第三节 微积分原理

1、第三节 微积分原理1定积分的概念一般地，设函数在区间上连续，用分点将区间等分成个小区间，每个小区间长度为（），在每个小区间上取一点，作和式：如果无限接近于（亦即）时，上述和式无限趋近于常数，那么称该常数为函数在区间上的定积分。记为：其中成为被积函数，叫做积分变量，为积分区间，积分上限，积分下限。说明：（1）定积分是一个常数，即无限趋近的常数（时）称为，而不是 （2）用定义求定积分的一般方法是：分割：等分区间；近似代替：取点；求和：；取极限：（3）曲边图形面积：；变速运动路程；变力做功 2定积分性质性质1 性质2（其中k是不为0的常数）（定积分的线性性质）性质3（定积分的线性性质）性质4（定积分

2、对积分区间的可加性）说明：推广： 推广: 性质解释：3微积分基本定理一般地，如果是在上有定义的连续函数，是在上可微，并且，则，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿莱布尼兹公式，为了方便，常常把，记作，即.4、常见求定积分的公式（1）（2）（C为常数）（3）（4）（5）（6）（7）定积分的计算1.求下列定积分（1）（2）（3）【解题思路】根据微积分基本定理，只须由求导公式找出导数为，的函数就可，这就要求基本求导公式非常熟悉.解：（1）（2）（3）题型2:换元法求定积分2.计算:【解题思路】：我们要直接求的原函数比较困难，但我们可以将先变式化为，再求积分，利用上述公式就较容易求得结果，方法简便易

3、行.解析：3计算：解析:84. .设则=（）A.B.C.D.不存在解析选C5.1|x|dx等于()A.1xdxB.1dxC.1(x)dxxdxD.1xdx(x)dx解析|x|1|x|dx1|x|dx|x|dx1(x)dxxdx，故应选C.6设f(x)，则f(x)dx等于()A.B.C.D不存在解析f(x)dxx2dx(2x)dx取F1(x)x3，F2(x)2xx2，则F1(x)x2，F2(x)2xf(x)dxF1(1)F1(0)F2(2)F2(1)02×2×22.故应选C.7.|x24|dx()A.B.C.D.解析|x24|dx(4x2)dx(x24)dx.8若(2x3x2

4、)dx0，则k()A0 B1C0或1 D以上都不对解析(2x3x2)dx(x2x3)k2k30，k0或1.9. 计算下列定积分：(1)2xdx；(2)(x22x)dx；3)(42x)(4x2)dx；(4)dx.解析(1)2xdxx225025.(2)(x22x)dxx2dx2xdxx3x21.(3)(42x)(4x2)dx(168x4x22x3)dx32168.(4)dxdx3ln2.10计算下列定积分：（1）； （2）。解：（1）因为，所以。（2）因为，所以。11.计算解：由于是的一个原函数，所以根据牛顿莱布尼兹公式有=12计算下列定积分：。由计算结果你能发现什么结论？试利用曲边梯形的面积表

5、示所发现的结论。解：因为，所以，. 13计算解：=+=+=14. 求下列定积分：（1）（2）解：（1）因为，所以=。（2）因为，所以=。定积分的应用例题.求在上，由轴及正弦曲线围成的图形的面积.【解题思路】：因为在上，其图象在轴上方；在上，其图象在轴下方，此时定积分为图形面积的相反数，应加绝对值才表示面积.y解析：作出在上的图象如右0x与轴交于0、，所2求积【名师指引】利用定积分求平面图形的面积的步骤如下：第一步：画出图形，确定图形范围第二步：解方程组求出图形交点坐标，确定积分上、下限第三步：确定被积函数，注意分清函数图形的上、下位置第四步：计算定积分，求出平面图形面积求平面图形的面积的一般步

6、骤：画图，并将图形分割成若干曲边梯形；对每个曲边梯形确定其存在的范围，从而确定积分上、下限；确定被积函数；求出各曲边梯形的面积和，即各积分的绝对值之和。关键环节：认定曲边梯形，选定积分变量；确定被积函数和积分上下限。知识小结：几种典型的曲边梯形面积的计算方法：（1）由三条直线x=a、x=b（ab）、x轴，一条曲线y=（0）围成的曲边梯形的面积：S，如图1。（2）由三条直线x=a、x=b（ab）、x轴，一条曲线y=（0）围成的曲边梯形的面积：S，如图2。（3）由两条直线x=a、x=b（ab）、两条曲线y=、y=（）围成的平面图形的面积：S，如图3。应用举例例1由yx3，x0，x2，y0围成的图形

7、面积分析：先画出图象，利用公式1转化为定积分问题即可解决解：如图1，由公式1，得S评注：注意定积分与利用定积分计算曲线围成图形的面积区别定积分是一种积分和的极限，可为正，也可为负或零，而平面图形的面积在一般意义上总为正一般情况下，借助定积分分别求出每一部分曲边梯形的面积，然后将它们加在一起例2由曲线yx2，y2x所围成图形的面积由yx21，yx，y在第一象限所围成图形的面积分析：先画图象找出范围，利用公式2，用积分表示，再求积分解：如图2，所求面积为阴影部分解方程组，得交点(0，0)，(1，1)，由公式2，得S如图3，解方程组和，得x0，x1(负的舍去)，x4由公式2，得图形面积S例3如图：求

8、直线y=2x+3与抛物线y=x所围成的图形面积。分析：从图形可以看出，所求图形的面积可以转化为一个梯形与一个曲边梯形面积的差，进而可以用定积分求出面积。为了确定出被积函数和积分和上、下限，我们需要求出两条曲线的交点的横坐标。解：由方程组，可得。故所求图形面积为：S（x3x）。例4求抛物线与直线围成的平面图形的面积解析：如图1，解方程组得两曲线的变点为方法一：选取横坐标为积分变量，则图中阴影部分的面积应该是两部分之和，即方法二：选取纵坐标为积分变量，则图中阴影部分的面积可据公式求得，即点评：从上述两种解法可以看出，对y积分比对x积分计算简捷.因此，应用定积分求平面图形面积时，积分变量的选取是至关

9、重要的.但同时也要注意对y积分时，积分函数应是，本题须将条件中的曲线方程、直线方程化为的形式，然后求得积分另外还要注意的是对面积而言，不管选用哪种积分变量去积分，面积是不会变的，即定积分的值不会改变.例5求由三条曲线所围图形的面积.解析：如图2，因为是偶函数，根据对称性，只算出轴右边的图形的面积再两倍即可解方程组和得交点坐标方法一：选择为积分变量，则方法二：可以选择y为积分变量，求解过程请同学们自己完成.点评：对称性的应用和积分变量的选取都影响着计算过程的繁简程度.1.=2. 3.=4.已知,当=时, .恒成立5. 计算以下定积分：；6.求曲线，及所围成的平面图形的面积.7. 如图，函数yx2

10、2x1与y1相交形成一个闭合图形(图中的阴影部分)，则该闭合图形的面积是()A1 B.C. D28. 已知函数yx2与ykx(k0)的图象所围成的阴影部分(如图所示)的面积为，则k_.9设f(x)则f(x)dx等于()A.B.C.D不存在10计算以下定积分：(1)(2x2)dx；(2)()2dx；(3)(sinxsin2x)dx；11. 下列等于1的积分是（）ABCD12. 等于A B. 2 C. -2 D.+213. 的值是ABCD14. 已知，则当取最大值时，=_.15. 计算：=16. 已知函数f（x）=3x2+2x+1，若成立，则a=_。17. 已知为偶函数，且，则_18. 计算下列定

11、积分。（本小题满分10分）（1）（2）19.求由三条曲线所围成的封闭图形的面积20.如图所示，已知曲线与曲线交于点O、A，直线(0<t1)与曲线C1、C2分别相交于点D、B，连接OD、DA、AB。（1）写出曲边四边形ABOD（阴影部分）的面积S与t的函数关系式；（2）求函数在区间上的最大值。21.已知通过点（1,2），与有一个交点，且a<0。如下图所示：（1）求与所围的面积S与a的函数关系。（2）当a,b为何值时，S取得最小值。归纳总结总结：1、定积分的几何意义是：、轴所围成的图形的面积的代数和，即.因此求一些曲边图形的面积要可以利用定积分的几何意义以及微积分基本定理，但要特别注意图形面积与定积分不一定相等，如函数的图像与轴围成的图形的面积为4,而其定积分为0.2、求曲边梯形面积的方法与步骤：（1） 画图，并将图形分割为若干个曲边梯形；（2） 对每个曲边梯形确定其存在的范围，从而确定积分的