空间直线与平面平面与平面的位置关系

1、精锐教育学科教师辅导讲义 讲义编号_ 学员编号： 年 级： 高三 课时数：3学员姓名： 辅导科目：数学 学科教师: 课 题 空间直线与平面，平面与平面的位置关系授课日期及时段教学目的1、 掌握空间平面与直线的位置关系，并会求直线与平面所称的角；2、 掌握空间平面与平面的位置关系，会画二面角的平面角教学内容【知识梳理】1、 直线与平面有哪些位置关系？2、 直线与平面所称的角的取值范围是 3、 直线与平面平行判定定理： ；性质定理： ；4、 直线与平面垂直（1） 定义： （2） 判定定理： （3） 性质定理： 5、 二面角的概念： 6、 二面角的取值范围： 【典型例题分析】例1、如图，在正方体中，

2、求面对角线与对角面所成的角解析：法一：连结与交于，连结，平面，是与对角面所成的角，在中，法二：由法一得是与对角面所成的角，又，说明：求直线与平面所成角的一般方法是先找斜线在平面中的射影，后求斜线与其射影的夹角另外，在条件允许的情况下，用公式求线面角显得更加方便变式练习：已知空间四边形的各边及对角线相等，求与平面所成角的余弦值 解析：过作平面于点，连接，是正三角形的外心，设四面体的边长为，则，即为与平面所成角，所以，与平面所成角的余弦值为例2、如图，已知APBP，PAPC，ABP=ACP=60º，PB=PC=BC，D是BC中点，求AD与平面PBC所成角的余弦值. 解析：APBP，PAP

3、C，APPBC连PD，则PD就是AD在平面PBC上的射影PDA就是AD与平面PBC所成角又ABP=ACP=60º，PB=PC=BC，D是BC中点，PD=, PA=BC AD=AD与平面PBC所成角的余弦值为巩固练习：1选择题 （1）一条直线和平面所成角为，那么的取值范围是（ ）（A）（0º,90º）（B）0º,90º（C）0º,180º（D）0º,180º) （2）两条平行直线在平面内的射影可能是两条平行线；两条相交直线；一条直线；两个点. 上述四个结论中，可能成立的个数是（ ）（A）1个（B）2个 （C

4、）3个 （D）4个 （3）从平面外一点P引与平面相交的直线，使P点与交点的距离等于1，则满足条件的直线条数不可能是（ ）（A）0条或1条（B）0条或无数条（C）1条或2条（D）0条或1条或无数条 答案：（1）B (2)C (3)D2填空题 （1）设斜线与平面a所成角为，斜线长为，则它在平面内的射影长是 . （2）一条与平面相交的线段，其长度为10cm，两端点到平面的距离分别是2cm，3cm，这条线段与平面a所成的角是 . （3）若（2）中的线段与平面不相交，两端点到平面的距离分别是2cm，3cm，则线段所在直线与平面a所成的角是 .答案：（1） （2） （3）3若P为ABC所在平面外一点，且P

5、A=PB=PC，求证点P在ABC所在平面内的射影是ABC的外心.分析：斜线段长相等，则射影长也相等从而由PA=PB=PC，点P的射影到ABC的三个顶点的距离相等，所以射影为ABC的外心.例3、如图，平面，若，求二面角的正弦值。解析：过作于，过作交于，连结，则垂直于平面，为二面角的平面角，又平面，平面，又，平面，设，则，在中，同理，中， ，所以，二面角的正弦值为例4、设在平面内的射影是直角三角形的斜边的中点，求（1）与平面所成角的大小；（2）二面角的大小；（3）异面直线和的大小解析：（1）面 为与面所成角 即与平面所成角的大小为（2）取中点，连接 又面 为二面角的平面角又 即二面角的大小为（3）

6、取的中点，连接，则与所成的锐角或直角即为异面直线和所成角易求得即异面直线和所成角为例5、设P是ABC所在平面M外一点，当P分别满足下列条件时，判断点P在M内的射影的位置（1）P到三角形各边的距离相等（2）P到三角形各顶点的距离相等（3）PA、PB、PC两两垂直解析：设P在平面M内的射影是O（1）O是ABC的内心；（2）O是ABC的外心；（3）O是ABC的垂心例6、在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求证：（1）A1C平面C1DB于G；（2）垂足G为正C1DB的中心；（3）A1G2GC解析：（1）连AC，对平面ABCD来说，A1A是垂线，A1C是斜线，AC是A1C在平面ABCD上的射影，因为A

7、CDB（正方形的性质），所以  A1CDB 同理可证A1CBC1因为A1C平面C1DB（直线与平面垂直的判定理）（2）因为A1BA1C1A1D，所以BGGC1DG，故G是正C1DB的外心，正三角形四心合一，所以G是正C1DB的中心（3）在正方体的对角面A1ACC1内，由平面几何可知A1GC1OGC，且A1C1OCA1GGC，所以A1GGC21，因此A1G2GC变式练习：已知：RtABC在平面内，PC平面于C，D为斜边AB的中点，CA6，CB8，PC12求：（1）P，D两点间的距离；（2）P点到斜边AB的距离解析：（1）（2）作PEAB于E，连CE则CEAB（三垂线定理的逆定理）PE就

8、是P点到AB边的距离可用等积式CE·ABAC·CB，即斜边上的高与斜边的乘积等于两直角边的乘积因CE·AB是RtABC面积的二倍，而AC·CB也是RtABC面积的二倍，所以它们相等；也可用BCEABC，对应边成比例推出这个等积式注：在求直角三角形斜边上的高时会利用上述的等积式来求斜边上的高【课堂小练】1、过正方形ABCD的顶点A作线段A A平面ABCD，若A A=AB，则平面AA B与平面ACD所成的角度是A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°2、在直二面角- l-中,直线m,直线n,且m、n均不与

9、l垂直,则A. m与n不可能垂直,但可能平行 B. m与n可能垂直,但不可能平行C. m与n可能垂直,也可能平行 D. m与n不可能垂直,也不可能平行3、设有不同的直线a、b和不同的平面、,给出下列三个命题:(1)若,则.(2)若, ,则.(3)若, ,则 。其中正确的个数是A.0 B.1 C.2 D.34、一直线与直二面角的两个面所成的角分别为、，则+的范围为：.0/2 B./2 C.0/2 D.0/25、若三棱锥的顶点在底面上的射影是底面三角形的垂心，则A.各格侧棱长相等 B.各侧棱与底面成等角 C.各侧面与底面线等角 D.每组相对棱互相垂直6、二面角- l-的大小为，直线a，直线b，设a

10、与b所成的角为，则下面关系中正确的一个是A. B. C. = D.以上三种关系均有可能 7、如图,等腰直角ABC,沿其斜边AB边上的高CD对折,使ACD与BCD所在的平面垂直,此时ACB等于A.45° B.60° C.90° D.120°8、正方形纸片ABCD,沿对角线AC对折,使D点在面ABC外,这时DB与面ABC所成的角一定不等于A.30° B.45° C.60° D.909、a、b表示直线，、表示平面，有下列四个命题：(1)若=a,b，ab,则；(2)若，=a,=b,则ab;(3)若a不垂直于平面，则a不可能垂直于内的

11、无数条直线；(4)若a，b,a，则，其中不正确命题的个数为A.1 B.2 C.3 D.410、是两个不同的平面，m、n是平面及外的两条不同直线，给出四个论断：mn;n;m,以其中三个结论作为条件，另一个论断作为结论，则所得命题正确的个数是A.1 B.2 C.3 D.411、平面与平面相交，m是内的一条定直线，则下列结论正确的是A.在内必存在与m平行的直线 B.在内必存在与m垂直的直线C.在内必不存在与m平行的直线 D.在内不存在与m垂直的直线12、下列命题中错误的是A.如果，那么内所有直线都垂直于平面 B.如果，那么内一定存在直线平行于平面C.如果不垂直于，那么内一定不存在直线垂直于平面 D.

12、如果平面平面，平面，l，那么l13、过平面外的两个点A、B有无穷多个平面都与垂直，则一定有A.直线AB B.直线AB与成60°角 C.A、B两点在的一条垂线上 D.A、B两点到的距离相等14、A为直二面角l的棱上的一点，两条长度都等于a的线段AB、AC分别在、内并且都与l成45°角，则BC的长为A.a B.a或a C.a或a D.a或a15、如果直线l、m与平面、满足：l，l，m和m，那么必有A. 且lm B. 且m C. m且lm D. 且【课堂总结】1、如何求直线与平面所成的角？2、如何证明线面垂直？一般的做题步骤是什么？3、两个平面有哪些位置关系？【课后练习】1、正方

13、形ABCD与正方形ABEF所在平面成60°的二面角，则异面直线AD和BF所成角的余弦值为_.2、 已知m、l是直线,、是平面,给出下列命题: 若l垂直于内的两条相交直线,则l;若l平行于,则l平行于内的所有直线;若m, l,且lm, 则;若l,且 l,则;若m, l,且,则ml.其中正确的命题的序号是_.(注:把你认为正确的命题的序号都填上) 3、设有四个条件：平面与平面、所成的锐二面角相等；直线ab,a平面，b；a、b是异面直线，且，；平面内距离为d的两条直线在平面内的射影仍为两条距离为d的平行线，其中能推出的条件有 .(填写所有正确条件的代号)4、在空间，下列命题正确的是_.(注

14、：把你认为正确的命题的序号都填上)如果两条直线a、b分别与直线l平行，那么ab如果一条直线a与平面内的一条直线b平行，那么a如果直线a与平面内的两条直线b、c都有垂直，那么a如果平面内的一条直线a垂直平面，那么5、已知:二面角- l -等于120°，AB=10，A，B. A、B到l的距离分别等于2和4.(1)求直线AB和平面所成角的大小;(2)求异面直线AB和l所成角的大小.解析：(1)(2)6、将一副三角板如图拼接,BAC=BCD=90°,AB=AC,BDC=60°,且平面ABC平面BCD,(1)求证:平面ABD平面ACD;(2)求二面角A-BD-C的正切值;(3)求异面直线AD与BC所成角的余弦值解析：(1