线性代数总复习大纲及复习题

1、04-05(2) 线性代数总复习大纲及复习题：一、 概念1、 行列式的 定义2、 向量组相关与无关的定义3、 对称阵与反对称阵4、 可逆矩阵5、 矩阵的伴随矩阵6、 基与向量的坐标7、 矩阵的特征值与特征向量8、 正定矩阵9、 矩阵的迹10、 矩阵的秩11、 矩阵的合同12、 二次型与矩阵13、 齐次线性方程组的基础解系二、 性质与结论1、 与向量组相关与无关相关的等价结论2、 行列式的性质3、 克莱姆规则（齐次线性方程组有非零解的充要条件）4、 矩阵可逆的充要条件及逆矩阵的性质5、 初等变换与初等矩阵的关系6、 A7、 n维向量空间坐标变换公式8、 相似矩阵的性质9、 合同变换10、 矩阵正

2、定的充要条件11、 线性方程组解的性质与结构定理三、复习题及参考答案1若三阶行列式，则 = 12 2若方程组有非零解，则t=_1_。3已知齐次线性方程组 仅有零解，则 0 4已知三阶行列式D=，则元素=2的代数，余子式= -1 ；3.若n阶矩阵A、B、C满足ABC=E（其中E为n阶可逆阵），则BCA=E。（ 对 ） 4.行列式 （ 对 ） 5.对向量，如果其中任意两个向量都线性无关，则线性无关。（ 错 ） 6. 如果A是n阶矩阵且，则A的列向量中至少有一个向量是其余各列向量的线性组合。（ 对 ） 7. 向量组线性无关的充分必要条件是其中任一部分向量组都线性无关。（ 对 ） 8 矩阵是正定的。（

3、 对 ） 9. n阶矩阵A与B相似，则A与B同时可逆或同时不可逆。（ 对 ） 10已知向量组则当a= 1 或a= 2 时向量组线性相关。（ 对 ）11n阶矩阵A满足则A-3E可逆，A-2E可逆。 （ 对 ）12阵A与其转置具有相同的行列式和特征值。 （ 对 ）13如果n阶矩阵 A的行列式A=0，则A至少有一个特征值为零 。（ 对）14. 设A为n阶方阵，k为常数，则。 （ B ）15.设6阶方阵A的秩为3，则其伴随矩阵的秩也是3。 （ B ）16行列式 （ A ）17. 如果向量组线性相关，则每一个向量都能由其余向量线性表示。（ B ）18n阶矩阵A满足则A可逆。 （ A ）19若矩阵A可逆，

4、则AB与BA相似。 （ A ）20如果n阶矩阵 A的行列式A¹0，则A的特征值都不为零 。 （ A ）21矩阵是正定。 （ b ）22n阶单位矩阵的特征值都是1。 （ A ） （ A ） 24.果A是n阶矩阵且，则A的每一个行向量都是其余各行向量的线性组合。 （ B ） 25 矩阵A是m×n矩阵，齐次线性方程组AX=0只有零解的充要条件是A的列向量线性相关。（ A ） 26若矩阵A有特征值，则2一定是矩阵A的逆矩阵的特征值。 ( B )27 若为非齐次线性方程组的两个解，则为线性方程组 的解；A28如果，A中能否有秩等于零的阶子式？能否有秩等于零的阶子式？能否有秩不为零的阶

5、子式？答 A中不能有秩等于零的阶子式；能有秩等于零的阶子式；没有秩不为零的阶子式。29若则 （ 错 ）30已知元线性方程组，其增广矩阵为，当（ C ）时，线性方程组有解。 A、， B、； C、； D、31若线性方程组的增广矩阵经初等行变换化为 当（ B ）时，此线性方程组有惟一解A、-1,0 B、0,1 C、-1,1 D、1,232若三阶行列式D的第三行的元素依次为1、2、3，它们的余子式分别为2、3、4，则D=（ B ） A、-8 B、8 C、-20 D、2033. 设A为n阶方阵，且|A|=4，则|A|=_A_ 。（A） ； （B）； （C） ； （D）。34、行列式35设矩阵，矩阵B满足

6、，其中E为三阶单位矩阵，为A的伴随矩阵，则（ B ）. （A） ； （B）； （C）； （D）。36、 二次型的矩阵为 D（A）； （B）； （C）； （D）。 37设矩阵_1_ 。（A）0； （B）3； （C）1； （D）4。38设A、B均为三阶矩阵，且A=4，B=-2，则=_-8/27_。（其中为矩阵A的伴随矩阵）39设实对称矩阵，则与矩阵A相似的对角阵为_A_ 。（A）； （B）； （C）； （D）。40 设，则关于基的坐标为_（1，-2，3）和（-1，5，-3）_ 。41 矩阵的特征值是（ C ）A、，； B、，；C、，； D、，。42. 已知，求，答案 ， ， 。43 阶矩阵可以对角

7、化的充分必要条件是（ B ）。A、有个不全相同的特征值； B、有个线性无关的特征向量；C、有个不相同的特征向量； D、有个不全相同的特征值。44设矩阵，且满足方程2A+X=B-2X，则X=_。45设=2是非奇异矩阵A的一个特征值，则矩阵有一个特征值等于 B 。 （A）；（B）；（C）；（D）46设-3是三阶实对称矩阵A的二重特征值，且A的迹tr（A）=-1，那么的特征值为_1/5，-1/3，-1/3_ 。47已知线性方程组，参数t= _2_时，方程组有无穷多解。48设矩阵_C_ 。（A）0； （B）3； （C）2； （D）449行列式B （A）3； （B）-3； （C）6； （D）-6。50二

8、次型的矩阵为 51方阵A经过行的初等变换变为方阵B，且则必有 （ D ）52. 设A为m´n矩阵，B为n´m矩阵，且m<n，则 _|BA|=0_ 。53设矩阵A的逆矩阵为，则54设A为n阶可逆矩阵，是A的伴随矩阵，则 55已知向量组的秩为2，则t=_3 _。56设A为m×n矩阵，则齐次线性方程组AX=0仅有零解的充分条件是：（ A ）（A）A的列向量线性无关；（B）A的列向量线性相关；（C）A的行向量线性无关；（D）A的行向量线性相关。57设有向量组和向量b：则向量b由向量组的线性表示是 。A58设=2是非奇异矩阵A的一个特征值，则矩阵有一个特征值等于（ ）

9、。59方程组有一个基础解系为 601，2，3是四元非齐次线性方程组AX=B的三个解向量，且r（A）=3，1=（1，2，3，4）T，2+3=（0，1，2，3）T，c表示任意常数，则线性方程组AX=B的通解X=（ C ）（A）（1，2，3，4）T+c（1，1，1，1）T （B）（1，2，3，4）T+c（0，1，2，3）T（C）（1，2，3，4）T+c（2，3，4，5）T （D）（1，2，3，4）T+c（3，4，5，6）T61若三阶行列式（ 2 ） 62若三阶行列式D的第二行的元素依次1，2，4，它们的余子式分别为4，2，1，则D=（ -4 ） 63设A和B为可逆矩阵，为分块矩阵，则X-1= 64设A和B均为n阶方阵，且满足BA=0，则必有（ |A|=0或|B|=0 ）。 65设三阶矩阵A的特征值为3，3，-3，则行列式( -8 )。66设矩阵，则（ ） 。 67二次型的矩阵为( ). （A）； （B）； （C）； （D）。68设有向量组1=（1，-1，2，4）,2=（0，3，1，2）3=（3，0，7，14）,4=（1，-2，2，