立体几何平行垂直的证明及角专题辅导

1、立体几何专题辅导(平行与垂直及角) 空间中平行与垂直关系的证明及线面角、二面角的方法总结：（一）线线平行的证明方法：1.垂直于同一平面的两条直线平行 2.平行于同一直线的两条直线平行 3.三角形的中位线 4.平行四边形对边平行5.一个平面与另外两个平行平面相交，那么两条交线也平行 6.线面平行的性质7.面面平行的性质 6.向量法：两直线的方向向量共线（二）线面平行的证明方法：1.线面平行的判定定理：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行2.面面平行的性质：如果两个平面平行，那么在其中一个平面内的直线和另一个平面平行3.向量法：直线的方向向量与平面的法向量

2、垂直（三）面面平行的证明方法：1.面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。2.面面平行的推论：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，则这两个平面平行。3.面面平行的传递性 4.垂直于同一条直线的两个平面平行 5.向量法 （四）线线垂直的证明方法1、等腰三角形底边的中线 2.菱形对角线互相垂直 3.勾股定理 4.直径所对的圆周角为直角 5.三垂线定理及其逆定理 6.线面垂直的性质 7.向量法（五）线面垂直的证明方法 1.线面垂直的判定定理 2.面面垂直的性质 3.向量法（六）面面垂直的证明方法 1.面面垂直的判定定理 2.证

3、明二面角为直二面角 3.向量法（七）空间中的角1.异面直线所成的角 范围是 解法：定义法 向量法：设异面直线l1，l2的方向向量分别为m1，m2，则l1与l2的夹角满足cos |cosm1，m2|.2.直线与平面所成的角：斜线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角 范围是；解法：定义法 向量法：设直线l的方向向量和平面的法向量分别为m，n，则直线l与平面的夹角满足sin |cosm，n|.3.二面角的平面角如图在二面角l的棱上任取一点O，以点O为垂足，在半平面和内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则AOB叫做二面角的平面角 范围是0，解法：定

4、义法 三垂线法 射影面积法 向量法： ()如图，AB、CD是二面角l的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小，()如图，n1，n2分别是二面角l的两个半平面，的法向量，则二面角的大小满足cos cosn1，n2或cosn1，n2 典例分析：1、如图，四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ADBC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点.（I）证明MN平面PAB;（II）求直线AN与平面PMN所成角的正弦值.2、正ABC的边长为2, CD是AB边上的高，E、F分别是AC和BC的中点(如图(1)现将ABC沿CD翻成直二面角ADCB(如图(2)在图(

5、2)中 (1)求证 AB平面DEF；(2)在线段BC上是否存在一点P，使APDE？证明你的结论；(3)求二面角EDFC的余弦值3、 如图，已知DEF与ABC分别是边长为1与2的正三角形，ACDF，四边形BCDE为直角梯形，且DEBC，BCCD，点G为ABC的重心，N为AB的中点，AG平面BCDE，M为线段AF上靠近点F的三等分点(1)求证：GM平面DFN；(2)若二面角MBCD的余弦值为，试求异面直线MN与CD所成角的余弦值4、5、如图，在三棱锥中，为的中点（1）证明：平面；（2）若点在棱上，且二面角为，求与平面所成角的正弦值6、如图，在四棱锥PABCD中，AB/CD，且.（1）证明 平面PA

6、B平面PAD；（2）若PA=PD=AB=DC，求二面角APBC的余弦值.2查看原图 图片加载中.7、.如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是平行四边形，ABAC2，AD2，PB，PBAC.(1)求证：平面PAB平面PAC；(2)若PBA45，试判断棱PA上是否存在与点P，A不重合的点E，使得直线CE与平面PBC所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由8、如图，在四棱锥中，点在平面内的射影恰为的中点，且（1）求证：平面平面；（2）求二面角的正弦值9、.如图，四棱锥中，底面是梯形，ABCD，AB=PD=4，CD=2，M为CD的中点，N为PB上一点，且.（1）若MN平面PAD；（2）若直线AN与平面PBC所成角的正弦值为，求异面直线AD与直线CN所成角的余弦值.10、.如图，在四棱锥中，底面是平行四边形， （1）求证：平面平面；（2）若，试判断棱上是否存在与点，不重合的点，使得直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由11、如图，四边形为正方形，分别为的中点，以为折痕把折起，使点到达点的位置，且.（1）证明：平面平面；（2）求与