【创新方案】2013年高考数学一轮复习第三篇导数及其应用第2讲导数的应用(一)教案理新人教版

1、第 2 讲导数的应用(一)【2013 年高考会这样考】1 利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间.2 由函数单调性和导数的关系，求参数的范围.【复习指导】本讲复习时，应理顺导数与函数的关系，理解导数的意义，体会导数在解决函数有关问题时 的工具性作用，重点解决利用导数来研究函数的单调性及求函数的单调区间.IK AOJIIZIZHUDAOXIUE -冷考基自主导学基础梳理1 导数的几何意义函数y=f(x)在x=xo处的导数f(xo)是曲线y=f(x)在点(xo,f(xo)处切线I的斜率，切线I的方程是y_f(xo) =f(xo)(x_xo) 2.导数的物理意义若物体位移随时间变化的关系为s=

2、f(t)，则f(to)是物体运动在t=to时刻的瞬时速度.3 函数的单调性在(a,b)内可导函数f(x),f(x)在(a,b)任意子区间内都不恒等于 0.f (x)0?函数f(x)在(a,b)上单调递增;f (x)0?函数f(x)在(a,b)上单调递减.助摩 一 o.在(a,b).上成立是,f(x).在(a,b)上单调递增的充分.条件(2) 对于可导函.数.f.(x)., f .Lx?) = o 是函数. .f.(.x)在.x=xo.处有极值的必要不充分条件:.三个步骤求函数单调区间的步骤;(1) .确定函.数.f(.x)的定义域;.(2) 一 .求导数.f(.x).；(.3).由.f.(_x

3、.)_ .o(.f.(.X) 一 Q 时，f.(x)在相应的区间上是增函数； 当.f 0 解得xv0，或x 2.答案(30),(2,+3)扶鼻”首先要分清是求曲线y=f(x)在某处的切线还是求过某点曲线的切线.(1)求曲线y=f(x)在x=xo处的切线方程可先求f(xo)，利用点斜式写出所求切线方程；(2) 求过某点的曲线的切线方程要先设切点坐标，求出切点坐标后再写切线方程.【训练 1】 若直线y=kx与曲线y=x3 3x2+ 2x相切，试求k的值.解 设y=kx与y=x3 3x2+ 2x相切于P(xo,yo)则yo=kxo，32B. 3D. 15x的递减区间是().B. 1,+3)D. 1,

4、0) , (0,1y=x2 Inx上任意一点，则点P到直线y=x 2B. 2D. 3xxHHKAOXIANGTAN JIUDOXII一一一八一一八一一一八一一 一-一一一 “ +八八一八一一八八一八亠八02 $薯向探究导桁研折君向例靈碟考向一求曲线切线的方程_32【例 1】？已知函数f(x) =x-4x+ 5x 4.(1) 求曲线f(x)在x= 2 处的切线方程；求经过点A(2 , 2)的曲线f(x)的切线方程.审题视点由导数几何意义先求斜率，再求方程，注意点是否在曲线上，是否为切点.2解f(x) = 3x 8x+ 5f (2) = 1,又f(2) = 2曲线f(x)在x= 2 处的切线方程为

5、y ( 2) =x 2,即卩xy 4= 0.设切点坐标为(Xo,X0 4X0+ 5xo 4)2f(xo) = 3xo 8xo+ 5则切线方程为2y ( 2) = (3xo 8xo+ 5)(x 2),又切线过(xo,xo 4xo+ 5xo 4)点,322则xo 4xo+ 5xo 2 = (3xo 8xo+ 5)(xo 2),整理得(xo 2)* vii(xo 1) = o,解得Xo= 2,或xo= 1 ,因此经过A(2 , 2)的曲线f(x)的切线方程为xy 4 = o,或y+ 2= o.yo=xo 3xo+ 2xo，又y= 3x2 6x+ 2,.k=yIx=xo= 3x 6xo+ 2，vi程为

6、y 1 =x 1，即xy= 0.两直线xy= 0,xy 2= 0 之间的距离为d= =2.2答案 B4._ (人教 A 版教材习题改编)在高台跳水运动中，ts 时运动员相对水面的高度(单位：m)是t1(t) = 4.9t2+ 6.5t+ 10,高台跳水运动员在t= 1 s 时的瞬时速度为 _ .答案3.3 m/svii32由得：(3xo 6xo+ 2)xo=xo 3xo+ 2xo,2即(2xo 3)xo= o.(1)若f(X)在1 ,)上是增函数，求实数a的取值范围；若x= 3 是f(x)的极值点，求f(x)的单调区间.审题视点函数单调的充要条件是f(x)0或f(x)W0且不恒等于 0.解对f

7、(x)求导，得f(x) = 3x- 2ax 3. t(x)min= |(1 1) = 0.aw0.由题意，得f (3) = 0,即 27 6a 3 = 0,| 2 2a= 4. f(x) =x 4x 3x,f(x) = 3x 8x 3.1令f(x) = 0，得viii ix x xi xii xiii xiv xvi= 3，X2= 3.当x变化时,f(X)、f(x)的变化情况如下表:x(-8,-3)13:-33)3(3, +m)f (X)+00+f(x)极大值极小值当xJm, 3 I, 3,+8)时，f(x)单调递增，当x 3, 3 时，f(x)单调递减.又一 2x3,. e_2exe3，只需

8、ae【当a= e3时f(x) = ex e3在x ( 2,3)上，f(x)0(或f(x)x0)即可.【训练 2】已知函数f(x) = exax 1.(1) 求f(x)的单调增区间；(2) 是否存在a,使f(x)在(2,3)上为减函数，若存在，求出a的取值范围，若不存在，说明理由.解f(x) = exa,(1)若aw0,贝 yf(x) = exa0, 即f(x)在 R 上递增，xvx右a0, e a0, e a,xlna.因此f(x)的递增区间是Ina,+).由f(x) = exawo在(一 2,3)上恒成立.aex在x ( 2,3)上恒成立.由f(x)0,得aw2xx.记t(x) = 2x-x

9、，当x1时，t(x)是增函数, ae3.故存在实数ae3,使f(x)在(2,3)上单调递减.考向三利用导数解决不等式问题【例 3】？设a为实数，函数f(x) = ex 2x+ 2a,x R.(1)求f(x)的单调区间与极值；求证：当a In 2 1 且x0 时，exx2 2ax+1.x2审题视点第问构造函数h(x) = e x+ 2ax 1,利用函数的单调性解决.(1)解 由f(x) = ex 2x+ 2a,x R 知f(x) = ex 2,x R令f(x) = 0，得x= In 2，于是当x变化时，f(x),f(x)的变化情况如下表x(a,In 2)In 2(In 2,+a)f (X)一0+

10、f(x)单调递减2(1 In 2 +a)单调递增故f(x)的单调递减区间是(一R,In 2，单调递增区间是In 2 ,+),f(x)在x= In 2 处取得极小值，极小值为f(ln 2) = eln 2 2ln 2 + 2a= 2(1 In 2 +a).XQ证明设g(x) = e x+ 2ax 1,x R,于是g(x) = ex 2x+ 2a,x R由(1)知当aIn 2 1 时，g(x)的最小值为g (In 2) = 2(1 In 2 +a) 0.于是对任意x R,都有g(x)o,所以g(x)在R内单调递增.于是当aIn 21 时，对任意x(0,+s)，都有g(x)g(0).而g(0) =

11、0,从而对任意x (0,+s),g(x) 0.即 exx2+ 2ax 1 0，故 exx2 2ax+ 1.*”利用导数证明不等式要考虑构造新的函数，利用新函数的单调性或最值解决不等式的证明问题.比如要证明对？x a,b都有f(x) g(x)，可设h(x) =f(x) g(x)只要利用导数说明h(x)在a,b上的最小值为 0 即可.【训练 3】 已知 R,函数f(x) = (x2+m灶m)ex(1)若函数没有零点，求实数m的取值范围；当 m= 0 时，求证f(x) x2+x3.(1)解 由已知条件f(x) = 0 无解， 即x2+mx+ n= 0 无实根，则=m 4n0,解得 0g(0)即 ex

12、x 1 0,因此x2(exx 1) 0,整理得2 x 323xe x+x,即f(x) x03渺 考题专项突破老題展示名肺站谚阅卷报告2-书写不规范失分【问题诊断】 利用导数求解函数的单调区间是高考的热点内容，这类问题求解并不难，即只需由f x 0 或fl xv0,求其解即得但在求解时会因书写不规范而导致失分【防范措施】 对于含有两个或两个以上的单调增区间或单调减区间，中间用“，”或“和”连接，而不能用符号“U”连接 1【示例】？设函数f(x) =x(ex 1)于2，求函数f(x)的单调增区间.错因结论书写不正确，也就是说不能用符号“U”连接，应为(R, 1)和(0 ,+)实录f(x) = ex

13、 1 +xexx= (ex 1) (x+ 1)，令f(x) 0 得，xv1 或x 0. 所以函数f(x)的单调增区间为(一a, 1)U(0,+).1正解因为f(x) =x(ex 1) qx2,所以f(x) = ex 1 +xexx= (ex 1) (x+1).令f(x) 0，即(ex1)(x+ 1) 0,得xv1 或x 0.所以函数f(x)的单调增区间为(a, 1)和(0，+a).【试一试】 设函数f(x) =ax3 3x2, (a R)，且x= 2 是y=f(x)的极值点，求函数g(x)=exf(x)的单调区间.尝试解答f(x) = 3ax2 6x= 3x(ax 2).因为x= 2 是函数y=f(x)的极值点.所以f (2) = 0，即 6(2a 2) = 0，因此a= 1,经验证，当a= 1 时，x= 2 是函数