等腰三角形(1)

1、北师大版数学八年级下册第一章第 1 节等腰三角形第一课时教学设计课程标准对本节内容的要求与活动建议】探索并证明等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两底角相等；底边上的高线、中线及顶角平分线重合。【 内容与学情分析】在八年级上册第七章平行线的证明 ，学生已经感受了证明的必要性，并通过平行线有关命题的证明过程，习得了一些基本的证明方法和基本规范，积累了一定的证明经验；在七年级下，学生也已经探索得到了有关三角形全等和等腰三角形的有关命题，这些都为证明本节有关命题做了很好的铺垫。本节将进一步利用全等三角形的有关定理、公理证明等腰三角形性质的有关定理，由于具备了上面所说的活动经验和认知基础，本节可以让学生

2、自主地寻求命题的证明。【 教学目标 】1 知识目标：理解作为证明基础的 8 条公理的内容，应用这些公理证明等腰三角形的性质定理；在证明过程中，进一步感受证明过程，掌握推理证明的基本要求，明确条件和结论，能够借助数学符号语言利用综合法证明等腰三角形的性质定理；熟悉证明的基本步骤和书写格式。2能力目标：经历“探索发现猜想证明”的过程，让学生进一步体会证明是探索活动的自然延续和必要发展，发展学生的初步的演绎逻辑推理的能力；鼓励学生在交流探索中发现证明方法的多样性，提高逻辑思维水平；3情感与价值目标启发引导学生体会探索结论和证明结论，及合情推理与演绎的相互依赖和相互补充的辩证关系；培养学生合作交流的能

3、力，以及独立思考的良好学习习惯。引导学生对图形进行观察，激发学生的好奇心和求知欲，并在运用数学知识解答问题的活动中获取成功的体验，建立学习的信心。【 教学重点、难点 】重点：探索证明等腰三角形性质定理的思路与方法，掌握证明的基本要求和方法。难点：明确推理证明的基本要求如明确条件和结论，能否用数学语言正确表达等。【 学习目标 】1、能证明等腰三角形的性质定理。2、会应用等腰三角形的2 个性质，解决简单的问题。3、掌握证明的基本步骤和书写格式。4、能有条理地用严谨的几何语言表达。【评价活动方案】1第四环节：活动 1，证明猜想1 以及活动2，口述证明猜想2 的探究过程中，关注学生能否用多种方法证明，

4、以及严谨书写证明过程，完成猜想1 的证明。能否用有条理的几何语言叙述猜想 2 的证明，以评价目标1。2 第五、 六、 八环节：关注学生应用等腰三角形性质解决问题的完成情况、 熟练度、对题率等以评价目标2。3第四环节的活动1，第六环节的活动2，以及第八环节，关注学生书写证明过程的格式、步骤、规范性、严谨性、正确性，以评价目标 3。4关注第四环节：活动2，口述证明猜想2，以及提问 “三线合一”符号语言与文字语言的转化，和第五环节， “小先生”口述解题过程，以及环节六，各个练习题的口述表达情况，以评价目标4。【教学活动设计】第一环节：创设情境欣赏美丽的建筑，感受等腰三角形在现实生活中的应用，和它的轴

5、对称美问题1:美丽的建筑物中，有你熟悉的几何图形吗？答：等腰三角形。问题2:为什么建筑物中通常设计有等腰三角形？答：因为等腰三角形具有三角形的稳定性，使建筑物坚固。具有轴对称性，有 对称美，使建筑物更美观。活动目的：数学来源于生活，通过欣赏美丽的建筑，引导学生从生活出发，体会数 学与生活的联系，体会等腰三角形的重要性和在生活中的广泛应用，为引入新课做 好准备。感受到等腰三角形是轴对称图形欣赏它的对称美,为以下各个环.节，亲自动手做一个等腰三角形、探究等腰三角形的性质：做好理论铺垫。通过亲身经历 提炼有关数学信息的过程，可以让学生在直观有趣的问题情境中学到有价值的数学。 充分利用现代化教学手段加

6、强直观教学，引起学生学习的兴趣：通过师生互动，生 生互动，增加学生之间的凝聚力，激发学生学习积极性，提高学课堂效率。活动注意事项：欣赏美丽的建筑，抽象出熟悉的几何图形等腰三角形。感受等腰 三角形的轴对称性，特别重要。等腰三角形的轴对称性是本节课各个环节，亲自动手做一个等腰三角形、探究等腰三角形的性质的理论基础。在这一环节中，应让学 生充分感受等腰三角形的轴对称美，教师充分强调它的轴对称性。第二环节：动手做一做，剪出一个等腰三角形形。请同学们根据等腰三角形是个轴对称图形，动手做一做，剪出一个等腰三角活动目的：通过学生自己动手剪出一个等腰三角形，加深对等腰三角形轴对称性的 体会。并且体会到等腰三角

7、形沿对称轴对折后，两侧能够完全重合。为探究等腰三 : (lananma !( 角形的2条性质，做好感知铺垫。并且通过两侧完全重合，启发学生从全等的角度, 去探究证明接下来要学习的性质。活动注意事项：注意提示学生，动手剪出等腰三角形的依据：等腰三角形是轴对称 图形。留心观察每位同学的操作，给予必要提示。通过剪一剪的活动，使获取成功 的体验，建立学习的信心，给予充分表扬鼓励。第三环节：观察实验请将自己手中的等腰三角形沿折痕对折1、观察你制作的等腰三角形，具有什么特征？你能得到那些相等的量?2、小组成员回交流白U的发现.并总结概括出等腰三角形的特征。答： AB=AC /B=/ C BD=CD / 1

8、=/ 2 2ADBW ADC=90活动目的：启发学生小组交流讨论，观察沿折痕对折时，重合的量，区从而发现，五组等量关系。这五组重合而得的等量的前两组AB=AC/ B=/ C为 猜想、证明等腰三角形性质1 （等边对等角）提供感知与证明依据。这五组重合而得 的等量的后三组 BD=CD/1=/ 2 /ADBW ADC=90为猜想、证明等腰三角 形性质2 （等三线合一）提供感知与证明依据。活动注意事项：采用小组讨论的形式，让学生的思想充分交流，认知更加完整。必 需提供给学生，上讲台展示自己组发现的等量关系的机会，并且让学生充分展示他们是如何通过折纸操作，得到 5组等量的。在他们的演示与语言叙述中，更加

9、深了 他们对轴对称，以及所得5组等量的理解。给学生提供充分展示自己思维的机会。第四环节：观察、发现、提出猜想，并证明猜想的正确性，得到等腰三角形性质。活动1：观察、提出猜想1等腰三角形的两个底角相等。并小组讨论交流证明该命题的正确性，得到等腰三角形性质1。问：看5组等量，第1组等量反应等腰三角形什么特性？答：两腰相等。问：第2组量反应等腰三角形什么特性？答：两底角相等。问：因此，我们可以得到怎样一个猜想？答：猜想1等腰三角形的两个底角相等。问：我们猜想得到一个命题，下一步该做什么？答：证明命题是否正确。问：谁能说一下，证明一个命题的步骤是什么？答：第一步，找出命题的题设和结论。第二步，把题设写

10、成已知，把结论写成求证。 第三步是严谨的证明问：这个命题的题设是什么？答：等腰三角形问：结论是什么？答：两个底角相等问：请你说出已知和求证。答：已知:AB=AC求证：/ B=/ C问：在完成第三步一严谨证明之前。首先，回顾一下证明2个角相等的方法有哪些? 答：通常有三种方法：方法一，利用同角或等角的余角相等，同角或等角的补角相 等，证明。方法二，找出或构造平行线，利用两直线平行同位角相等或内错角相等， 证明。方法三，找出或构造全等三角形，利用全等三角形的对应角相等，证明。接下来，每个小组根据回顾的的证明 2个角相等的方法？交流讨论猜想1的证明 尽可能找出更多的证明方法。特别，给大家提示，必要时

11、，添加辅助线！添加辅助 !» ma ! 1 !， H iaIIIIai，4BIIMI （ MW ! HM « : ! 1线时，要考虑等腰三角形的轴对称性、考虑到对称轴 ！我们来交流。展示一下各小组证明方法：（小组代表，板书证明过程）（法一）已知；AB 二 ACA求证:证明作BC的中点D,连结AD.VAB=AC> BD=CD, AD=AD.A AABD AACD （SSS）AZB=ZC （全等三角形的对应角相等），（法二）AZB=ZC （全等三角形的对应角相等）。（法三）已知:AB=AC求证:/B=/C证明:过点A作AD_LBC交8C于点D在RtZkABD和Rt AAC

12、D43,VAB=AC,AD=ADA AABDAACD (HL)AZB=ZC （全等三角形的对应角相等） 口我们得到，等腰三角形性质定理1性质定理 1 等腰三角形的两个底角相等。（简称“等边对等角” ）问：谁能用符号语言描述定理1？答：符号语言：: A氏AC （已知）. ZB= CC （等边对等角）活动目的 ：通过观察活动，以及小组讨论交流，获得有关等腰三角形性质命题的证明思路，并通过进一步的整理，再次感受证明是探索的自然延伸和发展，熟悉证明的基本步骤和书写格式。活动注意事项 ：由于有了教师引导下学生的活动，以及具体的折纸观察操作，学生一般都能猜想到有关等腰三角形的性质命题，证明得到的命题是否正

13、确，这一环节，有些同学可能没有思路、方法。在学生小组的交流中，通过同伴的互相提示、补充，一般都可以完成证明。当然，在教学过程中，教师应注意小组的巡视，提醒学生思考多种证明思路，思考不同的辅助线之间的关系，探究多种证明方法，通过严谨的证明，认识等腰三角形性质定理1。活动 2：观察、提出 猜想 2 等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。并口述证明该命题的正确性，得到等腰三角形性质 2 。问：大家看5组等量，第3组等量反应AD是什么特殊线段？ 答：等腰三角形底边中线。问：第4组等量反应AD是什么特殊线段？答：等腰三角形顶角平分线。问：第5组等量反应AD是什么特殊线段？答：等腰三角

14、形底边上的高。问：因此，我们可以得到怎样一个猜想？猜想2：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。问：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合？（教师点拨） 答：可以如此理解： 1. 已知一条线段是等腰三角形底边上的中线，可得它也是底边上的高，顶角的平分线。2.已知一条线段是等腰三角形底边上的高，可得它也是底边上的中线，顶角的平分线。3.已知一条线段是等腰三角形顶角的平分线，可得它也是底边上的中线，底边上的高。问：下面，对比猜想1的3种证明方法，那位同学能口述一下猜想 2的证明？请一位同学到讲台口述证明过程。通过证明，我们得到等腰三角形性质定理2:等腰三角形的

15、顶角平分线，底边上的中线，底边上的高互符号语言填空:相重合。（简称“三线合一”）ABC中，AB=ACL 若 AD 1BC,贝j|BD = DC , Z_L=Z_2o2 .若 BD=DC,则胆，皿，ZlZ2_o3 .若= Z2,贝J BD= DC , AD1BC o问：把第（1）条转换成文字语言是：答：已知AD是等腰三角形底边上的高，则它也是底边上的中线，顶角的平分线。问：把第（2）条转换成文字语言是：答：已知AD是等腰三角形底边上的中线，则它也是底边上的高，顶角的平分线。问：把第（3）条转换成文字语言是：答：已知AD是是等腰三角形顶角的平分线，则它也是底边上的中线，底边上的高。问：不错，大家已

16、经理解了 “三线合一”。下面我口述一个命题，大家判断正确吗？等腰三角形的高、中线、角平分线，三线合一。问：不对！谁能举个反例？答：等腰三角形ABC中，底角/ B的角平分线BD,月SAC上的中线BE,腰AC上的高BF,这三条线段：BD BE BF,就不重合。问：因此，你想提醒大家什么？答：“三线合一”应该是等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线和底边上的高互相重合。活动目的：通过观察五组等量的后三条等量关系，得出“三线合一”的猜想。仿照猜想1的多种证明方法，启发学生口述猜想 2的证明方法，以发展学生有条理地用严谨的几何语言表达的能力。以填空题的形式完成等腰三角形性质定理2的符号表 ( : ( IB

17、 ( ( Bl MBBiatB « tB air >3 IB ! : 达，使同学们更加乐于思考。对于探究性质定理2的三种符号表达的同时，提问相 (iiBBnaiBBiaBBnnBnaBnBiBBamB n 0 ！ h a : « )!: (a n ai > ai n应的三种文字语言表达？有效锻炼了符号语言与文字语言的转化。活动注意事项：口述猜想2的证明对学生而言，是一项巨大的挑战。学生的几何语 言表达能力还在发展完善的过程中，有时候表达的不够严谨、不够完善，都是在情 理当中，教师应予以足够的耐心指导，给予充分的鼓励。第五环节：学以致用等腰三角形的性质，大家学习得

18、非常棒！下面看看大家会用性质解决问题吗？如图,厂房屋顶钢架外框是等腰三角形,其中AB=AC,立柱 ADL BC.已知 / B=30° , BC=6m,BDC那么：/ BAC= ,BD= 请小组讨论交流，解决问题。问：哪位同学当小先生，讲台上讲解解决问题的步骤？答：v AB=AC, ADI BC.在 R3 ADB中，/ BAD=90 - / B=90° -30 ° =60°. AB=AC, ADL BC. / BAC=Z BAD=2 "f二口(是底边上的高，也是顶角平分线). AB=AC, ADL BC.1 1 ,.BD=BC=X6=3(米)(是

19、底边上的高，也是底边上的中线)2 2活动目的：以小组讨论交流的形式，完成“学以致用”，以便于刚学会的性质在应用 时，少数同学能力不足，可以在小组交流的同时，得到启发和帮助，得以学会知识 的运用。另外，请一位同学当小老师，讲解解题过程。既锻炼了该学生的几何语言 表达能力，又引起其他听众的兴趣。活动注意事项：“小老师”在讲解时，未必每人都能听懂。教师此时可以以提问“小老师”两个问题的形式，把重点的性质用在一问一答中加以强调指明。第六环节：以“比一比”的形式，完成随堂练习，巩固新知活动1:比速度，看谁抢答，又对又快！1、 等腰 ABC勺两条边长分别为3和4,则 ABC勺周长=.2、等腰ABC勺两条边

20、长分别为3和7,则 ABC的周长=.问：你能说说以上两个题区别吗？答：已知两条边长度，求等腰三角形周长，第一步分两种情况讨论，第二步判断两 种情况是否都满足三角形三边关系定理，如果都满足，则有2个答案；如果只有一种满足，则1个答案。3 .一个等腰三角形的顶角为100° ,底角度数为 .4 .一个等腰三角形的一个角为 40° ,则顶角度数为 .问：你能说说以上两个题区别吗？答：钝角只能作等腰三角形的顶角，锐角既可以作等腰三角形的顶角，也可以作等 腰三角形的底角。5 .在ABCK 若 AB=AC / B=/ A,贝叱 C= .问：你能说说解决这个题的关键是什么？答：由等边AB=

21、AC得等角/ B=/ C.注意等边对等角这个定理使用时的对应龙系上 活动目的：以比速度，抢答方式，完成比较简单的一组练习。消除了同学们的疲劳， 引起积极的学习兴趣。在相应的对比练习之后设问，使学生清晰对比出一类问题的 处理方法，以及区别之处，达到方法总结的目的。活动注意事项：在相应的每道抢答题后面，应该留出一定的思考时间。或上课之前， 布置成预习作业，课堂提问检查完成。活动2:比一比，看谁本领大'J1大家的速度快的惊人，接下来比比谁的本领大吧！如图，在ABCt, AB=AC点D是BC边上的中点，DE DF J 分别垂直AB AC于点E和F.B D C求证：DE=DF.（.请大家独立思考

22、完成?）请两位同学板书不同的证明方法，发展学生的发散思维（法一）iiE明：:DF_LAC （已知）.ZBED = ZCFD又是BC中点（已知）ABb = bCVAB=AC （已知 E1/B=/C （等边对等角）在DBE与ADCF中ZDEB = ZDFC （已证）ZB=ZC （己证）BD=DC （已证）二 ABDE 义 ACDF （其A5）二 DE = DF（法二）方法二连.。BD=DC （已知）.MD是的平分线.（等腰三角形三线合一）又：DE_LAB DF_LACADE = bF（角平分线上的点到这个角的两边距离相等）活动目的：设计该练习题，保证了学生有梯度的练习。为满足学生学习的不同需求,

23、在都能获得必要发展的前提下，真正做到“不同的人在数学上得到不同的发展”， 增强学生应用知识的能力。两位同学板书不同的解决问题的方法，在给其他同学提 示的同时，发展了学生的发散思维。活动注意事项：要求该练习题必须以学生独立思考为前提，之后，比本领，自主到 讲台讲解，并板书。注意学生严谨的几何语言的表达，以及规范的证明书写。第七环节：学有所思首先，请每个小组交流讨论总结一下这堂课，谈谈你的收获，从知识收获与方法收 获两方面畅所欲言。接着，请几个组代表发言，谈谈自己组的收获。以小组发言的形式，向大家展示：知识收获:应用方法收获:探索一 发现一 猜想一 证明一应用之后，教师总结本节课知识图，与探究学习

24、数学的方法过程图课堂小结的最后，教师再次强调作为证明基础的8个基本事实，希望大家要牢记！ ! （ n tB IB 1 B B IB IB la IBtBVaiBBnUBUHIBnmBBMtBBMBBBn ! 1 .两点确定一条直线；2 .两点之间线段最短；3 .同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直4 .两直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行；5 .两条平行线被第三条直线所截,同位角相等；6 .两边夹角对应相等的两个三角形全等（SAS;7 .两角及其夹边对应相等的两个三角形全等（ASA;8 .三边对应相等的两个三角形全等（SSS ;活动目的：以小组交流讨论的形式总

25、结一下这堂课，从知识收获与方法收获两方面畅所欲言，谈收获。使学生在知识内容与探究学习数学知识的方法过程2个层面，都有所体会、心得。培养学生总结归纳的习惯，提高学生自主建构知识网络，分析、解决问题的能力，达到触类旁通。最后教师再次强调生记作为证明.基础的8仝基本事实，一为证明“掌握好强有力的依据.2.活动注意事项：教师注意在知识内容与探究学习数学知识的方法、过程，2个方面的点拨。为巩固证明基础的8个基本事实）可以布置记忆作业，希望更进一步熟记。 ! HIBH a tn» H IB H n ! ! »第八环节：当堂检测1.1等腰三角形（1）当堂评测练习一、选择题：（在每个小题所

26、列的四个选项中，只有一项是最符合题意的，请将所选 选项前面的字母标号填在题后的括号内）1 .如图，在 ABC, AB=AC过点A作AD/ BG若/ 1=70° ,贝叱BAC的大小为（2 .已知等腰三角形的一个角为72。，则其顶角为（）/A. 36°B. 45°C. 60° D. 72° 或 36°二-3 .等腰三角形的一边为3,另一边为8,则这个三角形的周长为（）A. 14 B. 19 C. 11 D. 14 或 19二、填空题：4 .如图，AB/ CE BF交CE于点D, DE=DF / F=20° ,则/ B的度数为第4

27、题图三、证明题:5 .已知:AB=AC,BD=DE.求证:DE/ AC.活动目的：检测学生知识技能的掌握情况，学习目标的完成情况。活动注意事项：小组成员互相批改、纠错订正。小组长统计完成情况、评价组员 教师评价小组。实现评价方式多样化。第九环节：布置作业1、基础巩固：课本第4页习题1.12、提高能力：用三种方法证明等腰三角形的性质“三线合一”。3、熟背作为证明基础的8个基本事实。4、（选作）动手做一做：墙上钉了一根木条，小明想检验这根木条是否水平.他拿 来一个如图所示的测平仪，在这个测平仪中，A AQ BC边的中点D处挂了一个重 锤.小明将BC边与木条重合，观察此时重锤是否通过 A点.如果重锤

28、过A点，那么 这根木条就是水平的.你能说明其中的道理吗 ？活动目的：尊重学生个体存在差异的客观事实，让不同的学生获得不同的发展。所 以作业的设计分层要求。有助于培养学生的数学应用意识，让学生感悟数学来源于 生活应用于生活，激发学生学习的热情。第十环节：教师寄语在数学的天地里，重要的不是我们知道什么，而是我们怎么知道什么。毕达哥拉斯活动目的：把毕达哥拉斯的名言送给学生作为指路明灯，希望大家在注重知识学习 的同时，更要注重获取知识的方法学习，以及过程体会。【教学反思】与学生探究学习完等腰三角形（1）这节课，我的最大体会是教学活动必须 要给学生提供探索交流、操作、思考的空间和时间，教会学生如何探究获

29、取知识的 方法、途径和过程体验，远比学习知识本身更重要。一、结合实际生活教学，激发学生的学习兴趣数学源于生活，生活中到处蕴含着数学问题。“开门见山，直入课题”，我首先让学生欣赏美丽的建筑，在生活实际中找出等腰三角形，同学们一下子进入学习 的状态，在这种轻松愉快的气氛中开始了一堂课的探究。与之相呼应的是，在课的 最后，留给学生的思考作业：关于“三线合一”在生活实际中的应用原理，更是让学生有一种意犹未尽的感觉。二、组织实践操作活动，激励学生的探索精神本节课以“等腰三角形”为主线索，用“动手”贯穿整堂课。首先，就让学生动手剪出一个等腰三角形。接着，请学生做观察实验，在学生动手折纸、动眼观察、动脑思考

30、等一系列实践活动中，学生就会发现：哦，原来等腰三角形是一个轴对称图形，对称轴就AD所在的直线，而后就能很顺利地探索出五组等量关系，猜想出“等边对等角” 、 “三线合一”这两个命题了。这样的实践活动，确实进一步增强了学生对数学知识的体验和感知，有效地激励了学生的探索精神。三、创造情感体验的机会，激活学生的思维空间数学教学中，我们不应只考虑学生应该学习什么，而应更多考虑，学生需要什么样的数学，需要怎样的数学活动方式。惟有如此，学生在数学学习中才会产生积极的数学学习情感体验，才能激活学生的思维空间，产生强大的后续学习的动力。在本节课堂上，我注意给学生创造情感体验的机会：在数学实验中，体验到了学习数学的乐趣；在独立思考中，体验了到数学科学的奥妙；在合作交流中，体验到了同学之间的友谊；在尝试完成例题中，体验到了成功的喜悦；在巩固练习中，体验到了数学的价值；在课堂小结中，体验到了学习数学无止境四、创设感悟情境，拓展感悟空间，提高学生触及数学本质的能力教的真谛在于“导” ，学的成功在于“悟” 。不通过感悟的数学知识对学生来讲是没有意义的，只有将数学知识内化成为学生自己的认知结构，并使其有所体悟，这样的数学知识对学生来讲才是有实在