第13章偏导数与全微分

1、第十三章 偏导数与全微分引言：从本章开始引入多元函数的微分理论。即将一元函数的导数和微分的概念推广到多元函数，形成多元函数的偏导数和微分，并进一步研究多元函数的微分性质及其在几何上的应用。§1 偏导数和全微分的基本概念1、 偏导数一元函数导数引入背景和意义：切线、速度函数的变化率。以二元函数为例引入多元函数的相关概念。在区域D上给定二元函数f(x,y)，任取点p(x,y),考察在此点自变量的改变所引起的函数的变化。先考虑一种最简单的情形：单个变量的变化所引起的函数的改变。不妨仅考虑只在x方向上发生改变，设改变量为，即变量由点p(x,y)变到点q(),，则引起的函数的改变量为，由于这一

2、改变量是仅由一个变量x而不是所有变量的变化所引起的，因而称为偏增量或关于x的偏增量。类似，可以定义关于y的偏增量 。现在，考虑这些偏增量关于相应变量的变化率，类似一元函数的导数的概念，给出如下定义。定义1.1若 存在，称此极限为在点p(x,y)关于的偏导数， 记为 或 。注： 由定义可知，注意到极限的唯一性，在点p(x,y)关于的偏导数是点p(x,y)的函数，因此，也记为 (p)= 或(p)=.简写为、。类似可以定义关于y的偏导数，。注：偏导数的含义：仅考虑一个变量的改变对函数增量的变化率。如对三元函数u=f(x,y,z),可以定义三个偏导数，即类似，可以推广至任意元函数。 偏导数的计算：关于

3、偏导数的计算，通常有两种处理方式，(1)、对由一个初等函数给出的表达式，用一元函数的求导法；如计算关于x的偏导数时，由于在其余方向上变量没有发生变化，相对于x可以视为常量，因此，只需对x求导即可。(2)、即特殊点处的定义方法，如对分段函数，在分段点处用定义计算。例1：，求， ，及，解：将y视为常量，关于变量x求导，即得u关于x 的偏导数，即，因而，。类似，因而。例2：，求， ，。解、计算可得，.例3：，求， 。解、计算得 ， 。注、上述的计算在相应的定义域内都成立。 例4： 求， 解、对点p(x,y): ，计算得，在点（0，0），用定义计算为，故， ， 。偏导与连续：我们知道，对一元函数，可导

4、必连续。但，对多元函数，这个结论不再成立。以二元函数为例，设u=f(x,y)关于x的偏导数存在，由定义，是指将y视为常量时关于x可导，因而能保证关于x连续，同样，若f关于y的偏导数存在，能保证关于y的连续性，我们还知道，关于两个变量分别连续的函数并不一定是二元连续函数，即偏导数存在，甚至两个偏导的同时存在性，不能保证二元函数的连续性。如上例4： ，但在点不连续。偏导数的几何意义：一元函数的导数的几何意义为函数曲线的切线斜率。同样，对二元函数，由于在几何上，表示空间曲面，设，考察 ，由定义，若记一元函数，几何意义为曲面与平面的交线，则由于，因而，表示曲线在的斜率，注意到曲线 为交线C：故，偏导数

5、的几何意义为曲线C在点处对x轴的切线斜率；的几何意义类似。2、 全微分和导数不同，一元函数的全微分考察的是函数增量和自变量增量之间的绝对关系，即二者之间是否存在主要的线性关系，也即，在x点可微， ，微分是指存在实数A，使得 ，此时或 。现在，将上述微分定义推广至多元函数，仍以二元函数为例。给定二元函数，考虑、同时变化对的影响。设在点p处，两个自变量的改变量为、，即变量由点p(x,y)变化至点q(),则函数的增量为，由于这个增量是由全部的两个变量同时改变所引起的，因而，也称此增量为函数u的全增量。类似一元函数可微的定义，考虑全增量和两个自变量之间是否存在主线性关系，引入二元函数可微的定义。定义1

6、.2若存在、(仅与有关) 使 ，称在点可微，称为在的全微分记为du或df，因而。由定义可知，多元函数的可微和一元函数的可微，其实质都是考察函数增量和自变量是否存在主线性关系。但要注意由一元函数的可微定义推广到二元函数的可微定义时，其形式的变化和区别，特别是无穷小量的形式，若记，则是刻划自变量的改变量大小的绝对量，因此，这个无穷小量是全部变量改变量大小的无穷小量。由此，可微的定义可以推广到任意的n元函数。如u=f(x,y,z)可微是指存在A、B、C，使得其中。下面，将一元函数可微与连续性的关系及可微的必要条件进行推广。定理1.1（可微的必要条件）设函数u=f(x,y)在点p()可微，则函数u在点

7、p关于x、y的偏导数都存在，且。（A、B见定义）证明、由于在p()可微，由定义，存在A、B，使得因而，在可微定义中取，则类似可得。定理1.2（可微必连续）设函数u=f(x,y)在点p()可微，则必在此点连续。证明、由于函数u在p点可微，则存在实数A、B，使得，因而，即，故函数在点p连续。 注、 从上述两个定理可知，可微的要求高于偏导数，因此，偏导数存在不一定保证连续性，但可微可以保证连续性。注、定理1的逆不成立，即偏导数存在不一定保证函数的可微。如： 在（0，0）点偏导数存在且直接计算得，但不存在极限，因而，不可微。 类似一元函数，仍以dx、dy表示自变量x、y的微分，则、， (事实上对函数则

8、其微分即)，由定理1，则函数的全微分可以写为。注：类似一元函数，dx、dy是两个独立的变量，与无关，故：、。注：推广至元函数，其全微分为。注：函数的可微和连续一样是局部性的概念。注：可微与偏导：偏导存在不保证可微。可微性的判断：1、用定义判断在点是否可微，其方法和步骤为：先判断偏导数的存在性，若在此点偏导数不存在，则必不可微，在偏导数存在的条件下计算此点的偏导数，然后考察极限若此极限存在且为0，则可微，否则，不可微。 2、用可微的必要条件来判断不可微性，如，若在此点不连续或偏导数不存在，则必不可微。下面通过例子说明可微性的判断方法，进一步说明：偏导与可微的不等价性。例1：考察 在点的可微性。解

9、：已证：，但在点不连续，因而不可微。法二：计算=故极限不存在，因而不可微。注：此例说明：偏导存在并不一定保证可微。由此可看出偏导与可微的不一致性。但从另一角度看，偏导与全微分都是考虑函数的增量问题，那么，在偏导存在的条件下增加什么条件才能保证可微性呢？定理1.3设，在点及其邻域内存在且连续，则在点可微。分析：全增量可微性；偏增量偏导存在性，故本定理的实质是由偏导存在性（已知偏增量）导出可微性（全增量），即：建立偏增量与全增量之关系，更准确地说，以偏增量表示全增量，并进一步与偏导数联系起来。证明：考虑全增量：= =（用偏增量表示全增量） =（建立了与偏导数的关系，使得能充分利用偏导数连续的条件）

10、由于，在点连续，故=；=其中，故，=，由于 ，故，故在可微。例2：求在处的全微分。解：计算：，在点存在且连续，故。例3：计算的全微分。解：，其中：，。例4：判断在点的可微性。解：由于， 故， 由于，故不可微。§2 高阶偏导数与高阶全微分 给定函数，设都存在，则仍是二元函数，故仍可继续求偏导。如，若关于的偏导存在，称其为对的二阶偏导数，记为：，因而，或，若关于的偏导存在，称其为先对，再对的二阶混合偏导数，记为：，因而：，类似可定义：。上述几个导函数，都称为的二阶导函数，且为二阶混合偏导数。类似可定义三阶导函数：。类似还可定义元函数的高阶导数，如：，其二阶导数有如下9种形式。注：对高阶混

11、合偏导数，与求偏导的顺序有关。如：是两个不同的函数，不一定有相等关系。例1：计算的二阶偏导数。例2：设，计算。解：易计算，故，。注意二者并不相等。对同样变量不同顺序的混合二阶偏导数，如果二者相等，可以为高阶偏导数的计算带来方便，那么，什么条件下二者相等，这实际是求偏导数的换序问题。定理1：设在连续，则。分析：由定义：其中：而，故问题的实质是累次极限可换序，将视为的二元函数，什么条件可保证累次极限可换序？因二重极限与两个累次极限都存在时则必相等，因而问题转化为二重极限的存在性。 关键的问题：如何将转化为二阶混合偏导数，并利用偏导数连续性得到的二重极限的存在性。最常用的方法以是利用一元函数的中值定

12、理，即由于，第二项不易处理。仔细观察的结构，具有对称性，为了统一上述过程中的，采用技巧：统一使用中值定理。证明：记，则=故：。利用对称性或，则类似可得 =，因而 故，。推论1：若有直到阶的连续偏导数，则。即混合偏导数与求导顺序无关。高阶微分：给定，则，若du视为x,y的函数还是可微的，则可继续关于x、y求微分，称为函数u关于x、y的二阶微分，即 （假设）注：，将视为的二元函数，继续关于求微分，而此时是与无关的量，在此可视为常量（参量）。在高阶微分存在的情况下，可归纳证明：§3 复合函数的求导法则 仍以二元函数为例讨论多元复合函数的偏导计算，由于多元复合函数的多样性，我们以一种最基本的

13、情形为例，导出最基本的求导法则，然后推广至其它情形。一、 常规复合函数的偏导计算给定二元函数，中间变量且，则复合为：，x、y称为中间自变量，s、t称为（最终）自变量，函数u通过中间自变量复合为最终自变量s、t的函数，复合函数的偏导数和微分的计算，就是计算函数关于最终自变量的偏导数和微分。和一元函数类似，计算的基本法则为链式法则。定理1：设在点存在，而在点可微，其中，则在的偏导数存在，且， 这就是复合函数偏导数计算的链式法则。分析：要证明偏导数的关系，须研究变量的改变量和函数的偏增量之关系，分析清楚最终自变量的改变如何通过改变中间变量，最终影响函数的偏增量。如要计算，是将视为的复合函数=，考察u

14、关于s的偏增量对自变量s的增量的变化率的极限。进一步分析：方向上改变如何产生，下述的变化链反映了它们之间的关系：，因而相对于作为的函数为偏增量，但同时，作为的函数又是全增量，由此，建立相互间的关系。证明：只证明第一式： 设=在点附近，只在方向上发生改变量，由于，因而在点，方向都发生改变：进而影响到函数，使其发生改变（在点），利用在点可微，故，故，又，则类似可证明另一式。注：定理1中的链式法则一般可以写为，。分析公式两端各项含义此链式法则可以表述为 掌握了上述公式的含义，不管复合函数形式和结构如何变化，复合函数的偏导计算变得非常简单，只须准确确定函数，中间变量，自变量。方法：自变量：复合函数表达

15、式中的变量；中间变量：自变量之外的变量，连结自变量与函数。例1：计算由与的复合函数的导函数。分析：自变量，中间变量解：由链式法则：例2：计算与的复合函数的偏导数。分析：自变量，中间变量解：由链式法则：，注：例1与例2是典型的常规型复合函数，其特点是在函数与自变量的函数关系式中不含自变量，或中间变量与自变量不同时作为变量出现在一个函数关系中。而事实上经常会出现这种情况。二：其它类型复合函数偏导的计算。 基本方法：通过引入新的中间变量转化为基本型。例4：计算由与的复合函数的偏导数。分析：自变量为，中间变量为。特点：中间变量与自变量一同出现在函数关系中；处理方法：引入新的中间变量，化为基本型。解：引

16、入函数，则复合函数也可视为与，复合而成，由链式法则及，；例5：计算由与的复合函数关于的一阶和二阶导函数。分析：复合函数为x的一元函数，可以计算其一阶和二阶导数。解：由链式法则：（记，则）而 故 注：上述计算过程假设了出现的各阶导数都存在且混合偏导数可以换序。例5：设，求解：引入中间变量，则可视为与复合而成，故：例6：设，证明在极坐标变换下成立：分析：通过要证明的结论可知，结论的右边表明，函数u为变量x、y的函数，左边函数u为变量r、的函数，由所给的变量关系式知，函数u应视为通过中间变量x、y复合为r、的复合函数，因此只需计算复合函数的偏导数代入验证即可，由复合函数偏导的计算公式，计算右边比较简

17、单。证明：由于；代入即可。三：复合函数的全微分一阶微分形式的不变性 设与复合成，考察将u视为x、y函数和视为s、t的复合函数的全微分形式。作为的函数，则。作为的函数，则。考察二者关系：由于，且；，代入可得+由此可知，不论将函数u视为x、y函数还是视为s、t的复合函数，函数的一阶全微分形式一样，称为一阶微分形式的不变性。类似一元函数，复合函数的高阶微分不再具有不变性。§4 隐函数的求导法 虽然目前我们所遇到的函数都是显函数，即已知用自变量表示的函数表达式，其一般形式为或更一般的元显函数，但在工程技术领域，我们经常遇到的是隐函数：即一组变量所满足的方程或方程组，进一步由方程（组）确定的某

18、些函数关系。这些函数关系有时能通过求解方程（组）而得到，有些不能求出其解。如：球面满足的方程：，由此可得上半球面，下半球面，而行星运动的Kepler方程：，为时间，是行星与太阳的连线扫过的扇形弧度，为离心率。从天体力学的角度讲，应是的函数，但我们不能由此方程给出的显示表达式，像这样的例子，自然界还有很多。然而，在了解或研究这些实际问题时，通常需要我们去了解这些函数更多的分析性质，如连续性、可微性等。如何解决这些问题，这正是本节的任务。 本节，我们只介绍隐函数的求导方法，其理论基础放在第十六章。一、单个方程所确定的隐函数的求导 设给定元单个方程：，在某些条件下，可设想：这个变元只有个独立，即从中

19、可以解出一个量比如z可以用剩下的n个独立的变量表示，因此，变量完全由这个独立的变量所确定。由此就确定了一个函数关系，我们的目的是在不能解出函数关系的情况下，计算函数的偏导数，。总结这类问题为： 设由方程确定了隐函数，试计算，及高阶偏导。分析条件：已知方程：和确定的隐函数，因此，方程中，将视为函数，因此，函数实际是复合函数，于是可根据此复合函数所满足的方程计算，过程如下：由题意，方程可视为如下复合形式的方程：自变量为，中间变量为。由复合函数的偏导计算，对方程两端关于变量求导，则：，故 。从公式可知，若表达式是已知的，就可以计算隐函数的偏导数。当然，必须满足条件，事实上，这个条件正是由方程确定隐函

20、数的条件。注：上述过程是典型的隐函数的求导过程，由此过程可看出，先确定隐函数，再求导。这种求导的思想应该熟练掌握，不必记住公式。例1：求由方程所确定的隐函数的偏导数。解：将视为函数形式，而方程的右端是复合函数形式，由此，两端关于求导， 则，类似。例2：设，求。解：由题意：确定隐函数，用表示函数F关于第i个变量的偏导数，即若，两端关于求导：（*） 解之得，类似，。 关于（*）式两端对求偏导： 从上述方程中可以计算出。 注：上述例子表明，隐函数求导的实质是：将方程视为复合函数方程，然后对方程求导即可。二：由方程组所确定的隐函数的导数 由线性代数的方程组理论可知：一般由个方程可确定出个未知量，因此，

21、假设由个方程：，则任给一组数，上述方程组是以为未知量的方程组，设其有唯一解，于是，对任意的，存在唯一一组数与之对应，由此，确定一组隐函数：现计算，方法同上。将每个方程都视为复合函数，则关于求偏导：由此可得关于的线性方程组，求解，则： 类似可以计算其它的偏导数。例3：计算由所确定的隐函数的偏导数。解：对求导，则解之得。 从上述两种情形看，隐函数的求导相当简单，但要注意掌握方法实质，注意从题目中分析清楚确定的隐函数。也注意不必记公式，要做到灵活运用。例4：设，求分析：从题型可知，确定两个隐函数解：对两式关于求导，则：，解之得。类似可得：。注：还可用微分法：利用复合函数一阶微分的不变性。 法二：两端

22、微分：解得，由微分定义得 ，。例5：从方程组中求出分析：这是5个变元，两个方程的方程组，由方程组理论，两个方程的方程组至多可以确定两个变量，因此，上述5个变量，至少有3个是独立的，而从题目中可分析出：变元独立，确定两个隐函数解：由题意，方程组可以确定隐函数，因此，利用复合函数求导法则，对方程组的方程两端关于求偏导，则 （*）解之得 ，。再对（*）两端关于求偏导：求解得 。§5隐函数求导应用方程的变换从上节例子可知,隐函数的求导并不困难,但是作为其应用偏微分方程的变换却是很困难的。所谓偏微分方程的变换，是指通过给定的一组变量关系，将一个已知的偏微分方程转换为另一种形式。常见的有两种方程

23、变换，其一为部分变换，即将一个函数的已知的关于某组变量的偏微分方程，通过给定的一组变量关系，转化为此函数关于另一组变量的偏微分方程；在这个过程中，函数不变，只是自变量发生改变。其二称为完全变换，即将一个函数的已知的关于某组变量的偏微分方程，通过一组变量关系和一个函数关系，转换为另一个函数关于另一组变量的偏微分方程，在这个过程中，变量和函数都发生改变。方程变换的难点在于：转换过程中，必须准确把握问题的 含义，准确确定函数、变量、中间变量等各种量之间的关系。 下面通过例子说明相应的方法和技巧。1、 部分变换：例1 设，变换方程： （1）分析：由给定的方程（1）可知，方程（1）是函数关于变量x、y所

24、满足的PDE。给定的一组变量关系为。在变量关系式中，只涉及到函数w的自变量x、y和两个新的变量u、v,利用这组关系式可以实现变量x、y和u、v之间的转换，即把自变量由x、y转换为u、v,，这个转换过程是通过利用隐函数理论，由方程组确定隐函数来实现的。因此，函数w=w(x,y)通过变量关系，转换为w关于u、v的函数w=w(u,v)。故，函数没变，自变量由变成了，而成了中间变量，因此，本题要求：将关于的PDE转化为关于的偏微分方程部分变换。通过上述分析，明确了题目的目的和要求，即变换上述方程，实际上是将w关于x 、y的偏微分方程转换为w关于变量uv的偏微分方程，相当于用w关于u、v的偏导数表示w关

25、于x、y的偏导数，然后代入原偏微分方程即可，因此，其实质是隐函数和复合函数的求导计算。注意到复合函数的求导法则，在用w关于u、v的偏导数表示w关于x、y的偏导数时，把变量关系式中的函数u、v视为中间变量更方便，因此，复合过程视为，这是这类问题处理时的技巧。解：将函数视为函数与变量的复合。则由链式法则：进而：。故：，因而，方程（1）变为注：变换方程的实质是计算原方程的偏导数，因而，需要将新引入的变量作为中间变量，以便利用复合函数的求导公式计算导数关系。例7 设，证明：分析：题目相当于将等式左边的偏微分表达式转换为右端的偏微分表达式，由所给关系式，视为中间变量，便于计算偏导数。证明：可视为与复合而

26、成，由链式法则： 代入即可。 注：从上述两个例子可知，在涉及到这类偏微分方程的转换时，选取合适的中间变量是十分关键的，这可以减少计算量，根据所给的变量关系式确定中间变量是常用的技巧。2、 完全变换例3 设，变换方程： （*）分析：由方程形式知：方程（*）是函数所满足的PDE，这个方程中涉及函数，自变量。再分析变量关系式：前两个涉及自变量关系：，故函数=。最后一个式中，除涉及新自量，还有一个变量，此正是由、确定的新函数。因而，各种变量关系为：原函数（因变量）： 原自变量：；新函数（因变量）： 新自变量：。故问题为：将满足的PDE（*）式，通过变量关系式，转化为所满足的偏微分方程。关键：寻求与之关

27、系。希望用表示，代入（*）即可。如何实现这一目标？通过函数关系式的求导来实现。解：由函数关系式得： （除法的导数转化为乘法的导数）由娈量关系：可视为的函数。新函数也可通过与的复合视为的函数。故上式两端可视为的函数，关于求偏导，分别对求偏导，则：上述两式中，还涉及到，通过变量关系式将其求出：关于求导：关于求导：代入，可计算：，代入方程（*）中可得：。 总结上述变换过程，主要步骤为，先通过给定的两个函数关系式求导，寻求二者的偏导数关系；其次，通过给定的变量关系寻求变量之间的偏导数关系；最后代入即可。主要的技巧，尽可能各种量的除法关系转变为乘法关系，以方便求导。注：用到几个关系式： 注：上述处理过程

28、表明，不须具体求出变换的逆变换式。例4设，变换方程： 分析：与例3同。解：原函数，新函数与变量关系复合后也可视为的函数。故函数关系式的两端都可视为的函数，两端关于求偏导： 再求导： 故：，故原方程变为：例5 设，变换方程：为极坐标方程。分析：方程表明存在函数关系： 由变量关系：，确定新的函数关系 目的：计算 方法：由于没有具体的方程，通过变量的具体关系来计算。解：对关系式对求导：，由此算出。§6 隐函数求导的几何应用一、空间曲线的切线与法平面。 本小段解决的问题是：给定空间曲线及上一点，计算此点的切线与法平面。1：已知的参数方程形式 设给定的光滑曲线： ，l上一点，先计算此点的切线。

29、由于切线就是割线的极限位置，先计算割线。任取且，则割线的方程为：，我们希望通过割线方程的极限计算切线，即计算时方程的极限。观察割线的方程，为保证分母在极限过程中有意义，作变换：注意到，则令，得这就是的切线方程，其方向向量为。 注：由几何理论可知：当中有零时，切线方程可采用参数形式或一般方程形式表示。如：时，切线的参数方程为：，切线的一般形式为两平面之交形式：。再计算的法平面：由定义，所谓法平面就是过此点且与切线垂直的平面，故切线方向就是法平面的法线方向。由点法式，法平面方程：例1：设光滑曲线： (两柱面之交线)，求处的切线和法平面。思路：将转化为参数方程形式，然后利用刚刚得到的结果。解：将改写

30、为如下参数形式： ，则由公式，在处切线为法平面为：。2：已知曲线的一般方程 给定光滑曲线：及其上一点，且，计算在处的切线和法平面。分析：将其转化为已知情形：参数形式或例1的形式。要将曲线的一般方程形式转化为参数形式，需要从给定由两个方程组成的方程组中求出三个函数，要将曲线的一般方程形式转化例1的形式需要从上述方程组中求出两个函数。由隐函数理论，从上述方程组能够确定函数两个函数，即可以转化为例1的形式。由例1 的结论知，要计算切线和法平面，只需计算两个隐函数的导数。下面是求解过程。解：由条件，则在附近，由方程组可确定隐函数，故曲线为：，利用隐函数求导：， 故，切线：； 法线：。例2：求两柱面的交

31、线处的切线。解：记，则：，计算 ，故切线为：。二：曲面的切平面与法线。 问题：给定光滑曲面及，求过点的切平面与法线。思路：在上一小节中，我们掌握了曲线的切线的计算，能否将切平面问题转化为线问题来讨论？事实上，过作曲线，则对应此曲线，在点就有切线，显然，不仅如此，还有：，由此，我们将通过考察任一条曲线的切线的性质，确定切平面。设为内过的任一条曲线，设其方程为：，且，则在点处的切线方向为：，又，故，可得：，因而，即：，二者相互垂直。 这一结论的含义是什么？进一步分析：只与有关，为固定的方向，而是任一切线方向。故：上述结论表明：与任一切线都垂直，而所有这样的切线组成了切平面，故：与切平面垂直，因而是

32、切平面的法向量。由点法式，切平面为： 法线： 。作为上述结论的应用，讨论几种特殊的情形。情形1：设，此时取即可；情形2：若已知曲面参数方程：，将其转化为情形1：即若从中确定隐函数，则，此时转化为情形1。此时，下面计算，显然：，为计算，考察方程：，对求导：，可得：，对求导：，可得：，故，代入得切平面为法线方程为。§7 方向导数与梯度背景：前面几节，我们学习了多元函数的偏导数，从其定义看：其研究的是多元函数沿坐标轴方向函数的变化率。但是，在许多实际问题中，更多地需要知道多元函数在某点沿某个方向的变化率。如考察有界区域热的传播问题，如果能知道边界上的热交换，能帮助我们确定整个区域的热分布；此时在边界上，相当于知道边界点处沿外法线方向上的变化率。在工程技术当中类似