高三文科数学试题及答案

1、兰州一中20112012-1学期高三期末考试数学试卷（文）注意：该试卷总分 150分，考1间120分钟，交卷时只交答题卡.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的.请把答案直接涂在答题卡相应位置上.1.已知集合 A =-1,1, B=xw R|1 <2x <4,则 AB=（）A. 0,2）B. 1C. -1,1D. 0,12.下列命题中错误的是（）A .如果平面口 1平面口，那么平面Q内一定存在直线平行于平面 口B.如果平面c（不垂直于平面 P ,那么平面豆内一定不存在直线垂直于平面 口C.如果平面a _L平面?，平面

2、P _L平面可，a c P =1 ,那么直线l 1平面,/D.如果平面a _L平面P ,那么平面a内所有直线都垂直于平面 P3 .已知an为等差数列，其公差为-2,且a7是a3与a9的等比中项，Sn为an的前n项和， *.n w N ，则Si。的值为（）A. -110B. -90C. 90D. 1104 .若实数a, b满足a之0,b之0,且ab = 0,则称a与b互补，记中（a,b）= Ja2 +b2 a-b, 那么9（a, b） =0是a与b互补的（）A .充分非必要条件B .必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件5 .若a,bw R ,且ab0 ,则下列不等式中，恒成立的是（

3、）A. a2+b2 a2abB . a+b 之 2J0bC.D.b旦一2 a b0<x<V26 .已知在平面直角坐标系 xOy上的区域D由不等式组y <2 给定。若M （x, y）为D、x M 72y的最大值为上的动点，点 A的坐标为 诋1 ,则z=OM OAA. 3B. 4C. 3亚7.函数f(x)在定义域R内可导，若f(x)=f(2x),且当 xW(-«,1)时，(x-1)f/(x) <0 ,设2 = f (0), b = f(1),c = f(3),则2A . a<b<c B. c <b < aC. c <a <bn8

4、. y =sin(2x+-)的图像经过怎样的平移后所得的图像关于点D. b <c < a(,0)中心对称(12A,向左平移三个单位12C.向右平移二个单位12B.向左平移£个单位6D.向右平移二个单位6致是(1o(D)(C)(B)1, 2, 3, 4, 5的5个红球和5个黑球，从中取出 4个，则取出的编号互不相同的概率为5A.212B.一72x11.已知 Fi(c,0), F2(c,0)为椭圆 丁ab2=1的两个焦点，P为椭圆上一点且 PF1 -PF2 = c2,一、1 x-、9 .已知f(X)是R上的奇函数，且当XA0时，f (X) = (-) +1 ,则f(X)的反函

5、数的图像大f A)10 .有编号分别为( )8D.21则此椭圆的离心率的取值范围是A. 力3 、2C.一,一32、2D-(0,y12 .已知球的直径SC= 4, A, B是该球球面上的两点，AB=J3, /ASC = /BSC = 301则棱锥S-ABC的体积为A. 19B.石C. 273D. 3近二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填在答题卡相应 位置上.13 .已知 |a|=|b|=2 , (a + 2b)(ab) = 2 ,则 a 与 b 的夹角为 .,.1一 ，八二、,cos2：14 .已知 sinot = +cosu ,且 o( w (0,一),则的值为 .22

6、二sin(-)215 .若一个圆的圆心在抛物线 y =Yx的焦点处，且此圆与直线x+y-1 = 0相切，则这个圆 的标准方程是.16 .函数f(x)的定义域为A,若X3X2W A且f(x1)= f(x2)时总有X =刈，则称f(x)为单 函数.例如，函数 f (x) = 2x+1(xw R)是单函数.下列命题：函数f (x) =x2(x W R)是单函数；若 f (x)为单函数，Xi, x2 W A 且 Xi 丰 x2 则 f (Xi) ¥ f (x2)；若f: AT B为单函数，则对于任意 bB,它至多有一个原象；函数f(x)在某区间上具有单调性，则f(x)一定是该区间上的单函数.

7、其中的真命题是 .(写出所有真命题的编号)三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答时应写出文字说明、证明过程.17 .(本小题满分 10分)在 MBC中，角A,B,C所对应的边分别为 a,b,c, a = 2石，A B Ctan+tan =4, 2sin BcosC =sin A,求 A, B及b,c.2218 .本本小题满分12分)如图，已知正三棱柱 ABC - ABiG的各棱长都是4, E是BC的中点，动点F在侧棱CC1上，且不与点C重合.(I)当 CF =1 时，求证：EF _L A1c ；(II)设二面角C -AF -E的大小为0 ,求tan9的最小值.19 .本本小题满分12分)某

8、会议室用5盏灯照明，每盏灯各使用灯泡一只，且型号相同，假定每盏灯能否正常照明只与灯泡的寿命有关，该型号的灯泡寿命为1年以上的概率为 p1 ,寿命为2年以上的概率为 p2,从使用之日起每满1年进行一次灯泡更换工作，只更换已坏的灯泡，平时不换.2只灯泡的概率;(I)在第一次灯泡更换工作中，求不需要更换灯泡的概率和更换(II)在第二次灯泡更换工作中，对其中的某一盏灯来说，求该盏灯需要更换灯泡的概率;(ni)当p1 =0.8, p2 =0.3时，求在第二次灯泡更换工作中，至少需要更换4只灯泡的概率(结果只保留两个有效数字). 1.20 .本本小题满分12分)已知关于x的函数f(x) = x +bx+c

9、x+bc,其导函数f (x).34(I)如果函数 f (x)在x=1处有极值-,试确定b、c的值；3(n)设当xw (0,1)时，函数y = f (x) c(x + b)图象上任一点P处的切线斜率为k,若kwi, 求实数b的取值范围.a 1anan 121 .(本小题满分12分)已知数列an的前n项和为Sn ,若Sn = 2an + n ,且bn =一数列bn的前n项和为Tn.(I)求证：an 1为等比数列;(n)求 Tn.22_ x yE : -2 2" = 1(a>0, b>0)上一点, a bM、N分别是双曲线E的左、右顶点，直线 PM、7 .，1PN的斜率之积为5

10、22 .(本小题满分12分)P(x0,y0)(x0 # ±a)是双曲线(I)求双曲线的离心率;E于A, B两点，O为坐标原点，C(II)过双曲线E的右焦点且斜率为1的直线交双曲线T r T为双曲线上一点，满足 OC =九OA +OB ,求九的值.数学试卷（文）参考答案、1.B 2.、13. 314.3. D 4.C 5.D 6.B 7.C 8.C11422-15.(x 1) y =216.9. A 10. D 11.C 12. B、17.由A B CC Ctan。B+tanC=4得 cotC+tanC=4,C . C cos sin -22.C sin 2cosCsinC 12，又

11、CW(0,n),1二 4.CCsin cos22即 sin(B-C) =0 ,由 2sin BcosC =sin A得 2sin BcosB =sin(B +C),B=C,nB =C = ，A -二-(B C)=6由正弦定理sin A sin B sinCsin B 彳导b = c = asin A1= 2、32 =2.3-218.解法一：过E作EN _L AC于N,连结EF.（I）如图1,连结NF、AG,由直棱柱的性质知,底面ABC，侧面 AC .又底面ABC。侧面A1C =AC,且ENU底面ABC,所以EN _L侧面AC , NF是EF在侧面AC内的射影,在 RUCNE 中，CN =CEc

12、os60, =1，则由 更CC1CNCA1一,得 NF/AC1 , 4又ACi _L A1C ,故NF -L AiC ,由三垂线定理知EF AiC .(II)如图2,连结AF,过N作NM -L AF于M,连结ME,由（I）知EN _L侧面AC ,根据三垂线定理得 EM _L AF ,所以NEMN是二面角CAF E的平面角，即EMN =9 .设 /FAC =a,则0 °<a <45 :在 RtACNE 中，NE = EC sin 60 '=向,在 RT4AMN 中，MN =AN sina=3sinu,故 tanB=-NEMN3sin :又0< ,-, 0 &l

13、t;sin a < ,故当sin a =叵,即当a =45,时，tan6达到最小值,此时F与Ci重合.解法二：（I）建立如图3所示的空间直角坐标系，则由已知可得A(0,0,0),B(23,2,0),C(0,4,0), A(0,0,4), E( . 3,3,0),F(0,4,1),于是羡=(0, -4,4),EF=(-73,1,1).CA EF =(0,4) (J3,1,1)=0 4+4 = 0,故 EF _ AC.(II)设 CF =Z(0<4)平面 AEF 的一个法向量为 m =(x, y,z),则由(I)得 F(0,4,九),AE =(*3,0), AF =(0,4, X),于

14、是由m _L AE,m _L AF可得m AE =0,3x 3y =0,即<m AF =0, 4y z =0.取 m =( .3 1,；,4).又由直三棱柱的性质可取侧面AC1的一个法向量为n =(1,0,0)，于是由日为锐角可得MF16tan -3,sin 二-2. 2 4荆J1由0 九E4,得丁1.至一，即tan日之42 2 4故当九二4,即点F与点C1重合时，tanH取得最小值 5P1 ,需要更换2只灯泡的319.解：（I）在第一次灯泡更换工作中，不需要更换灯泡的概率为概率为 C；Pi3(1 - pi)2.(II)对该盏灯来说，在第一、二次都更换了灯泡的概率为(1-P1)2;在第一

15、次未更换灯泡而在第二次需要更换灯泡的概率为pi(1- P2),故所求概率为P = (1 - Pl)2 + Pl(1 - P2).(m)至少换4只灯泡包括换4只和换5只两种情况.换5只的概率为p5 (其中P为(II)中所求，下同)，换4只的概率为C5p4(1-p),故至少换4只灯泡的概率为 p3 = p5 +c5 p4(i - p).一.、2._2_又当 pi =0.8, p2 =0.3时，p =(1-pi) +pi(1-p2) = 0.2 +0.8M0.7 = 0.6. 54J.p3=0.6 +5x0.6 m0.4%0.34.即满2年至少需要换4只灯泡的概率为0.34.,. . . .2 一2

16、0.解：f'(x) =x +2bx+c4(I)因为函数f (x)在x=1处有极值43f'(1) = -1 2b c=0b =1 - b - -1所以14，解得i 或4.f(1) = -b c bcc = -1c = 333(i)当 b =i,c = _i 时，f'(x) = (x1)2 <0,所以f (x)在R上单调递减，不存在极值.(ii)当 b = 1,c = 3时，f'(x) = (x+3)(x1),xW(3,1)时，f'(x)A0, f(x)单调递增；xW (1,")时，f'(x)<0, f (x)单调递减；所以f

17、(x)在x =1处存在极大值，符合题意.综上所述，满足条件的值为b = -1,c =3.1 o c(n)当 x = (0,1)时，函数 y= f(x)c(x+b) =&x3+bx2, 2_设图象上任意一点 P(x0,y°),则 k=y'|xf = x0+2bx0,x0u (0,1),2因为k Ei,所以对任意x0 = (0,1) , -x0 +2bx0 <1恒成立，一x2 1所以对任意Xo W (0,1),不等式b <一 恒成立.2x0X2 111设g(x) =(x+),故g(x)在区间(0,1)上单调递减,2x2x所以对任意 x°W(0,1),

18、 g(xo) Ag(1)=1，所以 bW1.Sn =2an n,/日21 .解：由士(n 之2),信 an 1 =20,一1),Sn2a.(n-1),又因为 S1 =2a1 +1 ,所以 a = 1 1 = 2#0,所以an -1是以-2为首项，2为公比的等比数歹U,所以 an -1 = -2 2n,=-2n.(II)由(I)知，bn- 2n11(1 -2n)(1 -2n 1) - 2n 1 -1 - 2n -1故 Tn "(12 -122 -1) (22 -1123 -112n -112n 1 -1)-1.222222 .解：丁点 P(x0, y0 )(x0 # ±a)在双曲线 - - 4 = 1 上，空-白=1.2222 一.c =a +b =5b ,则a ba b由题意0- =L 可得a2 -5b2,x° - a x0 a 52« 2 _ «卜2(II)由, ,'得4x2 10cx + 35b2 = 0.y =x -c,+ 5cX +x2 =,设庆汉"。，B(x2, y2),则35bx1 x2 =.L4九 d / xc