第七章空间解析几何

1、第七章空间解析几何第一节 空间直角坐标系一、空间直角坐标系 1、空间直角坐标系 间取定一点和三个互相垂直且正向符合右手规则的单位向量,它们确定了三条互相垂直的数轴,称这三条数轴构成一个空间直角坐标系,记作或.2、标原点：定点.3、坐标轴：即三条数轴.确定的坐标轴依次称为： 横轴:轴；纵轴:轴；竖轴:轴.4、坐标轴平面：三条坐标轴中的任意两条可以确定一个平面，这样定出的三个平面统称为坐标面分别称为：面；面；面.(5)八个挂限：三个坐标面把空间分成八个部分，每一部分叫做挂限.如图依次分别称为：第一挂限、第二挂限、第八挂限. 依次分别用,及表示.图形>with(plots):x:=a->

2、0.05*sin(s)*cos(t)+a:y:=b->0.05*sin(s)*sin(t)+b:z:=c->0.05*cos(s)+c:XOY:=plot3d(s,t,0,s=-1.1,t=-1.1): YOZ:=plot3d(0,s,t,s=-1.1,t=-1.1):ZOX:=plot3d(s,0,t,s=-1.1,t=-1.1):A:=plot3d(x(0.5),y(0.5),z(0.5),t=0.2*Pi,s=0.Pi,style=patch):display(XOY,YOZ,ZOX,A,style=patch);二、空间点的坐标1、点(在坐标系中)的坐标注意：特殊点的表示.

3、 2、空间两点间的距离与为空间中的两个点,则两点间的距离为：.第二节 曲面及其方程一、旋转曲面1、球面图形> with(plots):x:= sin(s)*cos(t):y:= sin(s)*sin(t):z:= cos(s): plot3d(x,y,z,t=0.2*Pi,s=0.Pi,style=patch);2、圆锥面 .图形> x:=1/2*u*cos(t):y:=1/2*u*sin(t):z:=u:plot3d(x,y,z,t=0.2*Pi,u=-1.1, axes= BOXED,scaling=CONSTRAINED ,style=patch);3、旋转双曲面(1) 旋转

4、双叶双曲面：将坐标面上的双曲线绕轴旋转一周,所生成的旋转曲面 .图形> with(plots):x:=4*cosh(u):y:=2*sinh(u)*cos(t): z:=2*sinh(u)*sin(t): F:=plot3d(x,y,z,t=0.2*Pi,u=-2.2):G:=plot3d(-x,y,z,t=0.2*Pi,u=-2.2):display(F,G, axes= BOXED,scaling=CONSTRAINED ,style=patch);(2) 旋转单叶双曲面：将坐标面上的双曲线绕轴旋转一周,所生成的旋转曲面 . 图形> x:=4*cosh(u)*cos(t): y

5、:=4*cosh(u)*sin(t): z:=2*sinh(u):plot3d(x,y,z,t=0.2*Pi,u=-1.1, axes= BOXED,scaling=CONSTRAINED ,style=patch);4、旋转抛物面：将坐标面上的抛物线绕轴旋转一周，所生成的旋转曲面 即 .图形> x:=1/4*u*cos(t):y:=1/4*u*sin(t): z:=u2:plot3d(x,y,z,t=0.2*Pi,u=0.4, axes= BOXED,scaling=CONSTRAINED ,style=patch);二、柱面1、常见的柱面(1) 圆柱面：.图形> plot3d(

6、4*cos(t),4*sin(t),z,t=0.2*Pi,z=-6.6,style=patch);(2) 抛物柱面：.图形> plot3d(y2/2,y,z,y=-3.3,z=-3.3,style=patch);(3) 平面：.图形> plot3d(x,x,z,y=-3.3,z=-3.3,style=patch);2、平行于坐标轴的柱面(1) 平行于轴的柱面：.(2) 平行于轴的柱面：.(3) 平行于轴的柱面：.三、二次曲面1、二次曲面：三元二次方程所表示的曲面称为二次曲面. 注：平面被称为一次曲面.2、常见二次曲面(1) 椭圆锥面. 图形> x:=1/4*u*cos(t):

7、y:=1/3*u*sin(t):z:=u:plot3d(x,y,z,t=0.2*Pi,u=-1.1,style=patch);(2) 椭球面.图形> x:=4*sin(u)*cos(t):y:=3*sin(u)*sin(t):z:=2*cos(u):plot3d(x,y,z,t=0.2*Pi,u=0.Pi,style=patch);图形> x:=4*sin(u)*cos(t):y:=3*sin(u)*sin(t):z:=2*cos(u):plot3d(x,if(y>2,2,3*sin(u)*sin(t),z,t=0.2*Pi,u=0.Pi,style=patch);(3) 单

8、叶双曲面.图形> x:=4*cosh(u)*cos(t): y:=3*cosh(u)*sin(t): z:=2*sinh(u):plot3d(x,y,z,t=0.2*Pi,u=-1.1,style=patch);(4) 双叶双曲面.图形> with(plots): x:=4*sinh(u)*cos(t): z:=3*sinh(u)*sin(t): y:=2*cosh(u):F:=plot3d(x,-y,z,t=0.2*Pi,u=-2.0): G:=plot3d(x,y,z,t=0.2*Pi,u=0.2):display(F,G,style=patch);(5) 椭圆抛物面.图形&g

9、t; x:=4*u*cos(t):y:=3*u*sin(t): z:=u2:plot3d(x,y,z,t=0.2*Pi,u=0.2,style=patch);(6) 双曲抛物面(马鞍面). 图形> x:=4*t:y:=3*u:z:=t2-u2:plot3d(x,y,z,t=-4.4,u=-(15+t2)(1/2).(15+t2)(1/2),style=patch,view=-15.7);(7) 椭圆柱面. 图形> x:=4*cos(t):y:=3*sin(t):plot3d(x,y,z,t=0.2*Pi,z=-4.4,style=patch);(8) 双曲柱面. 图形> wi

10、th(plots):x:=4*sec(t):y:=3*tan(t):F:=plot3d(x,y,z,t=-Pi/4.Pi/4,z=-4.4):G:=plot3d(-x,y,z,t=-Pi/4.Pi/4,z=-4.4):display(F,G,style=patch);(9) 抛物面柱面. 图形> plot3d(x,2*x2,z,x=-1.1,z=-1.1,style=patch);第三节 空间曲线及其方程一、空间曲线的一般方程1、空间曲线：空间曲线是两个空间曲面的交线.2、空间曲线的一般方程 例1 方程组 表示怎样的曲线？图形> with(plots):F:=plot3d(cos(

11、t),sin(t),u*(6-2*cos(t)/3,t=0.2*Pi,u=0.1):G:=plot3d(u*cos(t),u*sin(t),(6-2*u*cos(t)/3,t=-0.2*Pi,u=0.1):display(F,G,style=patch);解：由于表示圆柱面, 而表示平面,因此,交线为椭圆.图形> with(plots):tubeplot(cos(t),sin(t),(6-2*cos(t)/3, t=0.2*Pi,radius=0,grid=150,2,style=patch);例2 方程组 表示怎样的曲线？图形> with(plots):x:=sin(u)*cos

12、(t):y:=sin(u)*sin(t):z:=cos(u):F:=plot3d(x,y,z,t=0.2*Pi,u=0.Pi/2):G:=plot3d(1/2+1/2*cos(t),1/2*sin(t),v,t=0.2*Pi,v=0.1):display(F,G,grid=25,20, axes= BOXED ,scaling=CONSTRAINED,style=patch);解：由于表示上半球面,而表示圆柱面, 因此交线如图.图形> with(plots):x:= 1/2+1/2*cos(t):y:= 1/2*sin(t):z:=(1-x2-y2)(1/2):tubeplot(x,y,

13、z, t=0.2*Pi,radius=0,grid=150,2,view=-1.1,-1.1,0.1, scaling=CONSTRAINED,axes= BOXED,style=patch);二、空间曲线的参数方程1、曲线的参数方程： 2、说明：当给定时，就得到曲线上的一个点，随着参数的变化可得到曲线上的全部点.三、空间曲线在坐标面上的投影1、投影柱面 设空间曲线的一般方程为： 消去变量后得曲线关于的投影柱面：.2、投影曲线 投影柱面与面的交线： 3、类似地：可定义空间曲线在其他坐标面上的投影 例4 已知两球面的交线的方程为 求在面上的投影方程.图形> with(plots):x:=s

14、in(u)*cos(t):y:=sin(u)*sin(t):z:=cos(u):F:=plot3d(x,y,z,t=0.2*Pi,u=0.Pi):G:= plot3d(x,y+1,z+1,t=0.2*Pi,u=0.Pi):display(F,G,grid=50,20,style=patch);解：由得 , 再减去得, 或.将代入后得 , 化简后得曲线关于的投影柱面方程 .于是在面上的投影方程为 图形> with(plots):x:=1/2(1/2)*cos(t):y:=1/2+1/2*sin(t):tubeplot(x,y,0,t=0.2*Pi,radius=0,grid=150,2,s

15、tyle=patch,thickness=1);四、空间立体或曲面坐标面上的投影1、空间立体坐标面上的投影图形> with(plots):x:=1+sin(u)*cos(t):y:=1+sin(u)*sin(t):z:=1+cos(u):F:=plot3d(x,y,z,t=0.2*Pi,u=0.Pi/2):G:= plot3d(1+u*cos(t),1+u*sin(t),-u,t=0.2*Pi,u=-1.0):F1:=plot3d(0,y,z,t=0.2*Pi,u=0.Pi/2,color=green):G1:= plot3d(0,1+u*sin(t),-u,t=0.2*Pi,u=-1.

16、0,color=green):F2:=plot3d(x,0,z,t=0.2*Pi,u=0.Pi/2,color=yellow):G2:= plot3d(1+u*cos(t),0,-u,t=0.2*Pi,u=-1.0,color=yellow):F3:=plot3d(x,y,0,t=0.2*Pi,u=0.Pi/2,color=blue):display(F,G,F1,G1,F2,G2,F3,grid=50,20,style=patch);2、空间曲面坐标面上的投影图形> with(plots): x:=3+cosh(u)*cos(t): y:=3+cosh(u)*sin(t): z:=5/

17、2+sinh(u): F:=plot3d(x,y,z,t=0.2*Pi,u=-3/2.3/2):F1:=plot3d(0,y,z,t=0.2*Pi, u=-3/2.3/2,color=green):F2:=plot3d(x,0,z,t=0.2*Pi, u=-3/2.3/2,color=yellow):F3:=plot3d(x,y,0,t=0.2*Pi, u=-3/2.3/2,color=blue):display(F,style=patch);display(F1,F2,F3,style=patch);display(F,F1,F2,F3,style=patch);例5 设一个立体由上半球面和锥面所围成求它在面上的投影图形> with(plots):x:=2*sin(u)*cos(t):y:=2*sin(u)*sin(t):z:=2*cos(u):F:=plot3d(x,y,z,t=0.2*Pi,u=0.Pi/6):G:= plot3d(u*cos(t),u*sin(t),3(1/2)*u,t=0.2*Pi,u=0.1):F1:=plot3d(x,y,0,t=0.2*Pi,u=0.Pi/6,color=blue):dis