高中函数部分知识点及典型例题分析

1、一一函数主要知识点及典型例题第8页共7页智立方教育高一函数知识点及典型例题一、函数的概念与表示1、映射（1）映射：设A、B是两个集合，如果按照某种映射法则 f,对于集合A中的任一个元素,在集合 B 中都有唯一的元素和它对应,则这样的对应（包括集合A、B以及A到B的对应法则f）叫做集合A到集合B的映射，记作f: ZB.注意点：（1）对映射定义的理解.（2）判断一个对应是映射的方法 .一对多不是映射，多对一是映射2、函数构成函数概念的三要素定义域；对应法则；值域.两个函数是同一个函数的条件：三要素有两个相同例 2、M x|0 x 2, N关系的有（C ）A、 0个B、 1个例1、M到集合N的函数y

2、 10 y 3给出下列四个图形，其中能表示从集合C、2个D、3个y由题意知：M=x|0 <x<2, N=y|0 W yw 3,对于图中，在集合 M中区间(1, 2内的元素没有象，比如 f ( 3 2 )的值就不存在，所以图不符合 题意；对于图中，对于 M中任意一个元素，N中有唯一元素与之对应，符合函数的对应法则，故正确；对于图中，对于 M中任意一个元素，N中有唯一元素与之对应，且这种对应是一一对应，故正确；对于图中，集合 M的一个元素对应 N中的两个元素.比如当 x=1时，有两个y值与之对应，不符合函 数的定义，故不正确二、函数的解析式与定义域1、求函数定义域的主要依据：(1)分式

3、的分母不为零；(2)偶次方根的被开方数不小于零，零取零次方没有意义；(3)对数函数的真数必须大于零；(4)指数函数和对数函数的底数必须大于零且不等于1;例1、y Jogo.5(4x2 3x)函数的定义域为 根号下的数必须为正数，又当底数为大于0小于1的数时，只有当真数大于0小于1时，才能保证根号下的数为正数。所以让0<4X的平方-3X<1 ,解0<4X的平方-3X得X<0或3/4<X,解4X的平方-3X<1得-1/4<X<1 ,取交集得 X的范围是-1/4<X<0或3/4<X<1 »四.函数的奇偶性f(x),则称

4、y=f(x)为偶函数1 .定义：设y=f(x), xCA,如果对于任意 x e A,都有f ( x)如果对于任意x C A,都有f ( x)f (x),则称y=f(x)为奇函数.2 .性质：y=f(x)是偶函数y=f(x)的图象关于y轴对称， y=f(x)是奇函数 y=f(x)的图象关于原点对称，若函数f(x)的定义域关于原点对称，则 f(0)=0奇垃二奇；偶才禺=偶；奇淌=偶；偶M禺二偶；奇M禺=奇两函数的定义域D1，D2, D1CD2要关于原点对称3 .奇偶性的判断看定义域是否关于原点对称看f(x)与f(-x)的关系例1.已知函数f(x)是定义在(，)上的偶函数.当x (,0)时，f(x)

5、 x x4,则当 x (0,)时，f (x) .当 x C ( 0 , + 8), f(x)=-x-xA4解：当xC (0, + 8), x C (-8,0),因为当x<0时，f(x)=x-xA4,所以把一x代入这个式子中得f(-x)=-x-(-x)A4=-x-xA4, 又因为 f(x)是偶函数，所以 f(-x)=f(x)于是 f(x)=-x-xA4例2、已知定义域为R的函数f(x)2x b2x函数.(I)求a,b的值;(n)若对任意的t R ,不等式f (t22t) f(2t2 k) 0恒成立，求k的取值范围.(I)(n)因为 f(x)是奇函数，所以 f(0)=0,即(b-1)/(a+

6、2)=0 =>b=1 f(x)=(1-2Ax)/(a+2A(x+1)X由 f (1) = -f (-1)知 a=2 解由(I )知f(x)=(1-2Ax)/(2+2A(x+1)=-1/2+1/(2Ax+1),易知f(x)在正负无穷上为减函数。又因f(x)是奇函数,从而不等式:f(tA2-2t)+f(2tA2-k)<0 等价于 f(tA2-2t)<-f(2tA2-k)=f(k-2tA2),因 f(x)为减函数，由上式推得：tA2-2t>k-2tA2 .即 对一切 tCR 有：3tA2-2t-k>0,从而判别式=4+l2k<0 =>k<-1/3六.函

7、数的周期性:1. (定义)偶函数：一般地，如果对于函数f (x)的定义域内任意一个 x,都有f (-x) =f (x),则称函数 f (x)为偶函数。奇函数：一般地，如果对于函数f (x)的定义域内任意一个X,都有f (-x) =-f (x),那么函数f (x)是奇函数。4 11, - I2.若 f(x a) f(x)； f (x a)；f (x a) ；则£(刈周期是 2af(x)f (x)例1、已知定义在 R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=f(x)，则,f(6)的值为(A) -1(B) 0(C)1(D)2由于 f(X)为奇函数，故 f(-X)=-f(X),所以 f(-0)=-

8、f(0)得出 f(0)=0.又 f(X+2)=-f(X)故f(6)=f(4+2)=-f(4)=-(-f(2)=f(2)=f(0+2)=-f(0)=0答案:f(6)=0例2、f(x),例5、设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x恒满足f(2 x)当 x 0,2时 f(x) 2x x2.求证：f(x)是周期函数；当x 2,4时，求f(x)的解析式.(1) f(x)=-f(x+2)=-(-f(x+4)=f(x+4), 所以 f(x)是以 4 为周期的周期函数。(2)根据奇函数性质f(x)=-f(-x),可知xC卜2,0时，f(x)=-f(-x)=-(-2x-x 2)=2x+x2,而f(x)是

9、以4为周期的周期 函数，当 xC 2,4时，f(x)=f(x-4)=2(x-4)+(x-4) 2=x2-6x+8f(x)=-f(x+2)=-(-f(x+4)?根据f(x+2)=-f(x)这条件于是f(x+4)=-f(x+2),这个就是把x+2作为一个整体看作条件中的x,带进去就是七.二次函数(涉及二次函数问题必画图分析)1,二次函数f(x)=ax 2+bx+c(a w的图象是一条抛物线，对称轴 x J，顶点坐标(b 4ac b22a2a , 4a2.二次函数与一元二次方程关系一元二次方程ax2bx c 0(a0)的根为二次函数f(x)=ax 2+bx+c(a w 0y0的x的取值.元二次不等式

10、ax2bx c 0( 0)的解集(a>0)二次函数情况一兀二次不等式解集y=ax2+bx+c(a>0) =b2-4acax2+bx+c>0 (a>0)ax2+bx+c<0 (a>0)图象 与解 >0x|xx1 或 xx2x x1x x2工】 二0xx x0 <0R2例1、已知函数f(x) 4x mx 5在区间2,)上是增函数，则 f (1)的范围是()(A) f(1) 25(B) f (1) 25(C) f (1) 25(D) f (1) 25例2、方程mx2 2mx 1 0有一根大于1,另一根小于1,则实根m的取值范围是 二次函数解决。设Y=X

11、A2+2mX+1 ,抛物线开口向上，与X轴交点在1的左右两边，在保证有交点的情况下（A >0）,X=1 时，丫<0。A =4mA-4>0,得 m>1 或 m<-1,当 X=1 时，Y=2+2m<0,得 m<-1,综合得：m<-1 o九.指数函数与对数函数1.指数函数y=ax与对数函数y=logax （a>0 , a生为反函数名称指数函数对数函数-W式Y=ax (a>0 且 aw 1)y=log ax (a>0 , a w 1)定义域(-OO,+ oo)(0,+ oo)值域(0,+ oo)(-OO,+ oo)过定点（。，1）(1,

12、 0)图象指数函数y=ax与对数函数y=logax （a>0 , a圄象氏于y=x对称小，。<£】旷入a2 yrlosaH (a>l)10目/单调性a> 1,在（-°°,+ O为增函数0 < a<1,在（-°°,+ 对为减函数a>1,在（0,+ O为增函数0 < a<1,在（0,+ 00t为减函数值分布y>1 ?y<1?y>0?y<0?2 .比较两个哥值的大小，是一类易错题，解决这类问题，首先要分清底数相同还是指数相同，如果底 数相同，可利用指数函数的单调性；指数相同

13、，可以利用指数函数的底数与图象关系（对数式比较大小记住下列特殊值为底数的函数图象：3 .研究指数，对数函数问题，尽量化为同底，并注意对数问题中的定义域限制4 .指数函数与对数函数中的绝大部分问题是指数函数与对数函数与其他函数的复合问题，讨论复合函数 的单调性是解决问题的重要途径.例 1、(1) yvlg-x lg(5 3x)的定义域为 ;解答：令 lgx > 0,x > 1令 x > 0令 5 - 3x > 0, x < 5/3定义域为 1 < x < 5/3iy 2”的值域为；可以设t=1/(x-3),则t的范围就是tw0所以函数的值域为y>0且yw 20即值域为(0,1) U ( 1, +8)2(3) y lg( x x)的递增区间为 ，值域为-xA2+x>00Vx<1y=lg(-x2+x)的递增区间一(1/2,1)一值域为一(-无