矩阵的特征值和特征向量

1、第四章 矩阵的特征值和特征向量例1 求下列矩阵的特征值与特征向量，并判断它能否相似对角化。若能，求可逆阵，使（对角阵）。例2 已知三阶方阵的三个特征值为，则的特征值为，的特征值为， 的特征值为，的特征值为例3 设矩阵 有三个线性无关的特征向量，则应满足条件例5 已知矩阵与相似，则例6 设阶方阵满足，求的特征值例7 已知向量是矩阵的逆矩阵的特征向量，求常数例8 设A为非零方阵，且 (m为某自然数)，证明：A不能与对角阵相似例9 设阶方阵A满足，求证：A相似于一个对角矩阵 结 论 总结 1 阶方阵A有个特征值，它们的和等于A的主对角线元素之和(即A的逆)，它们的乘积等于A的行列式2 如果是方阵A的

2、特征值，是与之对应的特征向量，如互不相等时，线性无关3 如果阶方阵与相似，则与有相同的特征多项式，从而有相同的特征值4 如果阶方阵与对角阵相似，则的主对角线元素就是的个特征值 5 阶方阵与对角阵相似，即可相似对角化的充要条件是有个线性无关的特征向量 6 如果阶方阵的个特征值互不相等，则与对角阵相似，即可相似对角化 7 实对称矩阵的特征值全为实数8 实对称矩阵的不同特征值对应的特征向量相互正交9 对实对称矩阵，必存在正交矩阵，使，其中是以的个特征值为主对角线元素的对角阵10 方阵可逆的充要条件是的特征值全不为零 习 题一、单项选择题1. 设,则的特征值是( )。(a) -1,1,1 (b) 0,

3、1,1 (c) -1,1,2 (d) 1,1,22. 设,则的特征值是( )。(a) 0,1,1 (b) 1,1,2 (c) -1,1,2 (d) -1,1,13. 设为阶方阵, ,则( )。(a) (b) 的特征根都是1 (c) (d) 一定是对称阵4. 若分别是方阵的两个不同的特征值对应的特征向量,则也是的特征向量的充分条件是( )。(a) (b) (c) (d) 5. 设为阶可逆矩阵, 是的特征值,则的特征根之一是( )。(a) (b) (c) (d) 6. 设2是非奇异阵的一个特征值,则至少有一个特征值等于( )。(a) 4/3 (b) 3/4 (c) 1/2 (d) 1/47. 设阶

4、方阵的每一行元素之和均为,则有一特征值为( )。(a)a (b)2a (c)2a+1 (d) +18. 矩阵A的属于不同特征值的特征向量（ ）。(a)线性相关 (b)线性无关 (c)两两相交 (d)其和仍是特征向量9. 下列说法不妥的是 （ ）(a)因为特征向量是非零向量，所以它所对应的特征向量非零(b)属于一个特征值的向量也许只有一个 (c)一个特征向量只能属于一个特征值 (d)特征值为零的矩阵未必是零矩阵10 设矩阵 的特征值为，则( )A） B) C) D) 11 已知矩阵有一特征向量，则A) B) C) D) 12 已知矩阵的各列元素之和为3，则( )A) 有一个特征值为3，并对应一个

5、特征向量B) 有一个特征值为3，并不一定对应有特征向量C) 3不一定是的特征值 D) 是否有特征值不能确定13 设A是三阶矩阵,有特征值,则下列矩阵中可逆的是( )A) B) C) D) 二 填空题 1 设为3阶矩阵，其特征值为，则=_ 的特征值为_，的特征值为_ 2 如果二阶矩阵 相似，则 3 若阶可逆阵的每行元素之和是，则数_一定是的特征值4 设三阶矩阵有3个属于特征值的线性无关的特征向量，则5 若，则的特征值为_6 设阶方阵的个特征值为，则7 设 ，则8 则 三 解答题1. 设三阶矩阵A的特征值为 ，对应的特征向量依次为：，又向量1) 将 用线性表示 2) 求 (为自然数)2 已知 有3

6、个线性无关的特征向量，求3. 设 求A的特征值与对应的特征向量，A是否对角阵相似。若相似，写出使的矩阵及对角阵，并计算，4. 设，已知，A的伴随矩阵的特征值对应的特征向量，求和的值四、证明题1设为维非零列向量，证明：1） (为某常数) 2) 是的一个特征向量。 3) 相似于对角阵。2 设阶方阵有个对应于特征值的线性无关的特征向量，则。3 设阶方阵的每行元素之和都为常数，求证： 1) 为的一个特征值； 2) 对于任意自然数，的每行元素之和都为4 设三阶方阵的三个特征值 互异，分别对应于特征向量 证明： 都不是的特征向量。 5 设，为阶方阵，证明：都有相同的特征值。 6 设是的两个不同的特征值， 是对应于的特征向量，证明： 不是的特征向量（即一个特征向量不能属于两个不同的特征值）。 答 案一1.a 2.c 3.c 4.d 5.b 6.b 7.b 8.d 9.b 10B 11B 12 A 13 D二、1 的特征值为： ；的特征值为：； 2. ； 3. ； 4. 5. 6. 7. 0 8. 0三1 ， 2 3 4 四、提示 1 略 2 略3 略 4 略 5 若有