第四章中值定理与导数的应用

1、第四章 中值定理与导数的应用 学习目的和要求 学习本章，要求读者能掌握中值定理的条件及其结论，了解其证明思路和过程，并能应用中值定理于罗必达法则、函数的增减性、函数的极值等导数的应用中去；同时要求读者学会运用罗必达法则讨论各种待定型的极限；学会利用导数分析函数的增减性、极值点、拐点及其曲线的凸向；并能应用于分析一些经济学中的常用问题 第一节 中值定理 1中值定理由简单到复杂有3种情形，表述如下： (1)罗尔定理 若函数 在闭区间上连续，且在开区间( )内有导数，并在区间两端点取等值，则在区间 内至少有一点，使在该点函数的导数为零 (2)拉格朗日中值定理 若函数 在闭区间 上连续，且在开区间(

2、)内有导数，则在区间( )内至少有一点，使成立等式： (3)柯西中值定理 设 在闭区间 上连续，在开区间( )内有导数 内均不为零，则在区间( )内至少有一点,使成立等式： 2如果我们已证得罗尔定理，则为证明拉格朗日中值定理仅需引入辅助函数： 并利用罗尔定理即可证得而为证明柯西中值定理仅需引入辅助函数： 并利用罗尔定理即可证得 为证明罗尔定理，首先要运用闭区间上连续函数的最大(小)值定理，然后利用定理条件，证明在区间内至少有一点达到最大值或最小值最后再证明在区间内达最大值或最小值的点即为我们要求的点，在该点其一阶导数为零 3中值定理的初步应用 (1)对于在( )内有定义的函数 ，则必有 证 在

3、区间（ ）中任取两点     故得     由 的任意性得 (2)证明不等式： 证 由中值定理，     故得 第二节 导数的应用 1罗必达法则 (1)在讨论函数极值中经常遇到这种情况：已知 或 欲求极限 此时，已不能利用前面所述的极限运算法则来计算而且，根据具体给定的函数 ，上述极限有可能存在，也可能不存在。因而，常称这类极限式为待定型，并利用所得极限的性态简记为 型类似地，待定型还可有 等各种类型罗必达法则为计算这类待定型提供了一种方法 (2)罗必达法则 设 当 时，都趋于零，在点 的某一邻域内(点

4、本身除外)， 存在且   存在(或无穷大)，则     对 情形亦有类似表达和结论 (3)举例如下: (4)对其他待定型，则设法将他们化为前面两种基本的待定型来处理 例如：求 型，通过变换     化为 ，就可利用罗必达法则求极限. 又如：求 型.通过变换 可将待定型化为 型，从而可用罗必达法则求极限. 对 型，可通过取对数后再化为 型来处理. 例如：设 取对数 若下列 型极限存在： 就可先求得 2：函数的增减性 利用导数可以判断函数的增减性，亦即曲线的升降性，有如下结果： (1)设函数 在区间( )内具有导数如果 在( )

5、上为单调增加(或减少)，则在该区间上这函数的导数 (2)设函数 在区间( )内具有导数如果在这区间上导数是正的： 上为严格单调增加；导数是负的： 在 上为严格单调减少若将条件减弱为在 内 ，则结论减弱为 上为单调增加(或单调减少) 3函数的极值 (1)极值的定义 对于点 ，若有一个邻域存在，使函数 在该邻域内有定义且在该邻域内 有 的一个极大值； 有 的一个极小值 (2)极值存在的必要条件 设函数 有导数，且在 取到极值(极大或极小)，则这函数在 处的导数 (3)极值存在的一阶充分条件 设函数 的一个邻域内连续，且在此邻域内( 可除外)可导若当 取到极大值；若当 取到极小值 (4)极值存在的二

6、阶充分条件 设函数 处具有二阶导数，且取极大，反之当 时 取极小 (5)注 当 时，此时不能确定 是否取极值极大、极小和无极值三种情况都有可能 4函数曲线的凸向 设函数 内有二阶导数若 则曲线为下凸的；若 ，则曲线为上凸的 5拐点 曲线 上凸与下凸的分界点称为曲线的拐点 6函数图形的描绘 利用函数的导数，求出函数的极值点、拐点以及单调区间、凸凹区间，并找出曲线的渐近线，从而描绘出函数曲线的图形 7函数极值在经济管理中的应用 包括最大利润问题、最小成本问题、需求分析等多方面应用以利润问题为例，设需求函数为     P=a-bx(x为供需量，p为价格)，则总收益为 而

7、总成本函数若为 ，则总利润函数 欲求总利润最大，按极值的二阶充分条件     可解得 为保证能取到极大值，要求     若我们不涉及函数的具体形式，一般地讨论利润问题，则由 可得利润最大的必要条件为 亦即必须使边际收益等于边际成本第四章 中值定理与导数应用 例1：下列各函数中，在区间-1，1上满足罗尔定理所有条件的是( )例2： 例3： 例4： 例5： 例6：下列极限中能用罗必达法则的有( ) 例7： 例8： 列表即(-,-2)及(0,+)为递增区间，（-2，-1）及（-1，0）为递减区间；当x=-2时取极大值f(-2)=-4，当x=

8、0时取极小值f(0)=0例9：讨论曲线 y=x4-2x3+1的凹向与拐点解：y=4x3-6x2 y=12x2-12x=12x(x-1) 当x=0,x=1时 y=0x=0与x=1把定义域（-，+）分成三个区间，列表即(-,0)及(1,+)上凹；（0，1）下凹，两个拐点（0，1）和（1，0） 例10： 例11： 例12： 例13：某种商品需求函数为 ，求当P=4时的需求弹性。例14： 第四章 中值定理与导数的应用单元测试一、选择题1、罗尔定理中三个条件：（1）f（x）在a，b上连续;（2）f（x）在（a，b）上可导;（3）f（a）= f（b），是至少存在一点 ，使得 的()A、充分条件 B、必要条

9、件 C、充要条件 D、既非充分条件也非必要条件2、已知函数 在-1，2上满足罗尔定理条件，则在-1，2上罗尔定理中的值 =（）3、函数 在区间0，1上满足拉格朗日中值定理的条件，其在0，1拉格朗日中值定理中的值 =（）4、如果函数f（x）与g（x）对于区间（a，b）内每一点都有 ，则在（a，b）内必有（）A、f（x）=g（x） B、f（x）=c1，g（x）= c2，（c1，c2常数）C、f（x）=g（x）+1 D、f（x）=g（x）+C，（C常数）5、若两个函数f（x）、g（x）在区间（a，b）内各点的导数相等，则该二函数在区间（a，b）内.（）A、不相等 B、相等 C、仅相差一个常数 D、均

10、为常数6、下列求极限问题中能够使用罗必达法则的有（）7、若 ，这样计算是（）8、 =（）A、 B、n-1 C、n D、09、 =（）10、 =（）A、0 B、 C、-2 D、211、设x和y分别是同一变化过程中两个无穷大量，则x-y是（）A、无穷大量 B、无穷小量 C、常数 D、不能确定12、 =（ ）A、-1 B、1/2 C、0 D、13、 =（）A、- B、+ C、1 D、014、若函数f（x）在点x0的某邻域有定义，且在该邻域内 ，则称f（x0）是f（x）的（ ）A、极大值点 B、极大值 C、极小值点 D、极小值15、如果 ，则 一定是.( )A、极小值点 B、极大值点 C、驻点 D、拐

11、点16、函数f（x）的连续但不可导的点.（）A、一定不是极值点 B、一定是极值点 C、一定不是拐点 D、一定不是驻点17、函数 在区间（-1,2）内是( )A、单调增加的 B、单调减少的 C、不增不减的 D、有增有减的18、 在（-,+ ）上是( )A、单调增加的函数 B、单调减少的函数 C、非单调函数 D、偶函数19、函数y=1-sinx在区间 上  ( ) A、递增 B、递减 C、不增不减 D、有增有减20、函数 在区间0，2上.（）A、单调增 B、单调减 C、不增不减 D、有增有减21、函数 在（-,+ ）上的极小值点为.（）A、0 B、1 C、2 D、不存在22、设f（x）一

12、阶连续可导且 ，则f（0)()A、一定是f（x）的极大值 B、一定是f（x）的极小值 C、一定不是f（x）的极值 D、可能是也可能不是f（x）的极值23、设函数f（x）在0，a上二次可微，且 ，则 在（0，a）内是（）A、不增的 B、不减的 C、严格单调增加 D、严格单调减少24、 是可导函数y= f（x）在区间（a，b）内单调递减的（）A、必要条件 B、充分条件 C、充要条件 D、无关条件25、函数y= f（x）在点 处取得极值，则必有（ ）A、 B、 C、 不存在 D、 26、函数 在区间-1，1上的最大值是（）A、0 B、1 C、2 D、不存在27、 （）A、 0  

13、   B、 C、   D、 28、若f（x0）是连续函数f（x）在a，b上的最小值，则( )A、f（x0）一定是f（x）的极小值 B、 C、f（x0）一定是区间端点的函数值 D、x0或是极值点，或是区间端点29、函数 在区间（1，4）内是( )A、上凸 B、下凹 C、既有上凹又有下凹 D、直线段30、函数y=|sinx+1|在区间 内是.( )A、下凸 B、上凸 C、既有下凸又有上凸 D、直线31、在区间（a,b）内任意一点函数f（x）的曲线弧总位于其切线的上方，则该曲线在（a，b）内是.( )A、下凸 B、上凸 C、单调上升 D、单调下降32、如果f（x）在区间

14、（a,b）内恒有 ，则曲线f（x）的弧为 ( )A、上升且上凸 B、下降且上凸 C、上升且下凸 D、下降且下凸33、函数 的拐点是( )A、（2，0） B、（1，-1） C、（0，-2） D、不存在34、函数 的拐点是( )A、（0，1）和（1，0） B、不存在 C、（0，-1）和（1，0） D、（0，1）和（-1，0）35、函数 的水平渐近线方程是( )A、y=2 B、y=1 C、y=-3 D、y=036、函数 ，(其中b,a>0为常数)的水平渐近线方程是( )A、y=0 B、y=b C、y=a D、y=1/a37、曲线 的水平渐近线是.( )A、x=-1 B、x=1 C、y=0 D、

15、y=138、曲线 有 ( )A、水平渐近线y=1 B、水平渐近线y=1/2 C、铅直渐近线x=1 D、铅直渐近线x=1/239、函数 的垂直渐近线方程为( )A、x=0 B、x=1 C、x=0和x=1 D、不存在40、某企业每月生产q吨产品时总成本c是产量q的函数 ，则每月生产产品8吨时的边际成本是.( )A、4 B、6 C、10 D、2041、已知某商品生产x单位时总费用F（x）的变化率为f（x）=0.4x-6，且F（0）=60，则总费用函数F（x）=（ ）42、设生产函数为 ，则当L=27，K=8时，资本K的边际生产率为()A、4/9 B、36/8 C、3 D、36/2743、设产品的利润

16、函数为L（x），则生产x0个单位时间的边际利润为（）44、设一产品的总成本是产量x的函数C(x)，则生产x0个单位时的总成本变化率（即边际成本）是 ( )45、设某商品需求函数为Q=10-P/2，则当P=3时的需求价格弹性是（ ）A、3/17 B、-3/17 C、-1/2 D、1/17二、计算题(一）1、设 求A的值，使 解：欲 2、求 解： = = = =33、求 解： 三、计算题(二）求 解法一：原式= =1+1=2解法一： 原式= 四、应用题1、求函数 的极值解： 可见f(x)在x=0处取极小值为f(0)=0.在x=1处取极大值为f(1)=1.在x=2处取极小值为f(2)=0.2、求出函

17、数 在区间-1，2上的最大值与最小值解： 令f(x)=0，得x=0 为驻点比较驻点值、端点值 f（-1）=0，f（0）=2，f（2）=3/4得函数f（x）在-1，2上的最大值为2，最小值为0。3、从直径为d的圆形树干中切出横切面为矩形的梁，此矩形的底为b，高为h，若梁的强度 ,问梁的横断面尺寸如何，其强度最大，并求出最大强度。解： ， 令 又 为最大值因此，当矩形断面的底 时，其强度最大，最大强度为 4、某企业生产一种产品，固定成本为5000元，每生产100台产品直接消耗成本要增加2500元。设市场对此商品的年需求量为500台，在此范围内产品能全部售出且销售收入R与销售台数的关系是 （万元）（a是售出数量，单位：百台）；若超出