级《高等数学》（Π）期末考试试卷（A）（工科类）

1、2002级高等数学（）期末考试试卷（A）（工科类）专业： 姓名： 学号： 考试日期：2003.6.18.题号一二三四五六总 分得分说明：1. 本试卷共4页；2. 答案必须写在该题后的横线上或写在该题下方空白处，不得写在草稿纸中，否则该题答案无效.一、填空题（本题共10小题，每小题5分，满分50分）： 1设，则 . 2设，其中具有二阶连续偏导数，则 ， . 3级数的收敛半径是 ，收敛域为 . 4曲线在点处的切线方程为 . 5设，则梯度 . 6设为正向闭曲线：，则 .(A) . (B) . (C) . (D). 7设连续，交换积分次序 . 8二阶常系数线性微分方程有一个形如 的特解（不必确定系数）

2、. 9若某二阶线性非齐次微分方程的两个解为，且相应齐次方程的一个解为，则该非齐次微分方程的通解为 . 10若是由和围成的平面有界闭区域，而是连续函数，则 .二、(本题11分) 用薄钢板制作一个容积为4(m3)的有底无盖长方体箱子，如何取长方体箱子的长、宽、高的值，才能使得制作箱子所用的钢板面积最省？三、(本题11分) 计算三重积分，其中是曲面与围成的闭区域.四、(本题共12分，每小题6分) 判定下列级数是否收敛？如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛？ (1) . (2) .五、(本题11分)已知函数具有连续的导数，曲线积分与路径无关，且，试求.六、 (本题5分) 已知函数在区间上连续，求证=

3、.2002级高等数学（）期末考试试卷（A）(经管类)专业： 姓名： 学号： 考试日期：2003.6.18.题号一二三四五六总 分得分说明：1. 本试卷共4页；2. 答案必须写在该题后的横线上或写在该题下方空白处，不得写在草稿纸中，否则该题答案无效.一、填空题（本题共10小题，每小题5分，满分50分）： 1设，则 . 2设，其中具有二阶连续偏导数，则 ， . 3级数的收敛半径是 ，收敛域为 . 4曲线在点处的切线方程为 . 5设，则梯度 . 6设平面薄片的质量密度分布为，则的质量可表示为 ，又若为，则其质量等于 . 7设连续，交换积分次序 . 8二阶常系数线性微分方程有一个形如 的特解（不必确定

4、系数）. 9若某二阶线性非齐次微分方程的两个解为，且相应齐次方程的一个解为，则该非齐次微分方程的通解为 . 10若是由和围成的平面有界闭区域，而是连续函数，则 .二、(本题11分) 用薄钢板制作一个容积为4(m3)的有底无盖长方体箱子，如何取长方体箱子的长、宽、高的值，才能使得制作箱子所用的钢板面积最省？三、(本题11分) 计算二重积分，其中.四、(本题共12分，每小题6分) 判定下列级数是否收敛？如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛？(1) . (2) .五、(本题11分) 设函数连续，且满足，试求.六、 (本题5分) 计算三重积分，其中闭区域是由不等式 ，所确定，这里.2002级高等数学（

5、）期末考试试卷（B）（工科类）专业： 姓名： 学号： 考试日期：2003.6.18.题号一二三四五六总 分得分说明：1. 本试卷共4页；2. 答案必须写在该题后的横线上或写在该题下方空白处，不得写在草稿纸中，否则该题答案无效.一、填空题（本题共10小题，每小题5分，满分50分）： 1设，则 . 2设，其中具有二阶连续偏导数，则 ， . 3级数的收敛半径是 ，收敛域为 . 4曲线在点处的切线方程为 5设，则梯度 . 6设为正向闭曲线：，则 .(A) . (B) . (C) . (D). 7设连续，交换积分次序 . 8二阶常系数线性微分方程有一个形如 的特解（不必确定系数）. 9若某二阶线性非齐次

6、微分方程的两个解为，且相应齐次方程的一个解为，则该非齐次微分方程的通解为 . 10若是由和围成的平面有界闭区域，而是连续函数，则 .二、(本题11分) 用薄钢板制作一个容积为32(m3)的有底无盖长方体箱子，如何取长方体箱子的长、宽、高的值，才能使得制作箱子所用的钢板面积最省？三、(本题11分) 计算三重积分，其中是曲面与围成的闭区域.四、(本题共12分，每小题6分) 判定下列级数是否收敛？如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛？ (1) . (2) .五、(本题11分)已知函数具有连续的导数，曲线积分与路径无关，且，试求.六、 (本题5分) 已知函数在区间上连续，求证= .2002级高等数学（

7、）期末考试试卷（B）(经管类)专业： 姓名： 学号： 考试日期：2003.6.18.题号一二三四五六总 分得分说明：1. 本试卷共4页；2. 答案必须写在该题后的横线上或写在该题下方空白处，不得写在草稿纸中，否则该题答案无效.一、填空题（本题共10小题，每小题5分，满分50分）： 1设，则 . 2设，其中具有二阶连续偏导数，则 ， . 3级数的收敛半径是 ，收敛域为 . 4曲线在点处的切线方程为 . 5设，则梯度 . 6设平面薄片的质量密度分布为，则的质量可表示为 ，又若为，则其质量等于 . 7设连续，交换积分次序 . 8二阶常系数线性微分方程有一个形如 的特解（不必确定系数）. 9若某二阶线

8、性非齐次微分方程的两个解为，且相应齐次方程的一个解为，则该非齐次微分方程的通解为 . 10若是由和围成的平面有界闭区域，而是连续函数，则 .二、(本题11分) 用薄钢板制作一个容积为32(m3)的有底无盖长方体箱子，如何取长方体箱子的长、宽、高的值，才能使得制作箱子所用的钢板面积最省？三、(本题11分) 计算二重积分，其中.四、(本题共12分，每小题6分) 判定下列级数是否收敛？如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛？ (1) . (2) .五、(本题11分) 设函数连续，且满足，试求.六、 (本题5分) 计算三重积分，其中闭区域是由不等式 ，所确定，这里.2002级高等数学（）期末考试试卷（A

9、）解答及评分标准一、填空题（本题共10小题，每小题5分，满分50分）： 1设，则. 2设，其中具有二阶连续偏导数，则，. 3级数的收敛半径是，收敛域为. 4曲线在点处的切线方程为. 5设，则梯度. 6设为正向闭曲线：，则 (A) .(A) . (B) . (C) . (D). 6设平面薄片的质量密度分布为，则的质量可表示为，又若为，则其质量等于. 7设连续，交换积分次序. 8二阶常系数线性微分方程有一个形如的特解（不必确定系数）. 9若某二阶线性非齐次微分方程的两个解为，且相应齐次方程的一个解为，则该非齐次微分方程的通解为. 10若是由和围成的平面有界闭区域，而是连续函数，则.二、(本题11分

10、) 用薄钢板制作一个容积为4(m3)的有底无盖长方体箱子，如何取长方体箱子的长、宽、高的值，才能使得制作箱子所用的钢板面积最省？ 解 设长方体箱子的长、宽、高分别为，则制作箱子所用的钢板面积为， 且， (2分)设 ， （5分）考虑方程组 （8分）解方程组得， （10分）这是唯一可能的极值点，根据问题的实际意义，使钢板面积最省的长、宽、高一定存在，因此，当长、宽、高分别为2m, 2m, 1m时，所用的钢板面积最省. （11分）三、(本题11分) 计算三重积分，其中是曲面与围成的闭区域. 解 (由对称性) （3分） （8分） （11分）三、(本题11分) 计算二重积分，其中. 解 (由对称性) （

11、3分） （8分） . （11分）四、(本题共12分，每小题6分) 判定下列级数是否收敛？如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛？ (1) . 解 由于， （4分）由比值判别法知，级数发散. （6分） (2) . 解 由于 ，所以级数不绝对收敛， （3分）又， 且，所以级数收敛，且为条件收敛. （6分）五、(本题11分)已知函数具有连续的导数，曲线积分与路径无关，且，试求. 解 由于积分与路径无关，则，这里.由此可得 ， （4分）即 ， （6分）解得 ， （9分）由初始条件得，从而有. （11分）五、(本题11分) 设函数连续，且满足，试求. 解 方程两边对求导得 ， （4分）即 ， （6分）解得

12、 ， （9分）由条件所给方程，得初始条件，由此得，从而有. （11分）六、(本题5分) 已知函数在区间上连续，求证= . 解 右边 （1分） （3分） =左边. （5分）六、 (本题5分) 计算三重积分，其中闭区域是由不等式 ，所确定，这里. 解 （3分）. （5分）2002级高等数学（）期末考试试卷（B）解答及评分标准一、填空题（本题共10小题，每小题5分，满分50分）： 1设，则. 2设，其中具有二阶连续偏导数，则，. 3级数的收敛半径是，收敛域为. 4曲线在点处的切线方程为. 5设，则梯度. 6设为正向闭曲线：，则 (B) .(A) . (B) . (C) . (D). 6设平面薄片的质

13、量密度分布为，则的质量可表示为，又若为，则其质量等于. 7设连续，交换积分次序. 8二阶常系数线性微分方程有一个形如的特解（不必确定系数）. 9若某二阶线性非齐次微分方程的两个解为，且相应齐次方程的一个解为，则该非齐次微分方程的通解为. 10若是由和围成的平面有界闭区域，而是连续函数，则.二、(本题11分) 用薄钢板制作一个容积为32 (m3)的有底无盖长方体箱子，如何取长方体箱子的长、宽、高的值，才能使得制作箱子所用的钢板面积最省？ 解 设长方体箱子的长、宽、高分别为，则制作箱子所用的钢板面积为， 且， （2分）设 ， （5分）考虑方程组 （8分）解方程组得， （10分）这是唯一可能的极值点

14、，根据问题的实际意义，使钢板面积最省的长、宽、高一定存在，因此，当长、宽、高分别为4m, 4m, 2m时，所用的钢板面积最省. （11分）三、(本题11分) 计算三重积分，其中是曲面与围成的闭区域. 解 (由对称性) （3分） （8分） （11分）三、(本题11分) 计算二重积分，其中. 解 (由对称性) （3分） （8分） . （11分）四、(本题共12分，每小题6分) 判定下列级数是否收敛？如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛？ (1) . 解 由于， （4分）由比值判别法知，级数发散. （6分） (2) . 解 由于 ，所以级数不绝对收敛， （3分）又， 且，所以级数收敛，且为条件收敛. （6分）五、(本题11分)已知函数具有连续的导数，曲线积分与路径无关，且，试求. 解 由于积分与路径无关，则，这里.由此可得 ，