[高二]第十三届希望杯全国数学邀请赛试题

1、第十三届“希望杯”全国数学邀请赛高二 第一试一、选择题（以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母填在每题后面的圆括号内）1、已知关于x的方程x2-4x+a=0和x2-4x+b=0 (a,bR,ab)的四个根组成首项为1的等差数列，则a+b的值等于( )A.2 B.-2 C. 4 D. 42、函数y=g(x)的图象与y=f(x)=arccos(x-1)图象关于原点对称，则y=g(x)解析式是（ ）A.arccos(x+1)- B.arccos(x+1)+C.-arccos(x+1) D.-arccos(x+1)3.在以下关于向量的命题中，不正确的命题是（）A.若向量，向

2、量，则 B.四边形ABCD是菱形的充要条件是且 C.若点G是ABC的重心，则 D. ABC中，的夹角等于180°-A4.某个命题与自然数n有关.如果当n=k(kN)时,该命题成立,m则可推出n=k+1时该命题也成立。现已知当n10时该命题不成立，那么可推得( )A. 当n=11时,该命题不成立. B.当n=11时,该命题成立C. 当n=9时,该命题不成立 D.当n=9时, 该命题成立5.如图1,设ABC-A1B1C1是直三棱柱,AB=AC,BAC=90°,M,Q分别是CC1、BC的中点，P点在A1B1上且A1P:PB1=1:2. 如果AA1=AB,则AM与PQ所成的角等于(

3、 )A.90° B. C. 60° D. 30°6Let functions attain the equal minimum at the same point of the interval 1,2,Then minimum of p2-6q is ( ) A. -9 B. -8 C. not existing D. undetermined.7.函数的值域是 ( ) A. B. C. D. 8.等差数列中，已知3a5=7a10,且a1<0,则前几项和S n(nN)中最小的是( )A. S 7或S 8 B. S 12 C. S 13 D. S 159在直

4、角坐标平面内，A点在(4，0)，B点在圆(x-2)2+y2=1上，以AB为边作正三角形ABC(A、B、C按顺时针排列)，则顶点C的轨迹是 ( )A. 圆 B. 椭圆 C. 抛物线 D. 双曲线的一支10过椭圆的一个焦点F作与椭圆长轴的夹角为的直线，交椭圆于A、B两点。若，那么椭圆的离心率等于( )A. B. C. D. 二、A组填空题11当时，和的大小关系是 12凸四边形ABCD中，DCAB，AD=BC=CD=1，AB=2。以它的一边为轴旋转，所得旋转体的体积最大可达到 13记号x表示不超过x的最大整数，则方程的解是 14已知两个等差数列和的前n项和S n，T n的比。用n表示，则 15使为纯

5、虚数的正整数n的最小值等于 16为使函数的值恒为正，则参数在区间(0，)上的取值范围是 17已知函数满足f(-1)>0，且方程f(x)=0有三个根0、1、2，那么c的取值范围是 18抛物线和x轴交于A、B两点，动圆M过点A、B且和y轴切于点C，O是原点，则的取值范围是 19从点P(2a,0)看椭圆上两点，最大的视角为2，则的值等于 20There are two travel projects from Beijing to Santiago, Chile: (A) Flying westward (向西) to New York, then flying southward to Sa

6、ntiago; (B) Flying southward from Beijing to Friemander, Australia, then flying westward to Santiago. The geographic positions of these four cities may be approximately considered as: Beijing (120°east longitude, 40°north latitude), New York(70°east longitude, 40°north latitude),

7、 Friemander(120°east longitude, 30°north latitude), Santiago(70°east longitude, 30°north latitude), Suppose that the air lines go along the spherical distance, then the projest of the shorter distance is 三、B组填空题21若方程有三个不相等的实数根，则a= 22已知点A(3，1)，点M，N分别在直线y=x和y=0上，当AMN的周长最小时，点M的坐标是 ，

8、点N的坐标是 23数列满足递推关系，且首项a1=5，则通项公式an= = 24若a-1，则不等式的解是 25某工厂安排甲、乙两种产品的生产。已知每生产1吨甲产品需要原材料A、B、C、D的数量分别是1吨、2吨、2吨、7吨；每生产1吨乙产品需要原材料A、B、D的数量分别是1吨、4吨、1吨。由于原材料的限制，每个生产周期只能供应A、B、C、D四种原料分别为80吨、80吨、60吨、70吨。若甲、乙产品每吨的利润分别为2百万元和3百万元。要想获得最大的利润，应该在每个生产周期安排生产甲产品 吨，期望的最大利润是 百万元。答 案一、选择题 1、B 2、A 3、C 4、C 5、A 6、B 7、B 8、C 9

9、、A 10、D二、A组填空题 11、p>q 12、 13、4，5 14、 15、3 16、 17、(-，0) 18、(0，2) 19、 20、(A)三、B组填空题 21、 22、 23、 24、 25、 第十三届“希望怀”全国数学邀请赛第2试试题(高二)2002年4月21日 上午8：30至10：30高中二年级 (适用新教材)一. 选择题（以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的） 1. 设x，y满足，则的取值范围是（ ） A. ，B. ，6 C. 6，8D. 6， 2. 方程的实根分别为，则等于（ ） A. B. C. D. 1 3. 函数的值域是（ ） A. （B. （ C. ）D. ）

10、 4. 四面体ABCD的各面都是锐角三角形，且， 。平面分别截棱AB、BC、CD、DA于点P、Q、R、S，则四边形PQRS的周长的最小值是（ ） A. 2a B. 2b C. 2c D. 5. 从空间一点引三条不共面的射线，则以每条射线为棱的三个二面角的和的取值范围是（ ） A. （）B. （） C. （）D. （） 6. 已知椭圆上有三点（，）（1，2，3），它们到同一个焦点的距离分别是，则，成等差数列的充要条件是（ ） A. ，成等差数列 B. ，成等差数列 C. 上述（A）、（B）同时成立 D. （A）、（B）以外的条件 7. 若不等式对所有正实数a，b都成立，则m的最小值是（ ） A.

11、 2 B. C. D. 4 8. 不等式的解集是（ ） A. B. ， C. （， D. ， 9. 将3个半径为1的球和一个半径为的球叠为两层放在桌面上，上层只放一个较小的球，四个球两两相切，那么上层小球的最高点到桌面的距离是（ ） A. B. C. D. 10. Given two sequences 、 with positive terms, let be arithmetic with the common difference ，let be the length of the line segment cut by the parabola （）from the . Then （

12、） （英汉小字典：common difference 公差；parabola抛物线；：轴） A. B. C. D. 二. 填空题 11. 已知是区间，2上的增函数，且，若对所有的，2和，1恒成立，则实数m的取值范围是_。 12. 已知方程在上有两个根，则_。 13. 设分别是方程在区间（0，）上的解，则它们的大小关系是_。 14. 已知均为锐角，且，则的最大值等于_。 15. 已知定直线上有三点A，B，C，。动圆O恒与相切于点B，则过A、C且都与O相切的直线、的交点P的轨迹是_。 16. 复数z满足条件，则的取值范围是_。 17. 抛物线系在平面上不经过的区域是_，其面积等于_。 18. Gi

13、ven the function and 。If there must exist at least one real number c such that . Then the range of p is _。 19. 在四面体ABCD中，面BAC、CAD、DAB都是以A为顶点的等腰直角三角形，且腰长为a。过D作截面DEF交面ABC于EF，若，且将四面体的体积二等分，则面DEF与面BCD的夹角等于_。 20. 长为（）的线段AB的两端在抛物线上滑动，则线段AB的中点M到x轴的最短距离等于_。三. 解答题 21. 从半径为1的圆铁片中去掉一个半径为1、圆心角为x的扇形，将余下的部分卷成无盖圆锥

14、。 （1）用x表示圆锥的体积V； （2）求V的最大值。 22. 已知抛物线的焦点为F，以点A（，0）为圆心，为半径的圆在x轴的上方与抛物线交于M、N两点。 （1）求证：点A在以M、N为焦点，且过F的椭圆上。 （2）设点P为MN的中点，是否存在这样的a，使得的等差中项？如果存在，求a的值；如果不存在，说明理由。 23. 用水清洗一堆水果上残存的农药，假定用1个单位的水可清洗掉水果上残存农药量的50%。用水越多，清洗越干净，但总还有极少量农药残存在水果上。设用x个单位的水清洗一次水果后，残存的农药量与本次清洗前残存的农药量之比记为函数。 （1）请规定的值，并说明其实际意义。 （2）写出满足的条件和

15、具有的性质。 （3）设，现有个单位的水，可以清洗一次，也可以把水等分成2份后清洗两次，说明哪种方案能使水果上残存的农药量较少。 参考答案： 1. D2. A3. D4. B5. C 6. B7. C8. A9. A10. A 11. 12. 13. 14. 15. 去掉两个顶点的双曲线 16. 17. ； 18. （）19. 20. 21. （1）设卷成的无盖圆锥体的底面半径为r，高为h， 则有 ， 其中 ， 所以 所以 所以，（） （2）由（1）知， 其中：当，即时， 也即 时，V取得最大值， 所以 V的最大值为 22. （1）因为 点A的坐标为（，0），抛物线的焦点为F（a，0），准线为， 所以 所以 以A为圆心，|FA| 为半径的圆在x轴的上方的方程为 ，（） 由 得 设M（），N（）（其中：()均为正数），则有 又 抛物线上的点到焦点与准线的距离相等 所以 因为点F、M、N均在A上， 所以， 因为，且 所以点A在以M、N为焦点且过F的椭圆上 （2）假设存在满足条件的a，则有 ，即 设点P的坐标为（），则有 由，得 化简，得 所以，与矛盾 故不存在满足条件的，即不存在值，使得点P为MN的中点，且|FP|是|FM|与|FN|的等差中项。 23. （1）设，表示未清洗时水果上残留的农药量。 （2）满足： ， 具有的性质： 在，）上单调递减，且