第12章 BSM连续时间期权定价模型——风险中性方法

1、中央财经大学期权与期货第十二章 B-S-M期权定价模型风险中性定价Chapter 12 B-S-M Option Pricing Model-Risk Neutral Pricing中央财经大学期权与期货伊藤型随机微分方程的解01B-S-M期权定价模型的方法风险中性定价03目录CONTENTS风险中性测度022中央财经大学期权与期货第十二章 B-S-M期权定价模型风险中性定价方法中央财经大学期权与期货学习要点 藤型随机微分方程的解； 拉东-尼柯迪姆导数和一维哥萨诺夫定理； B-S-M期权定价模型的风险中性定价方法。中央财经大学期权与期货第十二章 B-S-M期权定价模型风险中性定价方法中央财经大

2、学期权与期货本章知识结构图中央财经大学期权与期货第十二章 B-S-M期权定价模型风险中性定价方法第节导 言中央财经大学期权与期货第节 导言风险中性定价基本原则资产价格的特点：一价定律，资产的价格并不根据投资者是什么类型而改变风险中性定价的基本原则：假定市场上都是风险中性的投资者中央财经大学期权与期货第十二章 B-S-M期权定价模型风险中性定价方法第一节伊藤型随机微分方程的解中央财经大学期权与期货第一节 伊藤型随机微分方程的解模型的假设W(t), 0 t T是概率空间(, , )上的布朗运动， (t), 0 t T是关于该布朗运动的域流。伊藤型随机微分方程方程dX(t) = (X(t), t)

3、dt + (X(t), t)dW(t) 方程系数满足Lipschitz条件： |(x, t) - (y, t)| + |(x, t) - (y, t)| K1|x - y| 线性增长条件： |(x, t) | + |(x, t) | K2(1 + |x|)则随机微分方程在0, T内有唯一解，且1. X(t) 是 (t) -可测的；2. X(t) 具有连续路径；3. X(t) 是一个马尔科夫过程。中央财经大学期权与期货第一节 伊藤型随机微分方程的解资产价格模拟 如果随机方程的漂移项和扩散项都是X(t) 的线性函数：则称为线性随机微分方程。股价过程S(t)是一个简单的线性随机微分方程dS(t) =

4、 S(t) dt + S(t)dW(t) 由伊藤公式 在给定布朗运动的前提下，可以模拟出任何时刻标的资产价格状态。 中央财经大学期权与期货第十二章 B-S-M期权定价模型风险中性定价方法第二节风险中性测度中央财经大学期权与期货第二节 风险中性测度拉东-尼柯迪姆导数从满足 EZ=1的非负随机变量 Z 出发，定义一个新的概率测度在新概率测度下的期望记为 , 且 如果 ，则 和 具有相同的零概率集，二者等价。此时Z是 关于 的拉东-尼柯迪姆导数。中央财经大学期权与期货第二节 风险中性测度哥萨诺夫定理，一维情形W(t), 0 t T是概率空间(, , )的布朗运动， (t), 0 t T 是关于该布朗

5、运动的域流。设 (t) , 0 t T 是一个适应过程，定义令 Z = Z(T) ，则 EZ=1 ，并且在概率测度 下，过程W(t), 0 t T 是布朗运动。哥萨诺夫定理中的概率测度 和 是等价是因为 。在后面的资产价格模型中， 是真实概率测度， 是风险中性概率测度。中央财经大学期权与期货第十二章 B-S-M期权定价模型风险中性定价方法第三节风险中性测度下的股价过程中央财经大学期权与期货第三节 B-S-M期权定价模型的方法风险中性定价等价鞅测度股价过程 dS(t) = S(t) dt + S(t)dW(t), 0 t T 股价的折现过程：伊藤公式：令哥萨诺夫定理可知 为新测度下的布朗运动，哥

6、萨诺夫定理中定义的风险中性测度也称为等价鞅测度，因为它等价于原测度，并且使得贴现股价过程成为鞅。中央财经大学期权与期货第三节 B-S-M期权定价模型的方法风险中性定价期权定价投资者希望通过期权复制来对冲期权的风险，即构造一个投资组合，使得该投资组合在时刻的价值X(T)与期权的支付(S(T)- K )+相吻合投资组合的贴现价值为鞅，因此根据鞅的定义可得：令 = T - t ，即“离到期日剩余时间”,风险中性定价公式为在连续时间情形下，风险中性定价公式为：中央财经大学期权与期货第十二章 B-S-M期权定价模型风险中性定价方法中央财经大学期权与期货本章小结1. 伊藤型随机微分方程的解，这一部分内容对于后续的风险中性