【金学案】高中数学（北师大版选修12精品学案第三章 推理与证明 章末小结

1、第三章章末小结问题1:推理一般包括合情推理和演绎推理,它们都是日常学习和生活中经常应用的思维方法,合情推理包括归纳推理和类比推理,具有猜测和发现新结论、探索和提供解决问题的思路和方向的作用;演绎推理则具有证明结论,整理和构建知识体系的作用,是公理体系中的基本推理方法. 问题2:三段论是演绎推理的主要形式,三段论的公式包括三个判断:第一个判断是大前提,它提供了一个一般性的原理;第二个判断是小前提,它指出了一种特殊情况,这两个判断联合起来,提示了一般原理和特殊情况的内在联系,从而产生了第三个判断结论. 问题3:分析法和综合法是直接证明中最基本的两种证明方法,也是解决数学问题时常

2、用的思维方式;反证法是间接证明的一种基本方法,也是解决某些“疑难”问题的有力工具. 问题4:解答证明题时,要注意是采用直接证明还是间接证明.直接证明时,综合法和分析法往往可以结合起来使用.综合法的使用是“由因索果”,分析法证明问题是“执果索因”,它们是两种思路截然相反的证明方法,分析法便于寻找解题思路,而综合法便于叙述,因此往往联合使用.分析法要注意叙述的形式:要证A,只要证明B,B应是A成立的充分条件. 题型1:与数列结合的推理问题在数列an中,a1=1,an+1=,nN+,猜想这个数列的通项公式是什么?这个猜想正确吗?说明理由.【方法指导】先写出数列的前几项,寻找项与项

3、数之间的关系,再作出猜想,最后证明.【解析】在数列an中,a1=1,a2=,a3=,a4=,所以猜想an的通项公式an=.这个猜想是正确的.证明如下:因为a1=1,an+1=,所以=+,即-=,所以数列是以=1为首项,为公差的等差数列,所以=1+(n-1)=n+,所以数列an的通项公式an=.【小结】归纳推理的常见形式:一是“具有共同特征型”,二是“递推型”,三是“循环型”(周期性),本题是根据数列的前几项,猜测数列的通项公式,属于第一类型;这种猜测不一定正确,需进一步证明.题型2:与立体几何结合的推理问题在ABC中,若C=90°,AC=b,BC=a,则ABC的外接圆半径r=,把上面

4、的结论推广到空间,写出相类似的结论.【方法指导】得出类比结论四面体与三角形对应立体几何中的平面与平面几何中的直线对应寻找类比对象【解析】取空间中有三条侧棱两两垂直的四面体A-BCD,且AB=a,AC=b,AD=c,可以将四面体补成一个长方体,则对角线长即为外接球的直径,即2R=,即R=,则此三棱锥的外接球的半径R=.【小结】此题考查的是平面到空间的类比推广.解答这类题目不能只满足结论形式上的相似,还必须是真命题,结论的推导还是要从平面结论下手,一般在推导空间的结论时要用到平面的结论,或利用类似平面结论推导的方法,如等面积类比等体积,直线类比平面,等等.题型3:与三角结合的证明问题证明:=-.【

5、方法指导】要证明=成立,可证AD=BC,因此在证明本题时,可以先将右侧进行通分,然后证明其对应的“AD=BC”成立.【解析】(法一)分析法要证原式成立,即证=成立;(1)当cos=sin时,上式显然成立,故原式成立;(2)当cossin时,即证2(1+sin)(1+cos)=(1+sin+cos)2,即证2+2sin+2cos+2sincos=1+sin2+cos2+2sin+2cos+2sincos,即证1=sin2+cos2成立,显然成立,故原式成立.(法二)综合法1=sin2+cos2,2+2sin+2cos+2sincos=1+sin2+cos2+2sin+2cos+2sincos,2

6、(1+sin)(1+cos)=(1+sin+cos)2,=,故原式成立.【小结】方法一用了分析法,思路清晰、简洁;方法二利用的是综合法,它建立在方法一的基础上,描述简洁.题型4:用反证法证明问题用反证法证明:若函数f(x)在区间a,b上是增函数,那么方程f(x)=0在区间a,b上至多只有一个实数根.【方法指导】得出正确结论化简推出矛盾假设结论不成立用反证法证明【解析】假设方程f(x)=0在区间a,b上至少有两个根,设,为其中的两个实根,因为,不妨设>,又因为函数f(x)在区间a,b上是增函数,所以f()>f().这与假设f()=f()=0矛盾,所以方程f(x)=0在区间a,b上至多

7、只有一个实数根.【小结】(1)当遇到否定性、唯一性、无限性、至多、至少等类型问题时,常用反证法.(2)用反证法证明的步骤:否定结论ABC.而C不合理因此结论成立.1.(2022年·全国卷)正方形ABCD的边长为1,点E在边AB上,点F在边BC上,AE=BF=.动点P从E出发沿直线向F运动,每当碰到正方形的边时反弹,反弹时反射角等于入射角,当点P第一次碰到E时,P与正方形的边碰撞的次数为().A.8B.6C.4D.3【解析】结合已知中的点E,F的位置,进行推理可知在反射的过程中,直线是平行的,那么利用平行关系,作图(如下),可以得到回到E点时,需要碰撞6次即可.【答案】B2.(2022

8、年·湖北卷)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数,如三角形数1,3,6,10,第n个三角形数为=n2+n.记第n个k边形数为N(n,k)(k3),以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式:三角形数N(n,3)=n2+n,正方形数N(n,4)=n2,五边形数N(n,5)=n2-n,六边形数N(n,6)=2n2-n,可以推测N(n,k)的表达式,由此计算N(10,24)=. 【解析】首先将三、四、五、六边形数中第n个数的表达式分别通分,化成分母统一为2的形式如下:三角形数:N(n,3)=n2+n=,正方形数:N(n,4)=n2=,五边形数:N(n,5)=-n=,六边形

9、数:N(n,6)=2n2-n=,根据以上规律总结,推测:N(n,k)=.故N(10,24)=1000.【答案】1000一、选择题1.下面几种推理是合情推理的是().由正三角形的性质类比出正三棱锥的有关性质;由正方形、矩形的内角和是360°,归纳出所有四边形的内角和都是360°三角形内角和是180°,四边形内角和是360°,五边形内角和是540°,由此得出凸n边形内角和是(n-2)·180°小李某次数学模块考试成绩是90分,由此推出小李的全班同学这次数学模块考试的成绩都是90分.A.B.C.D.【解析】本题主要考查对合情推理(

10、归纳推、类比推理)的判断.是类比推理,是归纳推理,故选B.【答案】B2.下图是今年元宵花灯展中一款五角星灯连续旋转闪烁所成的三个图形,照引规律闪烁,下一个呈现出来的图形是().【解析】本题考查学生对图形变化规律的归纳,由图可知该五角星对角上亮的两盏花灯依次按逆时针方向亮一盏,故下一个呈现出来的图形是A中所示的图形,故选A.【答案】A3.在证明命题“对于任意角,cos4-sin4=cos 2”的过程:“cos4-sin4=(cos2+sin2)(cos2-sin2)=cos2-sin2=cos 2”中应用了().A.分析法B.综合法C.分析法和综合法D.间接证法【答案】B4.已知a,b,cR,a

11、+b+c=0,abc>0,T=+,则().A.T>0B.T<0C.T=0D.无法判断T的正负【解析】a+b+c=0,(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac=0,即2ab+2bc+2ac=-(a2+b2+c2)<0,abc>0,上述不等式两边同乘以,得T=+=-<0,故选B.【答案】B5.论语·学路篇中说:“名不正,则言不顺;言不顺,则事不成;事不成,则礼乐不兴;礼乐不兴,则刑罚不中;刑罚不中,则民无所措手足.”所以,名不正,则民无所措手足.上述推理用的是().A.类比推理B.归纳推理C.演绎推理D.一次三段论【解析】本题考查应用

12、三段论解决问题.对于复杂的论证,总是采用一连串的三段论,把前一个三段论的结论作为下一个三段论的前提.本题是一个复合三段论,从“名不正”推出“民无所措手足”,连续运用五次三段论,属演绎推理形式,故选C.【答案】C6.若f(n)=1+(nN+),则当n=2时,f(n)=().A.1+B.C.1+D.以上答案均不对【解析】当n=2时,2n+1=5,所以加到.【答案】C7.某纺织厂的一个车间有技术工人m(mN+)名,编号分别为1、2、3、m,有n(nN+)台织布机,编号分别为1、2、3、n,定义记号aij:若第i名工人操作了第j号织布机,规定aij=1,否则aij=0.则等式a41+a42+a43+a

13、4n=3的实际意义是().A.第4名工人操作了3台织布机B.第4名工人操作了n台织布机C.第3名工人操作了4台织布机D.第3名工人操作了n台织布机【解析】本题考查学生阅读理解,归纳推理的能力.根据即时定义,a41+a42+a43+a4n=3中的第一下标4表示第4名工人进行操作,第二下标1、2、n表示第1号织布机、第2号织布机、第n号织布机,根据规定可知这名工人操作了3台织布机,故选A.【答案】A8.若函数y=f(x)的定义域为D,若对任意的x1,x2D都有|f(x1)-f(x2)|<1,则称函数y=f(x)为“Storm”函数.那么下列函数是“Storm”函数的是().A.f(x)=x2

14、(x-1,2)B.f(x)=x3(x0,1)C.f(x)=-2x+1(x-1,0)D.f(x)=(x1,3)【解析】根据定义知|f(x1)-f(x2)|小于等于函数f(x)的最大值与最小值之差的绝对值,故若判断一个函数是否是“Storm”函数,只需看这个函数的最值之差的绝对值是否小于1即可.在D选项中,因为f(x)=在x1,3上是减函数,所以m=f(3)=,M=f(1)=1,所以|M-m|=|1-|=<1,所以该函数是“Storm”函数.【答案】D9.一个正方形被分成九个相等的小正方形,将中间的一个正方形挖去,如图(1);再将剩余的每个正方形都分成九个相等的小正方形,并将中间的一个挖去,

15、如图(2);如此继续下去,则截止到第n个图共挖去小正方形().A.(8n-1)个B.(8n+1)个C.(8n-1)个D.(8n+1)个【解析】本题主要考查通过观察进行归纳,并猜想出结论的过程.第1个图挖去1个,截止到第2个图共挖去(1+8)个,截止到第3个图共挖去(1+8+82)个,截止到第n个图共挖去1+8+82+8n-1=个,故选C.【答案】C10.把数列2n+1依次按第一个括号中有一个数,第二个括号中有两个数,第三个括号中有三个数,第四个括号中有四个数,第五个括号中有一个数,循环分为(3),(5,7),(9,11,13),(15,17,19,21),(23),(25,27),(29,31

16、,33),(35,37,39,41),(43),则第104个括号内各数之和为().A.2036B.2048C.2060D.2072【解析】从第1个括号到第104个括号,总共有26个循环,每个循环共有1+2+3+4=10个数字,从第一个括号到第104个括号共有260个数字,第104个括号内各数之和为(2×257+1)+(2×258+1)+(2×259+1)+(2×260+1)=2072.【答案】D二、填空题11.一切奇数都不能被2整除,2100+1是奇数,所以2100+1不能被2整除,其演绎推理的“三段论”的大前提为. 【解析】由演绎推理三段论可

17、得.【答案】一切奇数都不能被2整除12.类比平面内“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的性质,可推出空间中下列结论:垂直于同一条直线的两条直线互相平行,垂直于同一个平面的两个平面互相平行,垂直于同一条直线的两个平面互相平行,垂直于同一个平面的两条直线互相平行.其中正确的结论的序号是. 【解析】本题主要考查用类比推理判断空间中直线与平面的位置关系.因为垂直于同一条直线的两条直线可能平行、相交、异面,故不正确,应排除A、D;因为垂直于同一个平面的两个平面可能平行或相交,故不正确,应排除B,易知均正确.【答案】13.已知f(n)=1+(nN+),计算得f(2)=,f(4)>2,f(

18、8)>,f(16)>3,f(32)>,由此推测:当n2时,有. 【答案】f(2n)>14.若<<0,则下列四个结论:|a|>|b|,a+b<ab,+>2,<2a-b.其中正确的是. 【解析】<<0,b<a<0,-b>-a>0,|b|>|a|,故错误.b<a<0,显然正确.又>0,>0,且,正确.又-(2a-b)=-2a+b=<0,<2a-b,正确.【答案】15.设O是ABC内一点,ABC三边上的高分别为hA,hB,hC,O到三边的距离依次

19、为la,lb,lc,则+=1,类比到空间,O是四面体ABCD内一点,四顶点到对面的距离分别为hA,hB,hC,hD,O到这四个面的距离依次为la,lb,lc,ld,则有. 【答案】+=1三、解答题16.有10只猴子共分了56个香蕉,每只猴子至少分到1个香蕉,最多分到10个香蕉,试证:至少有两只猴子分到同样多的香蕉.【解析】假设10只猴子分到的香蕉都不一样多,每只猴子最少分到一个香蕉,至多分到10个香蕉,只能是分别分到1,2,3,10个香蕉.共分了1+2+3+10=55(个),这与共分了56个香蕉相矛盾,故至少有两只猴子分得同样多的香蕉.17.已知函数f(x)=ax+(a>1).

20、(1)求证:函数f(x)在(-1,+)上为增函数;(2)用反证法证明:方程f(x)=0没有负数根.【解析】(1)任取-1<x1<x2,则f(x1)-f(x2)=+-(+)=(-1)+=(-1)+,-1<x1<x2,x1-x2<0.又a>1,<1,且>0,x1+1>0,x2+1>0,(-1)+<0,即f(x1)<f(x2),函数f(x)在(-1,+)上为增函数.(2)设存在x0<0(x0-1)满足f(x0)=0,则=-,且0<<1,0<<1,解得<x0<2.与假设x0<0矛盾,

21、故方程f(x)=0没有负数根.18.已知a,b,c是全不相等的正实数,求证:+>3.【解析】a,b,c全不相等,与,与,与全不相等,+>2,+>2,+>2.三式相加得+>6,(+-1)+(+-1)+(+-1)>3,即 +>3.19.如图,已知PA 矩形ABCD所在平面,M,N分别是AB,PC的中点.求证:(1)MN平面PAD,(2)MNCD.【解析】(1)取PD的中点E,连接AE,NE.N,E分别为PC,PD的中点,EN为PCD的中位线,EN􀱀CD,AM=AB,又四边形ABCD为矩形,CDAB,且CD=AB.ENAM,且EN=AM.四

22、边形AENM为平行四边形,MNAE,又MN平面PAD,AE平面PAD,MN平面PAD.(2)PA矩形ABCD所在平面,CDPA,又CDAD,PAAD=A,CD平面PAD,又AE平面PAD,AECD.又MNAE,MNCD.20.已知:sin230°+sin290°+sin2150°=,sin25°+sin265°+sin2125°=.通过观察上述两等式的规律,请你写出一般性的命题:=(*)并给出(*)式的证明. 【解析】一般性命题:sin2+sin2(+60°)+sin2(+120°)=.下面证明此命题:左边=+=-cos2+cos(2+120°)+cos(2+240°)=-(cos2+cos2cos120°-sin2sin120