线积分与面积分

1、网赚博客：Ch10、线积分与面积分§1、对弧长的线积分一、概念与性质1、引例：变密度连续曲线的质量。解：分割：用一系列点将分成若干小弧段，其长度为。近似：在上任取一点，则弧段的质量近似为。求和：的质量近似为取极限：2、定义：设为定义在面上光滑曲线弧上的有界函数，经分割、做积、求和，如极限存在，则称之为在上对弧长的线积分或第一类线积分，记为，。 若为空间曲线弧段，则相应地有。 若或为封闭曲线，则记为。 当时，的长度。 切记，被积函数是定义在积分弧段上的。3、性质 线性性： 可加性：，其中4、应用（以平面曲线为例） 曲线的质量 曲线的重心 曲线的转动惯量 二、计算方法1、若的方程为，则证

2、：因弧微分故2、若的方程为，则证：3、若的方程为，则证：4、若空间曲线的方程为，则计算要点：代入；上限一定大于下限。例1、计算间一段弧；是折线，解：，故故例2、计算，。解：， 故例3、计算，轴在象限所围区域的边界。解：如图，故例4、计算，解：，故例5、计算，解：故§2、对坐标的线积分一、概念与性质1、引例：变力沿有向曲线所做的功。解：分割：用一系列点将分成若干小弧段，上的变力可用恒力近似代替。近似：求和：取极限：2、定义：设面上的有向光滑曲线，为定义在上的有界函数，经分割、做积、求和，若极限存在，则称之为在上对的线积分或第二类线积分，记为，显然引例中的功本定义可推广为三元函数在空间有

3、向曲线上的线积分，如，以及。特别地，第二类线积分的积分弧段或有方向。3、性质 可加性： 方向性：，其中与方向相反二、计算方法1、若的方程为，当时，对应地点从的起点变到终点，则2、若的方程为，则 若的方程为，则 其中分别对应于的起、终点。3、若空间曲线的方程为，则计算要点：代入；下限与上限分别对应于的起点与终点（上限不一定大于下限）。例1、计算，为上从的弧段。解：，故例2、计算，（顺时针）。解：故例3、计算，为折线；直线。解：故故例4、计算，为（逆时针方向）解：，故例5、计算，如图。解：，同样可得，注：实际上，此积分与路径无关。例6、计算，为从直线段。解：故例7、一力场由沿横轴正方向的常力所构成

4、，试求当一质量为的质点沿圆周按逆时针方向移过位于第一象限的那一段弧时力场所作的功。解：，三、两类线积分的联系如图，设的方程为而，故同理，例8、化为I类线积分，从解：故例9、设为曲线相应于从0到1的曲线段，化为I类线积分。解：故§3、格林公式及其应用一、格林公式1、单连通区域若区域内任一闭曲线所围部分都属于，则称为单连通区域，否则称为复连通区域。2、区域的边界曲线的正向规定如下：沿的这个方向行走时，总在左侧。3、格林公式定理1：设闭区域由分段光滑曲线围成，在上一阶偏导连续，则其中为的取正向的边界曲线。 若为负向，则 若令，则，即区域的面积例1、求，是顶点为的三角形正向边界。解：例2、求

5、，（顺时针）。解：例3、求，为从的上半圆周解：此类题的关键在于补充路径。， 故。例4、求，为沿由逆时针到的半圆。解：，故。例5、计算为不过原点的正向封闭光滑曲线。解：若不包围原点，则在所围区域上一阶偏导连续，由格林公式，若包围原点，则在上一阶偏导不连续，不可直接用格林公式。取适当小的，做圆（顺时针），在由()所围区域内一阶偏导连续，根据格林公式，从而例6、计算是由表示的负向闭曲线。解：取适当小的，做圆（逆时针），在由()所围区域内一阶偏导连续，根据格林公式，从而二、积分与路径无关的条件1、设为区域内任两点，为从到的任两条路径，若，则称在内与路径无关，仅与起、终点有关。2、定理2：设在单连通区域

6、内一阶偏导连续，则在内与路径无关的充要条件是。例7、求，为沿从到的一段弧。解：此类题的关键在于重新选择路径。，即此积分与路径无关，故可重新选择路径。不妨取，则注：此题也可像例3一样，补充路径后用格林公式。例8、求，为沿上半椭圆由到的弧段。解：即此积分与路径无关，故可重新选择路径。不妨取为从到的上半圆（不可取为）三、二元函数的全微分求积问题：1、满足什么条件，是某个二元函数的全微分，即；2、存在时，如何求？解：1、是全微分的充要条件为；2、若存在，即，由定理2知，起点为，终点为的积分与路径无关，而仅与起、终点有关，故此积分可记为，可证。取路径，例9、验证为某函数的全微分，并求。解：，故存在，例1

7、0、验证为某函数的全微分，并求。解：，故存在，取，则例11、求 （积分与路径无关时，可写成此形式）解：原式例12、求解：原式§4、对面积的曲面积分一、概念与性质1、引例：变密度曲面的质量。解：，2、定义：设是定义在光滑曲面上的有界函数，经分割、取点做积、求和，若极限存在，则称之为在上对面积的曲面积分或第一类曲面积分，记为3、主要性质的面积；4、应用 曲面质量 曲面重心 曲面对坐标轴的转动惯量二、计算方法 若的方程为，在面上的投影为，则证：由P121，曲面的面积元素计算要点： 代入曲面方程及；投影。例1、计算解：由定义知，被积分函数是定义在积分曲面上的，即可将曲面的方程代入被积函数。例

8、2、计算所围四面体的边界。解：，在上，被积函数，故积分为0，故原式例3、计算所围区域的边界。解：故原式例4、计算在第一卦限部分。解：，（请记住上面的球面面积元素表达式）例5、计算围成的闭曲面。解：，同理，故原式例6、求均匀曲面的重心。解：由对称性，且，故重心为例7、求密度为的均匀半球壳对的转动惯量。解：§5、对坐标的曲面积分一、概念与性质1、曲面的侧曲面一般为双侧。对非封闭曲面，如可分为上侧、下侧，可分为右侧、左侧，可分为前侧、后侧。对封闭曲面可分为外侧、内侧。2、有向曲面选定了侧的曲面称为有向曲面，其法向量方向与曲面的侧一致。3、有向曲面在面上的投影设为有向曲面上的一片小曲面，为在

9、面上投影的面积。若上各点的法向量与轴夹角余弦有相同的符号，则定义在面上的投影类似可定义有向曲面在面上的投影。4、定义设为定义在有向光滑曲面上的有界函数。经分割、做积、求和，若极限存在，则称之为在上对坐标的面积分或第二类面积分，记为，其和记为。5、性质可加性；方向性，为与方向相反的曲面二、计算方法1、若的方程为，取上侧 (+)，则，为面上的投影区域，若取的下侧 (-)，则。2、若的方程为，取，则3、若的方程为，取，则计算要点：代入曲面方程；投影（）；侧（）。例1、的下侧。解：例2、所围区域的外侧。解：，例3、的外侧。解：，例4、上侧。解：的方程为，对于，如图，同理，故例5、，其中是平面所围成区域边界的外侧。解：如图，显然，又因为面上的投影为0，由定义知，从而，同理，。对于，取上侧，如图，同理，得，故三、两类面积分的联系设曲面的方程为，由P121知，得同理，或其中（P51）为上点处法向量的方向余弦。例6、将化成第一类面积分，为在第一卦限部分上侧。解：故§6、高斯公式 通量与散度一、高斯公式定理：设空间闭区域由分片光滑的闭曲面围成，在上一阶偏导连续，则其中是边界的外侧。若是边界的内侧，则例1、所围区域的外侧。解：，故例2、所围区域的内侧。解：故例3、的下侧。解：此类题的关键是补上一块曲面将封闭。，其中，上侧由于在面上的投影为0，由定义可得，又显然，从而，故例4