB 所成的角的正弦值为所成的角的正弦值为235. 1直线与平面垂直定义的理解直线与平面垂直定义的理解 (1)定义中的定义中的“任意一条直线任意一条直线”这一词语这一词语，它与它与“所有直线所有直线”是是同义语同义语，定定义是说这条直线和平面内所有直线垂直义是说这条直线和平面内所有直线垂直 (2)直线和平面垂直是直线和平面相交的一种特殊形式直线和平面垂直是直线和平面相交的一种特殊形式 (3)直线和平面垂直直线和平面垂直，则直线和平面内的任何一条直线都垂直则直线和平面内的任何一条直线都

17、垂直，即如果即如果 a，b，则则 ab，简述之简述之，即即“线面垂直线面垂直，则线线则线线垂直垂直”， 这是今后判定两条直线垂直时这是今后判定两条直线垂直时， 经常使用的一种重要方经常使用的一种重要方法法 (4)直线与平面垂直的图形语言表示及符号语言表述直线与平面垂直的图形语言表示及符号语言表述，画直线和画直线和水平平面垂直时水平平面垂直时， 要把直线画成和表示平面的平行四边形的横边要把直线画成和表示平面的平行四边形的横边垂直垂直，如图所示直线与平面垂直的符号语言表述是如图所示直线与平面垂直的符号语言表述是 l. 2对直线与平面垂直的判定定理的理解对直线与平面垂直的判定定理的理解 (1)突出关键词突出关键词“两条相交直两条相交直线线”一定不可忽视一定不可忽视，否则将导致结否则将导致结论错误论错误 如图如图，直线直线 la，lb，a，b，ab，而而 l，即即 l 不垂不垂直于直于 . (2)本定理体现了转化思想本定理体现了转化思想，即线线垂直即线线垂直