线性代数A模拟题1答案_第1页
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文档简介

1、线性代数A模拟题（1）解答一、 填空题1 设表示排列逆序数，则。2 的充要条件是满足。3 三阶行列式中第二行元素依次为，相应的余子式依次为,则.4 ，且（亦称，可交换），则，。5 若，且，则。6 ，则。7 若元线性方程组有唯一解，且系数矩阵的秩为，则与的关系是。二、 计算题1 计算行列式解： 2 用行列式按行（或列）展开计算解：3 设，求（1） （2） （3）解：（1）（2）（3）4解：5 设，试求。解：，另解：，或 6 ，证明可逆，并求。解： ，所以可逆。7 设为阶方阵，且，其伴随矩阵为，求。解：，8 求的逆阵。解：，9 设矩阵和满足，其中，求矩阵。解法一： ，由可逆，且，解法二：构造矩阵，

2、实施一系列初等行变换，将变为的同时，则变为了，8设向量组：，试求向量组的秩,并求它的一个最大无关组。并用最大无关组表示其余向量。解：（1）矩阵的秩，所以向量组的秩，向量组最大无关组所含向量的个数为，取阶梯形矩阵非零行的第一个非零元所在的列。令。，组线性无关，即组为的最大无关组。（2） ， 9求方程组的通解。解：，原方程有无穷多解。令，则对应即得基础解系：，所以原方程的通解为10讨论为何值时，非齐次线性方程组有唯一解，无解或有无穷多解？并在有无穷多解时求其通解。解：（1）当，且时，方程组有唯一解。（2）当时，方程组无解。（3）当时，方程组有无穷多解。 三、 证明题：1设向量组：线性无关，而向量组：线性相关，试证明向量必可有向量组线性表示，且表示式是唯一的。证法一：令， ，。因为：线性无关，有；因为：线性相关，。所以，从而。由，知方程组有唯一解，即向量可有向量组线性表示，且表示式是唯一的。证法二：线性相关，存在一组不全为零的数，使 ：线性无关，若，：线性无关，所以的表示式是唯一的。2设线性无关，试证明：（1）， ，线性无关。（2）， 线性相关。证明：（1）设有三个数使得由线性无关，齐次线性方程组只有零解，即所以，

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