第二章 数列极限

1、第二章 数列极限§1.数列极限概念1. 设(1) 对下列分别求出极限定义中相应的,(2) 对可找到相应的,这是否证明了趋于0？应该怎样做才对：(3) 对给定的是否只能找到一个？解：（1）对0.1，取(2) 对 ，取 (3), 取2按定义证明：（1）证：因为所以，取，必有。故 （2）证：因为于是，取，有。所以（3）；证：当时，有（4）证：因为，于是，取，必有。所以（5）证：，当时，3.根据例2，例4和例5的结果求出下列极限，并指出那些是无穷小数列：（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）解：（1）（用例2的结果，），无穷小数列。（2），（用例5的结果，）（3），（用例2的结果，），无

2、穷小数列。（4），（用例4的结果，），无穷小数列。（5），（用例4的结果，），无穷小数列。（6），（用例5的结果，）。（7）,（用例5的结果，）。4证明：若，则对任一正整数，有证：由，据定义，当时即有5试用定义证明：（1）数列不以1为极限;证：(1)对于常数1,存在,对于任何N,总有虽然但有数列的不以1为极限.（2）数列发散。证：数列=，对任何，取，则数列中所有满足“n为偶数，且”的项（有无穷多个），都落在a的邻域之外，故数列不以任何数a为极限，即数列发散。6证定理2.1 数列收敛于a充要条件是：为无穷小数列。（即的充要条件是）证：（必要性）设，由数列极限的定义，有，所以。（充分性）设，由数列

3、极限的定义，有，所以。下面证明：数列的极限是1。因为是无穷小数列，所以数列的极限是1。7.证明:若,则.当且仅当a为何值时反之也成立?证：，故8.按定义证明：(1)(2)(3),其中证明：（1）因为。于是，取，必有，从而。（2）因为，于是，取，必有，所以（3）当n为偶数时,要使 当n为奇数时,要使§2 收敛数列的性质1求下列极限：(1) (2) (3)(4)(5) (6)解：（1） （2） （3） （4） （5） （6）2. 设,且.证明:存在正数N,使得当时有证：取,当时,有可得当时,有可得取3. 设为无穷小数列,为有界数列,证明:为无穷小数列.证：因为为有界数列，所以存在，使得。

4、由为无穷小数列，知，。从而当时，有，所以，即为无穷小数列。4. 求下列极限：(1)解：(2);解:,而,(3)解：(4)解：当时，而，所以。(5)解：而，由迫敛性(6)解：，由迫敛性，5.设中一个是收敛数列,另一个是发散数列.证明是发散数列.又问是否必为发散数列?证：（用反证法证明）不妨设是收敛数列，是发散数列。假设数列收敛，则收敛，这与是发散数列矛盾，所以，数列发散。同理可得数列发散。和不一定是发散数列。例如，若是无穷小数列，是有界的发散数列。则和是无穷小数列，当然收敛。但是，有下列结果：如果，是发散数列，则和一定是发散数列。6.证明以下数列发散:(1)证：设，则，而，由P.33，定理2.8

5、 知发散。(2)证：的偶数项组成的数列，发散，所以发散。(3)证：设，则子列，子列，故发散。7.判断以下结论是否成立(若成立,说明理由;若不成立,举出反例)（1）若和都收敛，则收敛。解：结论不一定成立。例如，设，则，都收敛，但发散。注：若和都收敛，且极限相等（即），则收敛。（2）若，和都收敛，且有相同的极限，则收敛。证：设，则由数列极限的定义，知，；同样也有，；，。取，当时，对任意的自然数n，若，则必有，从而；同样若，则必有，从而也有；若，则必有，从而。所以，即收敛。8.求下列极限:(1)(2)(3)(4)解：(1)应用数学归纳法可证得不等式:又利用收敛性得(2)又根据收敛性可得（3）所以，另

6、解因为，所以，于是，从而。（4）因为则，则由定理2.8知 又由得9.设为m个正数,证明:证：设于是有，又由迫敛性可得 10.设证明:(1)； (2)若证：（1）因为，所以。由于，且，从而。（2）因为，由P.29 定理2.4，存在，使得当时，有。于是，并且，所以。§3 数列极限存在的条件1.利用求下列极限:(1) (2) (3)(4) (5)解：（1）（2）（3）（4）注：此题的求解用到事实（P.29例1）：若，且，则。（5）因为数列单调增加，且有上界 3，于是，所以2.试问下面的解题方法是否正确:求解:设由于,两边取极限得a=2a,所以a=0.解：不正确。因为极限是否存在还不知道（事

7、实上极限不存在），所以设是错误的。3.证明下列数列极限存在并求其值:(1)设(2)设(3)证明：(1)数列的一般项为且为单调递增数列,故必有极限.设,两边取极限得.(2)故单调增,故有上界,为单调有界数列,故必有极限.设两边取极限,得,得 ,不合题意,(3)对于任意的,总存在自然数N,使得N>c,于是当n>N时,又为单调递减有下界,故必有极限.设令4.利用为递增数列的结论,证明为递增数列.证：设，要证：，即因为为递增数列，所以有，即，于是。其中用到事实：5.应用柯西收敛准则,证明以下数列收敛:(1)(2)证明：(1)由柯西准则,收敛（2）不妨设，则有所以，取，有，由柯西收敛准则，收

8、敛。6.证明:若单调数列含有一个收敛子列,则收敛. 证：不妨设是单调增加数列，是其收敛子列。于是有界，即存在，使得。对单调增加数列中的任一项必有，即单调增加有上界，从而收敛。7.证明:若证明：由,可取,则, 当时,由迫敛性定理,8.证明:若为递增(递减)有界数列,则又问逆命题成立否?证：证明过程参考教材P.35，定理2.9（单调有界定理）。逆命题不一定成立。例如数列，但不单调。9.利用不等式证明:为递减数列,并由此推出为有界数列.证：设，由不等式，有，于是，。在上式中令，得即，故为递减数列。而，所以为有界数列。10.证明:提示:利用上题可知又易证证：由上题及本节习题1（2）知，递减且则有；又因

9、递增且则有11.给定两正数,作出其等差中项与等比中项,一般地令.证明:皆存在且相等. 证：，而设在n=k时，成立，在n=k+1时，由，由归纳法知对一切n,成立即递减,递增。且故、有极限。令，由由12.设为有界数列，记证明：（1）对任何正整数n有（2）为递减有界数列，为递增有界数列，且对任何正整数n,m有 （3）设分别是和的极限，则 （4）收敛的充要条件是证：（1）是同一个数集上的上、下确界，所以（n=1,2,）（2）由于，即是递减数列。同理递增。则对任何正整数n、m有，当m<n时，当时，故对任何正整数n、m总有即有下界，有上界（3）由（2）及单调有界定理及的极限存在，由（1）有 （4）（

10、充分性）设任给自然数n有， 由迫敛性定理知：（必要性）设，则任给 即从而当n>N时，有所以，由的任意性知总练习题1. 求下列数列的极限:(1) (2) (3)解：(1)用归纳法可证,又，由迫敛性知 (2), (3)2.证明： (1) (2)(3)证：（1）（2）（3）证3.设,证明:(1)(又问由此等式能否反过来推出);（2）若(1)证：因为，于是有，。从而当时，有其中是一个定数。再由，知存在，使得当时，。因此取，当时，有。反过来不一定成立。例如不收敛，但。(2) 证：由，知。若，则。由上一小题的结论，有而，所以。若，即，则，。从而当时，有其中，是定数，故，于是存在，使得当时，。因此取，

11、当时，有，故4.应用上题结论证明以下各题:(1) （2） （3）（4） （5） （6）（7）（8）（1）证： 令则，故得证。由于(2) 证：令，则，从而(3) 证：令，则，于是(4) 证：令，则，所以(5) 证：令，则，所以另证令，则。于是。(6) 证：因为，所以(7)证：(8) 证：设5.证明:若为递增数列,为递减数列,且则都存在且相等.证：由有界性A、B,使即为递增数列有上界，为递减数列有下界6.设数列满足:存在正数M,对一切n有证明:数列都收敛.证：(i)为单调且有上界.收敛 ( ii)由收敛, 从而 由柯西准则,收敛7.设证明:数列收敛,且其极限为.证：对一切n成立,因而有下确界,的平均值,所以单调下降.由单调有界收敛定理,知存在.设两边取极限是8.设,记证明:数列的极限都存在且等于证：（1）因为,则有设所以对一切自然数n有(2)由(1)得即于是递减,递增.(3)结合(1)、（2）知 ：递减且有下界,递增且有上界,由单调有界定理知的极限都存在.设.在两边令得,解得a=b. 又由令得所以a=b=9.按柯西收敛准则叙述数列发散的充要条件,并用