第五章定积分及其应用(424)

1、第五章 定积分及其应用习题 A一、选择题1、，则下列不等式成立的是（ ）；（A） （B） （C） （D）2、定积分 =（ ）；（A）0 （B） （C） （D）3、设，则（）；（A） （B） （C） （D）4、下列各式中正确的是（）；（A） （B）（C） D.5、定积分，作适当变换后应等于（）；（A） （B） （C） （D）6、如，则（）（A） （B） （C） （D）7、曲线围成图形面积为（）；（A）；（B）；（C）；（D）8、椭圆的面积为（）；（A）；（B）；（C）；（D）9、曲线（）与x轴围成的平面图形绕x轴旋转一周而成的旋转体体积等于（ ）；（A） （B） （C） （D）10、由曲线与x轴

2、围成的平面图形的面积=（ ）。（A）（B）（C）（D）二、定积分的计算1、 利用定积分的定义计算：。2、 。3、。 4、。 5、 。6、 。 7、。8、。 9、。10、。 11、。12、。13、。14、。 15、。16、。 17、。18、。 19、。20、。 21、。22、。 23、，求。24、已知，求值，使。25、 。 26、 。27、。28、求由确定的隐函数对自变量的导数。29、设求的值。30、已知是连续函数，求。三、解答题1、求常数和，使得。2、（1）设，求；（2）求。3、（1）求的单调区间； （2）设，求。4、（1）设在上连续，证明； （2）设，求； （3）设连续，且，证明在上有且仅有

3、一根。5、（1）设为的一个原函数，求； （2），连续，求。6、设，求。7、设函数，其中连续，存在且；（1）求的值，使得在处连续；（2）再研究在处的连续性。8、设连续，且满足，求。9、求函数在区间上的最大值。10、求，其中连续，且已知。四、证明题1、设在上连续，证明。2、设连续，且，证明在上有且仅有一根。3、求证：。4、设连续，证明。5、设是以为周期的函数，证明。6、证明。五、求面积体积1、求由曲线与直线所围平面图形的面积。2、求由曲线与直线所围平面图形的面积。3、求由曲线与直线所围平面图形的面积及该图形绕轴旋转一周的体积。4、求曲线及直线所围平面图形的面积。5、直线平分由曲线与直线及所围平面图

4、形的面积，求。6、求曲线及所围平面图形绕轴，绕轴旋转一周生成的立体体积。7、求抛物线及在点处切线、轴所围平面图形的面积。8、求由曲线直线及所围平面图形的面积及绕轴旋转一周所生成的立体体积。9、（1）求由曲线及直线轴围成图形的面积（）； （2）当为何值时，面积最大。习题B一、选择题1、把时的无穷小排列起来，使得排列在后面的是前一个的高阶无穷小，则排列次序是（ ）；（A） （B）, （C） （D）2、设连续，则=（ ）；（A） （B） （C）2 （D）-23、设连续，则=（ ）；（A） （B）（C） （D）4、当时，与比较是（ ）；（A）高阶无穷小 （B）低阶无穷小C.同阶但非等价无穷小D.等价无

5、穷小5、设则下列结论中正确的是（）；（A）是极大值，是极小值（B）是极小值，是极大值（C）和是极小值，是极大值（D）和是极大值，是极小值6、设有连续导数且，令当时，与相比是同阶无穷小，则（）；（A）1 （B） 2 （C） 3 （D） 47、设在的某邻域内连续，当时，是的高阶无穷小，则当时，是的（）；（A）等价无穷小（B）同阶但非等价无穷小 （C）高阶无穷小 （D）低阶无穷小8、设在，连续且，记，则下列不等式成立的是（）；（A） （B） （C） （D）9、曲线与其过原点的切线及轴所围成的图形面积为（）；（A）B.（C） （D）10、设在连续，令，则（ ）；（A） （B） （C） （D）11、设，

6、则=（ ）；（A）（B）（C） （D）012、设广义积分收敛，则的取值范围是（ ）；A. （B） （C） （D）13、已知则（ ）；（A） （B） （C） （D）14、曲线（）与x轴围成的平面图形绕x轴旋转一周而成的旋转体体积等于（ ）；A. （B） （C） （D）15、由曲线与x轴围成的平面图形的面积=（ ）；（A）（B）（C）（D）16、双纽线围成的平面图形的面积为（ ）；（A） （B）（C） （D）17、设其中则下列结论正确的是（ ）；（A）只依赖 （B）只依赖 （C）只依赖 （D）只依赖18、设连续，则下列函数中必为偶函数的是（ ）。（A） （B） （C） （D）二、定积分的计算1、

7、设 求 。2、 。 3、。4、。 5、 。6、 7、 。8、。 9、。10、 。 11、。12、。 13、 。 14、。15、已知曲线与在（0，0）处切线相同，写出此切线方程，并求极限。16、设为连续函数，求。三、解答题1、设函数连续，且，已知，求。2、设函数在内满足，且，计算。3、设函数在上连续，（1）证明：；（2）当，利用（1）的结论求。4、已知求在0，1上的表达式；5、设求。四、证明题1、设连续，证明：。2、设在上连续，在内可导且，证明在内有。3、设在上连续且，证明（1）；（2）方程在内有且仅有一个根。4、证明（1）5、设是0，1上单调减少的正值连续函数，则。6、证明等式，其中连续，。并

8、计算7、设为连续函数，证明。8、设在0，1上连续，在（0，1）内可导，且满足证明至少存在一点，使得。五、求面积体积1、求心脏线与图所围各部分的面积。2、求由曲线和该曲线的经过原点的切线以及轴所围图形的面积。3、求由，所围成的平面图形绕轴旋转而得旋转体体积。4、求由曲线所围成的平面图形的面积。5、已知曲线与曲线在点处有公共切线，求：求：（1）常数及切点； （2）两曲线与轴围成的平面图形的面积； （3）两曲线与轴围成的平面图形绕轴旋转而得旋转体体积。6、设曲线轴和轴所围区域被曲线分为面积相等的两部分，试确定的值。7、由抛物线绕轴旋转一周构成的容器，现于其中盛水，水高，问要将水全部抽出，外力需要作多

9、少功？（水的比重为）8、求曲线在（2，6）内的一条切线，使得该切线与和曲线所围成的图形面积最小。9、设直线与抛物线所围成的图形面积为，它们与直线所围成的图形面积为，并且，（1）确定的值，使达到最小，并求出最小值；（2）求该最小值所对应的平面绕轴旋转一周而得旋转体体积。10、设有边长为，的矩形板及密度为的液体，将矩形板与液面成角斜沉于液体中，且矩形的长度为的一组平行边平行于液面，上部一边在液面下处，求它每面所承受的压力。习题 A答案一、选择题（1）D （2）C（3）C （4）C （5）B （6）A （7）C （8）A （9）C （10）C 二、计算题1、 提示：化极限的形式，此极限是定积分的值2

10、、 3、4、（周期为的函数在上的积分与上的积分相等）5、 6、 7、 8、2 9、10、11、12、13、14、本题另一解法：先作变量代换再用奇偶性来解15、16、17、18、19、20、21、22、，23、24、。25、 26、 27、2 28、29、由题设即所以。30、解法1：注意到=0，使用罗比达法则，有= = =解法2；利用积分中值定理，有=在与之间） =解法3：利用微分中值定理，令，则，于是=（在与之间） =。三、解答题1、2、（1）（2）3、（1）。 （2）两边对求导：4、（1）（2）（3）；（存在性） 又因为：，所以最多有1个实根；（唯一行）在上有且仅有一根。5、（1）（2）注：

11、本题也可以用积分中值定理来解。7、解：由于，可知当时，在处连续。8、等式两边同时对求导：故所以9、可证在上单调增加，故在取得最大值，可算得四、证明题1、2、；（存在性） 又因为：， 所以最多有1个实根；（唯一行）在上有且仅有一根。3、4、左边令有：5、如果：如果： 所以：。6、左边令，五、求面积体积1、求由曲线与直线所围平面图形的面积。解： 如图2、求由曲线与直线所围平面图形的面积。解： 如图3、求由曲线与直线所围平面图形的面积及该图形绕轴旋转一周的体积。解： 如图4、求曲线及直线所围平面图形的面积。解： 如图5、直线平分由曲线与直线及所围平面图形的面积，求。解： 如图6、求曲线及所围平面图形

12、绕轴，绕轴旋转一周生成的立体体积。解： 7、求抛物线及在点处切线、轴所围平面图形的面积。解： 如图 切线：8、求由曲线直线及所围平面图形的面积及绕轴旋转一周所生成的立体体积。解： 如图9、（1）求由曲线及直线轴围成图形的面积。（） （2）当为何值时，面积最大。解：（1）如图， （2） 习题B答案一、选择题（1）B （2）A （3）A （4）C （5）C （6）D （7）C （8）B （9）A （10）B (11）C(12）B（13）A (14）C (15）C (16）A (17）C (18）.D二、计算题1、2、 3、 4、令，5、分部积分得： 6、设，=故7、8令故9、 10、令，注意到被积

13、函数的奇偶性定积分的几何意义，易得原式=11、 12、 13、发散 14、15、由题目条件得所以切线方程为=2三、解答题1、令得两边对求导：2令即得2、= 令=再 得原式=3、证明（1）：分析：比较等式两边的积分限，可获启发，知应如何变形；进一步比较，知应作何变换。设：即解（2）：在两边同乘以并从积分得：=+注：观察左边两个积分，第一个积分的被积函数是偶函数；=2（利用（1）的结论）=第二个积分：由于是一个常数所以=。4、令，再两边对求导5、解得：所以四、证明题1、对左边令，第一式分部积分即等于右式2、利用积分中值定理和拉格朗日中值定理立得3、由介值定理可知：在内至少有一个根，由单调递增方程在内有且仅有一个根。4、（1）利用定积分的估值性：在上最大、小值为1，所