固体物理学_晶格振动与晶体的热学性质之_晶格振动模式密度

1、03_09_晶格振动模式密度 晶格振动与晶体的热学性质03_09 晶格振动模式密度晶格振动模式密度晶体中同时可以存在不同频率的简谐振动晶体中同时可以存在不同频率的简谐振动 不同频率的振动模对应不同的能量不同频率的振动模对应不同的能量给定晶体给定晶体 总的振动模数目是一定的总的振动模数目是一定的按振动频率分布按振动频率分布 用用晶格振动模式密度来描述晶格振动模式密度来描述振动模式密度振动模式密度 研究晶体热容、电学和光学性质研究晶体热容、电学和光学性质晶格振动模式密度晶格振动模式密度0( )limng 01/12 单位频率间隔单位频率间隔 振动模式数目振动模式数目03_09_晶格振动模式密度 晶

2、格振动与晶体的热学性质q空间空间 振动模是均匀分布的，状态密度振动模是均匀分布的，状态密度3(2 )V3(2 )Vndsdq 两个等频率面两个等频率面 和和 之间的振动模式数目之间的振动模式数目 频率是频率是q的连续函数的连续函数( )qq dq ( )qConstant根据根据做出一个等频率面做出一个等频率面03_09_晶格振动模式密度 晶格振动与晶体的热学性质( )qdqq3(2 )( )qVndsq 3(2 )( )qVdsq3(2 )Vndsdq 3( )(2 )( )qVdsgq之间振动模式数目之间振动模式数目 0( )limng 03_09_晶格振动模式密度 晶格振动与晶体的热学性

3、质简单几种情况下振动模式密度的表示简单几种情况下振动模式密度的表示 一维无限长单原子链一维无限长单原子链LNa 最大频率最大频率sin2maq4mm3( )(2 )( )qVdsgq4sin2aqm振动模式密度振动模式密度1( )2( )qLgq一维情况下一维情况下03_09_晶格振动模式密度 晶格振动与晶体的热学性质考虑到一个频率可以有考虑到一个频率可以有 两个值两个值q1( )22( )qLgq( )cos22mqaaqq222ma2221( )mNg振动模式密度振动模式密度sin2maq05/1203_09_晶格振动模式密度 晶格振动与晶体的热学性质 也可以直接由也可以直接由q空间的状态

4、密度来计算空间的状态密度来计算2L22Ldndq22L dqdndd( )L dqgd2221( )mNg状态密度状态密度sin2maq振动模式密度振动模式密度03_09_晶格振动模式密度 晶格振动与晶体的热学性质 德拜近似下的振动模式密度德拜近似下的振动模式密度 振动频率与波矢成正比振动频率与波矢成正比cq( )qqc3( )(2 )( )qVdsgq231( )4(2 )Vgcc223( )2Vgc31(2 )Vdsc234(2 )Vqc03_09_晶格振动模式密度 晶格振动与晶体的热学性质 色散关系色散关系 2cq24sq( )2qqcq3( )(2 )( )qVdsgq3(2 )2Vd

5、scq234( )(2 )2Vqgcq/qc23/2(2 )Vcq空间的等频率面是一个球面，球面面积空间的等频率面是一个球面，球面面积振动模式密度振动模式密度 三维情形三维情形03_09_晶格振动模式密度 晶格振动与晶体的热学性质 二维情况，等频率是一个圆二维情况，等频率是一个圆2, 42dsdlqq2( )(2 )( )qSdlgq22( )(2 ) 2Sqgcq( )4Sgc振动模式密度振动模式密度( )2qqcq 色散关系色散关系 2cq2dlq03_09_晶格振动模式密度 晶格振动与晶体的热学性质1( )22( )qLgq1( )2Lgcq( )2Lgc3( )(2 )( )qVdsgq振动模式密度振动模式密度 一维情况，等频率是一维情况，等频率是 色散关系色散关系 2cqq( )2qqcq10/1203_09_晶格振动模式密度 晶格振动与晶体的热学性质如果色散关系如果色散关系2cq1/2( ) g0( ) g1/2( ) g三维情况振动模式密度三维情况振动模式密度二维情况振动模式密度二维情况振动模式密度一维情况振动模式密度一维情况振动模式密度3( )(2 )( )qVdsgq03_09_晶格振动模式密度 晶格振动与晶体的热学性质在在 的一些点的一些点( )0qq( )cos()22mqaaqFor exampleqqa 奇点奇点范霍夫奇点范霍夫奇点 晶体中一