第四章不定积分学习指导书

1、第四章 不定积分教学与考试基本要求：1理解原函数与不定积分的概念；2会灵活运用不定积分的性质及基本积分公式求不定积分；3会灵活运用第一类换元积分法求不定积分，会用第二类换元积分法来求被积函数含有根式的不定积分；4会灵活运用分部积分法求不定积分；5会计算简单有理函数的不定积分.4.1 不定积分的概念及性质一、主要内容回顾表4-1不定积分的概念及性质原函数的概念如果在某区间上可导函数的导函数为，即对每一，都有 或 则函数就称为在该区间上的原函数.原函数存在的条件如果函数在区间上连续，则在上存在可导函数，使，即连续函数一定有原函数.注若在上有原函数，则有无数多个原函数.任意两个原函数只相差一个常数.

2、不定积分的概念在区间上，的所有原函数称为函数 在区间上的不定积分，记作.若是在区间上的原函数，则，其中为任意常数.基本积分公式（1）.（2）.（3）.（4）.（5）.（6）.（7）.（8）.（9）.（10）.（11）.（12）.（13）.不定积分的性质（1）两个函数和（差）的不定积分等于这两个函数的不定积分的和（差），即.（2）求不定积分时，被积函数中不为零的常数因子可以提到积分符号外面来，即（为常数，且）.不定积分与微分的关系先积后微，形式不变；先微后积，相差一个常数.即（1）或 .（2）或 .二、基本题型及例题题型I判断题（对者打“”，错者打“”）（1）（ ）（2） （ ）解（1）由可知本

3、题是对的.（2）由可知，.所以本题是错的.题型II选择题（1）若的导函数是，则的一个原函数是（ ）A.B.C.D.（2）则（ ）A.B.C.D.解（1）由已知，设是的一个原函数，即. 则，将被选答案代入验证得. 故选B.（2）将所给等式的两端对求导，得，故选A.题型III计算题（1）；（2）；（3）.解（1）.（2）.（3）.题型IV应用题一曲线通过点，且在任一点处的切线的斜率等于该点横坐标的倒数，求该曲线的方程.解 由导数的几何意义，得.则.又，所以.故该曲线的方程为.三、习题选解（习题4-1）1求下列不定积分（3）；（9）；（10）；（13）；（15）；（17）.解（3）.（9）.（10）

4、.（13）.（15）.（17）.3已知曲线上任一点处的切线斜率为，且曲线通过点，求此曲线方程.解设曲线方程为.由题意知：.两边同时对积分，得.又曲线过点，则代入上式，得.故.4设物体的运动速度为，当时，物体所经过的路程，求物体的运动规律.解设运动方程为，由导数的物理意义可知： .两边同时对求积分，得.又时，代入上式，得.故物体的运动规律为.4.2 换元积分法一、主要内容回顾表4-2换元积分法公式及常用公式第一类换元积分法（凑微分法）设法将被积函数凑成且的原函数容易求出，则有，其中.常用的凑微分公式（1）.（2）.（3）.（4）.（5）.（6）.（7）.（8）.（9）.第二类换元积分法先对积分变

5、量进行换元，简化被积函数的形式，再求积分，即令，其中及其导数都连续，且，则.常用的几种变量代换（1）被积函数中含有根式，令 或 .（2）被积函数中含有根式，令.（3）被积函数中含有根式，令.二、基本题型及例题题型I填空题（1）.（2）设是函数的一个原函数，则=.解（1）.（2）是函数的一个原函数，所以.则.题型II选择题（1）函数的一个原函数为（ ）A.B.C. D. （2）( )A.B.C. D. 解（1），所以选A.（2）令，则，. 则.所以选B.题型III计算题（1）；（2）；（3）；（4）.解（1）.（2）.（3）令，则.所以.（4）令，则，. 所以.三、习题选解2求下列不定积分（1）

6、；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）；（11）；（12）；（13）；（14）；（15）；（16）；（17）；（18）；（19）；（20）；（21）；（22）；（23）；（24）.解（1）.（2）.（3）.（4）.（5）.（6）.（7）.（8）.（9）.（10）.（11）.（12）.（13）.（14）.（15）令，则.所以.（16）.（17）.（18）.（19）.（20）.（21）.（22）令，则.所以.（23）令，即，则.所以.（24）令，则，.所以.4.3 分部积分法一、主要内容回顾表4-3分部积分法公式及常见类型分部积分公式,简记为.常见的分部积分类型

7、1多项式与指数函数（或三角函数）的乘积，将多项式选为，使用分部积分法，可以降低多项式的次数.2多项式与对数函数（或反三角函数）的乘积，将对数函数（或反三角函数）选为.使用分部积分法，可以在求积分的过程中去掉对数函数（或反三角函数）部分.3幂函数与三角函数的乘积，使用若干次分部积分法后，等式右边出现所求积分，此时只需解出所求积分即可.二、基本题型及例题题型I填空题（1）； （2）；（3）.解（1）.（2）.（3）.题型II选择题（1）设函数具有连续的导数，则=（ ） A. B. C. D.（2）=（ ） A. B. C. D.解（1）. 所以选A.（2）.所以选D.题型III计算题（1）；（2）

8、；（3）.解（1）.（2）.（3）.由，可得.故.三、习题选解求下列不定积分（其中均为常数）（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）；（11）；（12）；（13）；（14）；（15）；（16）；（17）；（18）.解（1）.（2）.（3）.（4）.（5）.（6）.（7）.（8）.（9）.（10）.（11）.（12）.（13）.（14）.（15）.（16）所以.（17）.所以.（18）.所以.4.4 三种函数简单形式的积分举例一、主要内容回顾表4-4三种函数的积分方法有理函数的积分首先将有理函数化成多项式与真分式的和，再把真分式部分利用待定系数法分解成若干

9、个最简真分式的代数和。最简真分式的形式只有四种：.三角函数有理式积分三角函数有理式的积分可通过万能公式化成有理函数的积分.简单无理式的积分对于被积函数含有无理根式的积分，总体思路是设法作根式代换使积分化成有理函数的积分.二、基本题型及例题题型计算题（1）求；（2）求；（3）求.解（1）设. 通分得 . 比较两边同次项系数得 .所以.（2）令，则，.所以.（3）令则.所以.三、习题选解1求下列不定积分（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）；（11）；（12）.解（1）.（2）.（3）.（4）令.通分得.比较对应项系数，得，.所以，.故.（5）.令.通分得

10、.比较对应项系数，得，.所以，.故.（6）令. 通分得. 比较对应项系数，得，. 所以，.故=.（7）令.通分得.比较两端同次项系数得.所以.故.（8）令，则，.所以.（9）令，则，.所以.（10）令，则.所以.（11）令，则.所以.（12）令，即. 所以.2利用以前学过的方法求下列不定积分.（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）；（11）；（12）；（13）；（14）.解（1）.（2）.（3）.（4）令，则.所以.（5）.（6）.（7）令.所以.（8）令，则.所以.（9）令，则，.所以.（10）.（11）.（12）.（13）.（14）.复习题四选解三、求下列积分1；2；3；4；5；6；7；8；9；10.解1.=.2.=.3.=.4.=.5.令，则，.所以=.6.令，则.所以=.7令，则，.所以=.8=.9令，则.所以=.10=.四、设为的原函数，求.解 依题意.则.五、（1）已知的一个原函数为，求. （2）已知的一个原函数为，求. （3）已知的一个原函数为，求.解 （1）.（2）依题意，则.（3）依题意，则.六、某产品边际成本函数，边际收益函数为，求总成本函数及收益函数，其中已知10000件物品的总成本为1200元.解 .令，则，.所以.依题意当时，.所以.则.同理可得.又当时，.所以.则.故总成