第13章 希腊字母和波动率微笑

1、中央财经大学期权与期货第十三章 希腊字母和波动率微笑Chapter 13 Greek Alphabet and Volatility Smile 中央财经大学期权与期货期权价格敏感性分析01其他敏感性指标03目录CONTENTSDelta、Gamma和动态对冲022隐含波动率与波动率微笑04中央财经大学期权与期货第十三章 希腊字母和波动率微笑中央财经大学期权与期货学习要点 主要敏感性指标的含义 Delta对冲和Gamma对冲 隐含波动率的概念和计算方法 波动率微笑的原因和波动率指数3中央财经大学期权与期货第十三章 希腊字母和波动率微笑中央财经大学期权与期货本章知识结构图4中央财经大学期权与期货

2、第十三章 希腊字母和波动率微笑第节导 言中央财经大学期权与期货第节 导言恐慌指数 VIX指数(Market Volatility Index), 由芝加哥期权交易所（CBOE ）发布的度量标普500波动率的指数 VIX指数以S&P500指数期权的隐含波动率计算。若隐含波动率高，则VIX指数也越高。 VIX反映出投资者愿意付出多少成本去对冲投资风险，又称“恐慌指数”。指数愈高，意味着投资者对股市状况感到不安；指数愈低，表示股票指数变动将趋缓。标普标普500500指数走势图（指数走势图（2020.1.16-2020.5.5）标普标普500500指数波动率走势图指数波动率走势图（2020.1

3、.16-2020.5.5）6中央财经大学期权与期货第十三章 希腊字母和波动率微笑第一节 期权价格敏感性分析中央财经大学期权与期货第一节 期权价格敏感性分析一、影响期权价格的若干因素影响欧式期权价格有6个因素： S0 表示初始时刻的股票价格。 K 表示执行价格， 表示波动率， r 表示无风险利率， t 表示时间， q 表示股票的分红率。8中央财经大学期权与期货第一节 期权价格敏感性分析二、期权价格的敏感性分析期权价格的敏感性分析是在假定其他因素不变的情况下，某一因素的变化引起的期权价格的变化。期权价格的敏感性指标常用希腊字母表示，期权领域中提及希腊字母一般就是指期权价格的敏感性指标。敏感性指标有

4、一阶敏感性指标和二阶敏感性指标，其中一阶敏感性指标5个。9中央财经大学期权与期货第十三章 希腊字母和波动率微笑第二节 Delta、Gamma和动态对冲中央财经大学期权与期货第二节 Delta、Gamma和动态对冲一、Delta希腊字母Delta来描述股票价格的变化引起的期权价格的变化期权类型与Delta的关系股票价格上升时，看涨期权的价格上升，看涨期权的Delta为正， 的取值在0和1之间股票价格上升时，看跌期权的价格下降，看跌期权的Delta为负， 的取值在-1和0之间111()()() 1cpcN dSpNdN dS 11中央财经大学期权与期货第二节 Delta、Gamma和动态对冲一、D

5、elta-1.50-1.00-0.500.000.501.001.5016111621263136414651566166717681869196股票价格看涨看跌Delta和股票价格变化之间的关系和股票价格变化之间的关系看涨期权和看跌期权的Delta图形完全一样，只是在数值上相差一个单位。随着股票价格的不断增加，看涨期权的Delta趋近于1，而看跌期权的Delta趋近于0。12中央财经大学期权与期货第二节 Delta、Gamma和动态对冲一、Delta由于N(d1) 总是 S的递增函数，因此 c 随着S的增加而增加，而且 c 关于 S 的曲线在某一临界值从凸函数转变为凹函数，临界值为当 0 S

6、 Sc 时， c 关于 S 的曲线是凸的，当 Sc S K，则 d1，于是2、S = K，则 d1 0，于是3、S K，则 d1 -，于是lim1c 1lim2c lim0c 看涨期权的价值状态和看涨期权的价值状态和DeltaDelta的关系的关系中央财经大学期权与期货第二节 Delta、Gamma和动态对冲二、Delta对冲期权定价：构建一个无风险组合复制期权现金流 V = Delta S- C卖出一个看涨期权时，持有Delta份股票多头头寸，可得一个无风险组合，达到对冲风险的目的动态对冲 时间变化后，股票价格变化，期权价格随之变化，Delta也在变化，保证组合的无风险性，需要不断调整多头头

7、寸 如果Delta的变化非常大，那交易员的调仓压力就很大，而如果Delta对于股票价格变化不太敏感，那么交易员就会感觉调仓压力较小Gamma是一个二阶敏感性指标，表示Delta的变化15中央财经大学期权与期货第二节 Delta、Gamma和动态对冲三、Gamma看涨期权和看跌期权的Gamma相同Gamma反映的是Delta对于期权价格变化的敏感性，交易员会青睐Gamma值较小的情况。2122222212()dCPeSSSTt 0.000.010.010.020.020.030.030.040.0416111621263136414651566166717681869196股票价格看涨/看跌Ga

8、mma和股票价格变化之间的关系和股票价格变化之间的关系中央财经大学期权与期货第二节 Delta、Gamma和动态对冲三、GammaGamma的三维图像一只婀娜多姿的蝴蝶平值期权的调仓压力随着到期日的临近不断上升 Gamma随股票价格、距离到期日剩余时间变化的关系随股票价格、距离到期日剩余时间变化的关系看涨期权的价值状态和看涨期权的价值状态和Gamma的关系的关系中央财经大学期权与期货第二节 Delta、Gamma和动态对冲四、Gamma对冲Gamma类似于股票价格变化引起的期权价格变化的曲线的“曲率”，它是对线性Delta的修正。经典期权的Gamma Gamma是正的，说明曲线上升得快下降得慢

9、。 Gamma是负的，说明曲线上升得慢下降得快。Gamma对冲与Delta对冲 为进行Gamma对冲，需要构建一定的组合，让期权与股票的关系变为“线性”，再进行Delta对冲。如果曲线的“曲率”很小，可以忽视的时候，就不进行Gamma对冲，减轻构造Gamma对冲组合的压力。18中央财经大学期权与期货第十三章 希腊字母和波动率微笑第三节 其他敏感性指标中央财经大学期权与期货第三节 其他敏感性指标一、Vega Vega代表波动率的变化对期权价格的影响 看涨期权和看跌期权拥有相同的Vega，Vega为正 随着股票价格的变化，Vega呈现先上升后下降的趋势，并逐渐趋近于0 随着到期日的临近，三种价值状

10、态的期权的Vega都在迅速下降21202dcpS TteVegaVega0.002.004.006.008.0010.0012.0016111621263136414651566166717681869196股票价格看涨/看跌Vega和股票价格变化之间的关系和股票价格变化之间的关系 看涨期权的价值状态和看涨期权的价值状态和Vega的关系的关系中央财经大学期权与期货第三节 其他敏感性指标二、Rho Rho代表无风险利率的变化对期权价格的影响 无风险利率和看涨期权的价格是正向关系，看涨期权的Rho为正；无风险利率和看涨期权的价格是反向关系，看跌期权的Rho为负 随着股票价格的增加，无论是看涨期权的

11、Rho和看跌期权的Rho都呈现上升趋势 随着到期日的临近，三种价值状态的期权的Rho都在迅速下降Rho和股票价格变化之间的关系和股票价格变化之间的关系 看涨期权的价值状态和看涨期权的价值状态和Rho的关系的关系()2()2()0()0r T tcr T tpcK Tt eN drpK Tt eNdr -30.00-20.00-10.000.0010.0020.0030.0016111621263136414651566166717681869196股票价格看涨看跌中央财经大学期权与期货第三节 其他敏感性指标三、Theta Theta代表已逝时间的变化对期权价格的影响 看涨期权的Theta和看跌

12、期权的Theta都是呈现先下降后上升的趋势 随着到期日的临近，虚值期权的Theta呈现先缓慢下降后掉头上升的趋势，实值期权的Theta也是先缓慢下降后又呈现上升趋势，平值期权的Theta一直在迅速下降。Theta和股票价格变化之间的关系和股票价格变化之间的关系 看涨期权的价值状态和看涨期权的价值状态和Theta的关系的关系1()21()222r T tcr T tpSN dcrKeN dtTtSNdprKeNdtTt -5.00-4.00-3.00-2.00-1.000.001.002.0016111621263136414651566166717681869196股票价格看涨看跌中央财经大学

13、期权与期货第十三章 希腊字母和波动率微笑第四节 隐含波动率与波动率微笑中央财经大学期权与期货第四节 隐含波动率与波动率微笑一、历史波动率和隐含波动率波动率不可观测，是一个潜变量历史波动率经典波动率估计：通过估计单位时间标的资产价格涨跌幅的标准差得到波动率GARCH模型隐含波动率从市场中采集到的真实的期权交易价格和其他输入变量输入B-S-M期权定价公式，通过求解一非线性方程，得到的波动率波动率隐含在期权市场价格中24中央财经大学期权与期货第四节 隐含波动率与波动率微笑二、隐含波动率的求解方法 隐含波动率的求解是一个非线性方程的求解，需要借助迭代算法，常用的迭代算法是牛顿拉夫森方法。 包括Matl

14、ab在内的主流科学计算软件里都提供计算隐含波动率的函数，编程实现选择的迭代算法就是牛顿拉夫森方法。 计算公式，选择适当的初始值1，n 将收敛于隐含波动率的唯一解。251nmnnnCCC12ln()Sr TtTtK中央财经大学期权与期货第四节 隐含波动率与波动率微笑三、波动率微笑只要期权有交易，就可以得到不同执行价格，不同到期日的期权的价格。将这些期权价格输入并运用牛顿拉夫森方法后可以得到对不同执行价格、不同到期日的隐含波动率。随着执行价格的上升，隐含波动率呈现先下降后上升的趋势，看上去就像一个“微笑”，称为“波动率微笑”。波动率图像的其他情况: 波动率倾斜：股票期权里面，隐含波动率先下降后上升

15、的趋势不太明显，使得微笑的嘴角并不对称 隐含波动率会出现随着执行价格先上升后下降的情况，波动率看上去就不再“微笑”，更像在“皱眉”26中央财经大学期权与期货第四节 隐含波动率与波动率微笑四、关于波动率微笑的解释波动率微笑现象可能源于B-S-M模型的基础假设股票价格呈对数正态分布有关。B-S-M模型会高估高执行价格的看跌期权，低估低执行价格的看跌期权，而波动率和期权价格呈现正向关系。低执行价格的期权的隐含波动率较高，而高执行价格的期权的隐含波动率较低。27中央财经大学期权与期货第四节 隐含波动率与波动率微笑五、真实市场中的波动率微笑以我国的期权市场为例场内期权在深度虚值的地方，从波动率角度来看，

16、买卖价差比较大。代入期权定价公式中，买卖价格也会差异很大。沪深沪深300股指期权的波动率微笑股指期权的波动率微笑（IO202103合约，数据采集日期为合约，数据采集日期为2020年年12月月8日）日）28中央财经大学期权与期货第四节 隐含波动率与波动率微笑五、真实市场中的波动率微笑以我国的期权市场为例 T形报价中，执行价格小于中间价格时，隐含波动率取的是右侧虚值看跌期权的数值，执行价格大约中间价格时，隐含波动率取的是左侧虚值看涨期权的数值。沪深沪深300股指期权的股指期权的T形报价形报价（IO202103合约，数据采集日期为合约，数据采集日期为2020年年12月月8日）日）29中央财经大学期权

17、与期货第四节 隐含波动率与波动率微笑五、真实市场中的波动率微笑以我国的期权市场为例 价值状态与隐含波动率的关系沪深沪深300股指期权的波动率微笑股指期权的波动率微笑价值状态价值状态（IO202103合约，数据采集日期为合约，数据采集日期为2020年年12月月8日）日）30中央财经大学期权与期货第四节 隐含波动率与波动率微笑五、真实市场中的波动率微笑以我国的期权市场为例 动率曲面：不同期限之间，相同执行价格期权的隐含波动率情况，甚至不同期限、不同执行价格期权的隐含波动率情况 最近期限的期权的隐含波动率变化迅猛，而其他三个期权的隐含波动率变化平缓上证上证50ETF期权的波动率曲面期权的波动率曲面（

18、期限为（期限为2020年年12月，数据采集日期为月，数据采集日期为2020年年12月月7日）日）31中央财经大学期权与期货第四节 隐含波动率与波动率微笑六、波动率指数 波动率指数，是指VIX指数。VIX由S&P500 （标准普尔500指数）的成分股的期权隐含波动率组成。被广泛用来作为衡量市场风险和投资者恐慌度的指标。 该类指数主要有三种：VIX 跟踪S&P500；VXN跟踪Nasdaq 100成分股；VXD跟踪道琼斯工业指数。标普标普500指数发生熔断指数发生熔断2020年年3月月18日日 32中央财经大学期权与期货第四节 隐含波动率与波动率微笑六、波动率指数 2020年2月18日到2020年3月16日的VIX指数，波动率指数不断飙升，反映出市场的恐慌情绪不断累积，这与标普500指数在2020年3月18日发生熔断相互匹配，说明VIX指数在反映市场恐慌情绪方面非常权威且具有一定的预见性。VIX指数（数据区间：指数（数据区间：2020.02.18-2020.03.16）33中央财经大学期权与期货第四节 隐含波动率与波动率微笑六、波动率指数 2020年9月9日到2020年12月4日近3个月的时间区间中，2020年10月30日VIX指数达到最高，为41.16。猜测这应该和美国大选结果临近不确定不断