极坐标系与极坐标方程

1、一、坐标系1、数轴它使直线上任一点P都可以由惟一的实数x确定2、平面直角坐标系在平面上，当取定两条互相垂直的直线的交点为原点，并确定了度量单位和这两条直线的方向，就建立了平面直角坐标系。它使平面上任一点P都可以由惟一的实数对x,y确定。3、空间直角坐标系在空间中，选择两两垂直且交于一点的三条直线，当取定这三条直线的交点为原点，并确定了度量单位和这三条直线方向，就建立了空间直角坐标系。它使空间上任一点P都可以由惟一的实数对x,y,z确a£o二、平面直角坐标系的伸缩变换Xx,(0)定义：设Px,y是平面直角坐标系中的任意一点，在变换：,')的作用下，yy(0).点Px,y对应到点

2、P'x',y'，称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换。三.例题讲解例1在平面直角坐标系中，求以下方程所对应的图形经过丁伸缩变换后的图形。12x+3y=0;2x2+y2=1三、极坐标系1、极坐标系的建立：(除去极点)就与极坐标在平面上取一个定点O,自点O引一条射线OX同时确定一个单位长度和计算角度的正方向通常取逆时针方向为正方向，这样就建立了一个极坐标系。其中O称为极点，射线OX称为极轴。2、极坐标系内一点的极坐标的规定对于平面上任意一点M,用表示线段OM的长度，用表示从OX到OM的角度，叫做点M的极径，叫做点M的极角，有序数对，就叫做M的极坐标。特别强调：由

3、极径的意义可知>0;当极角的取值范围是0,2)时，平面上的点，建立一一对应的关系.们约定，极点的极坐标是极径=0,极角是任意角.3、负极径的规定在极坐标系中，极径允许取负值，极角也可以去任意的正角或负角当0时，点“，位于极角终边的反向延长线上，且OM二。M,也可以表示为(，2k)或(，(2k1)(kz)4、数学应用例1写出以下图中各点的极坐标A4,0B2CDEFG规定：极点的极坐标是=0,可以取任意角。变式训练在极坐标系里描出以下各点A3,0B6,2C3,D5,上E3,5_F4,G6,5-2363例2在极坐标系中，(1) 已知两点P55,5，鼠1,),求线段PQ的长度；44(2) 已知M

4、的极坐标为，且=§，R，说明满足上述条件的点M的位置。变式训练一557.1、假设ABC的的三个顶点为A(5,)，B(8,),C(3,工判断二角形的形状.2662、假设A、B两点的极坐标为(1,i),(2,2)求AB的长以及AOB的面积。为极点例3已知Q，分别按以下条件求出点P的极坐标。(1) P是点Q关于极点O的对称点；(2) P是点Q关于直线一的对称点；2(3) P是点Q关于极轴的对称点。变式训练1.在极坐标系中，与点(8,1)关于极点对称的点的一个坐标是()5 5A(8,),B(8,),C(8,),D(8,)6 66652在极坐标系中，如果等边ABC的两个顶点是A(2,),B(2

5、,一),求第二个顶点C的坐标。44四、极坐标与直角坐标的互化直角坐标系的原点O为极点，X轴的正半轴为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位。平面内任意一点P的直角坐标与极坐标分别为(x,y)和(,),则由三角函数的定义可以得到如下两组公式：222xcosxyysintan-(x0)x说明1上述公式即为极坐标与直角坐标的互化公式2通常情况下，将点的直角坐标化为极坐标时，取>0,0<<2o3化公式的三个前提条件1 .极点与直角坐标系的原点重合；2 .极轴与直角坐标系的x轴的正半轴重合；3 .两种坐标系的单位长度相同.三、数学应用极坐标。例11把点M的极坐标(8,红)化成直角坐标；2

6、把点P的直角坐标(J6,J2)化成3变式训练在极坐标系中，已知A(2,-),B(2,),求A,B两点的距离66例2假设以极点为原点，极轴为x轴正半轴，建立直角坐标系.一，.，一5、(1)已知A的极坐标(4,),求它的直角坐标,3(2)已知点B和点C的直角坐标为(2,2)和(0,15)求它们的极坐标.(>0,0W<2)变式训练把以下个点的直角坐标化为极坐标(限定>0,0w<2)A(1,1),B(0,2),C(3,4),D(3,4)2例3在极坐标系中，已知两点A(6,忍)，B(6,3-).求A,B中点的极坐标.变式训练在极坐标系中，已知三点 M (2,-),N(2,0),

7、P(23,).判断 M ,N,P6三点是否在一条直线上五、常用曲线的极坐标方程1、假设直线l经过M( 0, 0)且极轴到此直线的角为，求直线l的极坐标方程。变式训练：直线l经过M (3,)且该直线到极轴所成角为 一，求此直线l的极坐标方程。242、假设圆心的坐标为 M (0),圆的半径为r ,求圆的方程。运用此结果可以推出哪些特殊位置的圆的极坐标方程。3、在圆心的极坐标为A(4,0),半径为4的圆中，求过极点O的弦的中点的轨迹。、稳固与练习在极坐标系中，已知圆C的圆心C(3,)，半径r361求圆C的极坐标方程。2假设Q点在圆C上运动，P在OQ的延长线上，且OQ:OP3:2,求动点P的轨迹方程。

8、1、圆锥曲线的统一方程设定点的距离为P,求到定点到定点和定直线的距离之比为常数e的点的轨迹的极坐标方程分析：建系设点列出等式用极坐标表示上述等式，并化简得极坐标方程说明：为便于表示距离,e表示离心率，2、例题讲解取F为极点，垂直于定直线l的方向为极轴的正方向。P表示焦点到准线距离。例1.2003年10月1517日，我国自主研制的神舟五号载人航天飞船成功发射并按预定方案安全、准确的返回地球，它的运行轨道先是以地球中心为一个焦点的椭圆，椭圆的近地点离地面最近的点和远地点离地面最远的点距离地面分别为200km和350km,然后进入距地面约球半径取6378km，试写出神舟五号航天飞船运行的椭圆轨道的极

9、坐标方程。343km的圆形轨道。假设地例2.求证：过抛物线的焦点的弦被焦点分成的两部分的倒数和为常数。变式训练设P、Q是双曲线2x2a241(0ab)上的两点，假设OPOQob21求证：2|OP|21|OQ|2为定值;三、稳固与练习已知抛物线y24x的焦点为F。以F为极点，x轴正方向为极轴的正方向，写出此抛物线的极坐标方程;2斜角。过取F作直线l交抛物线于A、B两点，假设|AB|=16,运用抛物线的极坐标方程，求直线l的倾基础训练直线cos()m(kz）的斜率是2.极坐标方程表示的曲线是sin3.曲线sin4sin(0,02）的交点坐标4.在极坐标系中与圆4sin相切的一条直线方程为5.A、sin2B、cos2C、cos4D、cos椭圆54cos二、讲解新课：的长轴长例1.求曲线cos10关于直线一对称的曲线方程。4例2.求以下两曲线的交点坐标。