第四届全国物理竞赛决赛试题

1、第四届全国物理竞赛决赛试题一图451中da、cd 为相距l （m）的平行导轨（电阻很小，可以忽略)ab间连接一个固定电阻，阻值为R长直细杆MN可以按任意角架在平行导轨上，并以匀速V滑动(平移)，V的方向和da平行杆MN有电阻，每米长的电阻值为R整个空间充满匀强磁场。磁感应强度的大小为B，方向垂直纸面(dabc平面)，向里R图 4511求固定电阻R上消耗的电功率为最大时角的值 2求杆MN上消耗的电功率为最大时角的值 二 1质量为M的静止原子，由于内部能级变化(E2E1)而发射出一个光子已知MC2 (E2 E1)，求原子的反冲(后退)动能T与光子能量E的比值(注意，能量为E的光子，其动量为EC，C

2、为光速)2在绝对温度T时，电磁场的光子平均能量约为3RT/N0，R为摩尔气体恒量，N0为阿伏伽德罗常数假设在宇宙发展的初期，光子间的碰撞能够产生质子、反质子(即一对光子经过碰撞而转变成一个质子和一个反质子)试估算当时温度的数量级(二位有效数字) 3气体分子的直径约为2×l0-10米，试估算标准状况下近邻气体分子间的平均距离l与分子直径d的比值(二位有效数字)附: c=3.0×1 08ms， 质子质量mp=1.7×10-27 kg， R = 8.3 Jmol·K，No=6.0×1023mol三、对于太阳系中的行星运动，天文观测发现了如下的事实(称

3、为开普勒三定律)。图 452l各个行星分别在大小不同的椭圆轨道上围绕太阳运动，太阳的位置是椭圆的一个焦点(第一定律) 2对于每个行星来说。太阳至行星的联线(图452中FP线)在每一个单位时间内扫过的面积(称为面积速度)相等(第二定律) 3行星椭圆轨道的半长轴的三次方与公转周期的平方的比值，对于各个行星来说是相同的、(第三定律) 行星轨道如图452所示，P为行星，F为焦点(太阳)， a、b、2c分别为半长轴，半短轴和焦距，0为椭圆中心 根据万有引力定律。行星和太阳间的引力势能(作为已知公式)为V =-GMmr，其中G为万有引力恒量M为太阳质量，m为行星质量，r为太阳至行星的距离 ， 试根据机械能

4、守恒定律，开普勒第一、第二定律分别导出行星运动的总机械能E，面积速度S、公转周期T的公式(用G，M，m，a，b表示)。并证明开普勒第三定律 四、六个外形相同的电阻，用导线连接如图453。 已知其中五个电阻的值均精确地等于2，另一个的阻值则与2有明显差异用欧姆表对图示电路测量三次，就可以找出这个与众不同的电阻。试扼要说明测量方法和论据(必要时列出计算公式)图 453 五半径为R的刚性球固定在水平桌面上有一个质量为 M的圆环状均匀弹性细绳圈，原长，绳圈的弹性系数为k(绳伸长s时绳中弹性张力为ks)将绳圈从球的正上方轻放到球上，并用手扶着绳圈使其保持水平并最后停留在某个静力平衡位置考虑重力，忽略摩擦

5、 1设平衡时绳圈长2，b=，求弹性系数k(用 M、R，g表示，g为重力加速度) 2.设.求绳圈的最后平衡位置及长度实验试题一 （第一部分）。 给你一个黑匣子，黑匣内有变压器，二极管、电容器各一个，其中变压器输入端两个头均未与任何元件相连这三种元件分别连接于黑匣面上的A、B，C、D、E五个接线柱上试判断并画出由这三种元件组成的线路图。注明接线柱标号 仪器用具黑匣子，万用电表及一根导线 说明： 本题是由两部分组成，你答对这部分后，再发给你第二部分题目（第二部分）： 对你画出的线路，说明和验证它的功能要求写出有关数据。桌上两个接线柱是交流电源的接头接线时，要经教师检查后再接电源 二说明 实验室中用5

6、分铝币的全息象底片，提供了一个5分币的虚象，5分币的平面基本上与导轨垂直，并且在导轨横向的中间部位考生进入考场后，先让每位学生看到虚象然后。发给如下试题； 1请采取使用透镜和不用透镜两种方法测出五分币的虚象距玻璃片(全息底片)的距离 2测出5分币虚象的直径d 可选用装置及元件 光具座导轨、导轨上有五个滑座、滑座上分别插有白屏，物标屏，座标纸屏，照明灯及夹有正透镜的透镜夹 要求 对于每种方法写出需要测哪几个量和用什么公式计算D及d 注意事项1。虚象的来源不必考虑2全息底片和激光光源的位置不能移动 口试试题 一、质量为m的小珠，可以而且只能沿半径为r的圆环形轨道运动，轨道平面为水平面小珠带有固定正

7、电荷q设有空间分布均匀但随时间t变化的磁场，磁感应强度B(t)，方向垂直环面向上(图454)图 454 t = 0时。B = 0，小珠静止于环上； 0 < t < T时，B(t)随时间t均匀增长： t = T时。B=B0； tT时，磁场稳定不变试定量地讨论t>0时小珠的运动状况以及小珠对轨道的作用力。重力和摩擦力忽略不计 提示：在磁场随t增长的过程中，由于电磁感应，空间将感生出电场E，其方向在水平面内，在环上E指向环的切线方向(正因如此，环路中产生感应电动势) 图 545二，有一个半径为R、质量为M的刚性均匀细圆环开始时静止在水平光滑桌面上环上有一小孔P0 ，桌面上另有一个质

8、量为m的质点可以自由穿过小孔开始时质点以初速度V从小孔P0射入，与圆环内壁发生N次弹性碰撞后，又从小孔P0穿出(图455)设圆环内壁光滑从质点射入小孔到又从小孔穿出，圈环中心O到质点的连线相对于圆环刚好转过3600求质点穿出小孔后圆环中心相对于桌面的速度提示： 在碰撞过程中圆环不发生转动第四届决赛笔试题参考解答 一。如图456所示，捧滑动时切割磁力线而产生感应电动势，其值与角无关，为R以r表示两导轨问那段棒的电阻，则回路中的电流为 1电阻R上消耗的功率为由于和R均与无关，所以r的值最小时Pr达最大值当捧与导轨垂直时两轨道间的棒长最短，r的值最小所以Pr最大时的值为 2，棒上消耗的电功率为 要求

9、Pr最大，即要求取最大值由于 或 显见，r=R时，有极大值因每米杆长的电阻值为Rr=R即要求两导轨间的棒长为lm所以有以下两种情况。 (1)如果l 1 m则当满足下式时 r = R 所以 (2)如果l >l m，则两导轨间那段捧的长度总是大于lm。即总是r > R由于 在r > R的条件下，上式随r的减小而单调地减小，r取最小值时， 取最小值，取最大值所以Pr取最大值时的值为 二、 1根据动量守恒定律可知，原子的反冲动量的大小等于光动量的大小，即 所以反冲动能为 因此原子的反冲动能与光子能量的比值为 2光子的能量已知为E3RTN0，用mp表示原子的质量，c表示光速，则原子的能

10、量为mpc2因为一对光子转变成一个质子和一个反质子，根据能量守恒可知 3标准状况下，1 mol气体体积V = 22.4× 10-3m3每个分子平均占有体积为 V/N0，所以邻近分子间平均距离为用d表气体分子的直径，则分子间的平均距离与分子直径之比为 ABm图 457 三，如图457所示，以 表示行星的速度，当行星经过近日点A和远日点B时，v和r垂直，面积速度分别为 (1)根据开普勒第二定律，应有SA = SB，因此得 （2）行星运动的总机械能E等于动能加势能经过近日点和远日点时， (3)根据机械能守恒EA = EB，因此得 (4)由式(2)，(4)可解出 （5）代入(3)式，即得机械

11、能为 （6）由(5)式和(1)式可得面积速度为 (7)椭圆的面积为：因此周期为 (8)将(8)式两边平方，即得开普勒第三定律。 四，本电路相当于在正四面体的六条棱上各有一个电阻。假设六个电阻的阻值都相同则从对称性可知、A、B、C、 D任何两点间的电阻值必然相同这时若测量BC间电阻值，由对称性可知A，D两点的电势必相等，所以AD间必无电流，因此，相当于三个电阻BAC，BDC。 BC并联设测得总电阻为r，则 即 己知R =2， 所以 根据题意知六个电阻中有一个的阻值与众不同这时三次趔量可以在任意三个结点(例如A，B，C)间分别进行测得的电阻值记为 rAB，rBC , rCA如果这三个结点之间某一个

12、电阻(即图458中三个外围电阻中的一个，例如A、B之间那一个)为与众不同者，则由对称性可知，此时必有，而且如果与众不同的电阻是在此三结点之一(例如A)与D之间的那个电阻，。则由对称性可知，此时必有，而且当测量在BC间进行时，由于对称，AD间无电流，AD间的电阻值不影响测量结果，这时必有 (即与六个电阻都是2时的结果一样) 总之，测出的三个值，一定有两个相同，一个不同如果后者不等于1，则与众不同的电阻必为与测出不同值时两结点直接相联的那个电阻如果后者等于1，则与众不同的电阻，必为与测出不同值时两结点正对着的两结点之间的那个电阻。图 459 五 1设平衡时绳圈位于球面上相应于角的纬线上(见侧视图图

13、459)考虑绳上一小段，长为(见俯视图图460)，质量为 则这小段绳受力有：重力 方向竖直向下张力的合力，因为张力图 460所以张力的合力为 方向在水平面内指向绳圈中心 球面的支持力N，方向沿球的半径向外 这三个力在一个平面内(经线所在的平面)将它们沿着经线的切向和法向分解，则切向力决定绳圈在球面上沿切向的运动。由几何图形可知，沿经线切线向上的力为 (1)式中 , 沿经线切线向下的力为 (2)当绳圈在球面上平衡时， ,由（1）、（2）两式可得 （3）式中 ， ， 已知 ， 所以 ， ， . 由（3）式可得 （4） 2.当 时,代入(3)式后, 因 c = 2 , 可得: 此式可化为 平方后可变

14、为 因为在的范围内,所以上式无解.这时的实际情况是:k太小,绳圈在重力作用下将套过球体而落在桌面上，因此绳长为原来的长度，、即2 注：在有解的一般情况下，绳圈在球面上有两个平衡位置。但其中一个是不稳定平衡讨论从略 第四届决赛实验试题参考解答 一，第一部分: 根据题意，已知黑匣内只有变压器，二极管和电容器三个元件；各个元件的两端分别接到黑匣的A、 B、CD、E五个接线柱上:且变压器初级的两端未接任何元件，也就是说，变压器输出线圈、二极管和电容器接到其余三个接线柱上，且没有两个元件先串联再连到接线柱的情形 下面提出一种判断办法，供参考 1首先判断变压器初级的两个接头 巳知这两个接头的特点是它们互通

15、而与其它三个接头均不相通，且这两点间正反电阻相等因此，可先用万用电表的高电阻档判断各个点之间的通断情况经过测量发现B点只与D 点相通，与A，CE三点不通D点也只与B点相通，与 A，C，E点不通再选用适当的欧姆档，调零后测得B与D 之间正反向电阻相等，均为380经过测量发现，不再有其它点具有以上的所有特性故可断定B，D为变压器初级的两个接头 2再确定变压器次级的两个接头REC RCEREA 黑匣上的五个点巳确定了两个点，剩下A、C，E三个点用万用电表测量两点之间的电阻(测量时黑表笔接下面脚码第一个字母所标的点，黑表笔为正，红表笔为负)，结果如 下表所示： 图 4-61从以上测量结果看到任意两点之

16、间无短路现象，并且与 A点有关的电阻正，反向阻值不相等，而C、E两点间正反向阻值相等，均为32因为黑匣内没有纯电阻元件，所以，可以肯定C、E为变压器次级的两个接头即变压器的接法应如图4-61所示图 462 3确定二极管的两个接头， 因C、E间正，反向电阻相等，所以二极管不在GE两点之间因为RAC(反向) >RCA(正向)，RAE(反向)> REA(正向)，故可能有以下两种情况:如果RCE < REA，则为图462甲所示的接法；如果REA < RCA，则为图4-62乙所示的接法实测电阻值RCA为32，REA为77，可以肯完二极管是接在C，A两点之间，且C端为正，A端为负，

17、 (如图482甲)图 4-634判断电容器的两个接头图 4-64 电容器可能有如图463所示的三种接法要判断电容的位置，可用充放电现象的方法首先，用导线将各有关点短路一下，再用万用表高阻档黑表笔置A点，红表笔置C点进行充电，然后观察是否有充放电现象如有充放电现象,就排除了图463甲的接法；，如没有充放电现象，就排除了图4-63乙和丙的接法实际测量的结果是在AC间充电后，有明显的充放电现象，因而排除了图4一63甲的接法其次将黑表笔置C点，红表笔置E点在CE间充电，再用万用表小电流档或高电阻挡在AE或AC两点间放电如有放电现象肯定为图4一63丙的接法如没有放电现象，肯定为图463乙的接法实测结果在

18、CE间充电后,AE间和AC间均有放电现象，因而可排除图463乙的接法，从而判定电容在A、E两个接点间黑匣内线路如图464所示 第二部分： 此线路具有半波整流和滤波的功能 用实验验证：将B、D端接交流电源，用万用电表交流 500V档试测B，D间电压，然后依次减小电压量程，测得BD间电压为交流l2.0V(有效值)再测得C、E间电压为交流3.70V(有效值)说明变压器为降压变压器，再用直流电压l0V档测得A.E间的直流电压为4.80伏因为是半波整流所以A.E间的直流电压小于C，E间的交流电压的峰值×3.70V实验结果证实该线路具有半波整流及滤波功能.二. 1用透镜测D图 4-65a 具体的

19、方法可有多种，最简单的方法是二次成象法(位移法)如图4-65所示，分别求出成缩小象时，透镜到象屏之间的距离a及成放大象时，全息底片到透镜之间的距离b.可以证明。因而D = a - b 操作步骤如下: (1)共轴调节。用目估方法先使象屏，透镜相互平行且垂直于导轨，然后将透镜调到与5分币同一高度并使之处于导轨横向的中间(即粗调等高同轴，细调对中学生不要求)(2)用试验的方法确定物与象屏之间台适的距离(大于透镜的4倍焦距)，固定象屏位置(3)用左右逼近法调出清晰的放大象得到b(4)用左右逼近法调出清晰的缩小象得到a在以上步骤中 (1)、(2)两步可互换，(3)、(4)两步可互换，a，b数值有效数字要

20、估到毫米的下一位 (5)用D=a-b算出D(允许误差1.00cm) 2视差法求D及d (1)选坐标纸屏为定标物，放在虚象附近 (2)用照明灯照亮坐标纸屏 j (3)将坐标纸屏沿导轨移动，仔细调节使座标屏与5分币虚象消除视差，要注意稍稍转动坐标屏，使坐标平面与5分币面重合，即5分币左右两侧均无视差为止 (4)在导轨上直接读出全息底片与坐标屏的位置，两值相减即为D(有效数字要估计到毫米的下一位) (5)在坐标纸屏上直接读出5分币虚象的直径d(估读到毫米的下一位) 第四届决赛口试题参考解答 一在o<t<T时。磁感应强度B随时间t均匀增长可以写成 由已知条件，在t = 0时，B = 0.

21、可知，在t时间内磁感应强度的增加量B与t的关系为 在t=T时B=B0，可得到 因而 随着B的增加。通过圆形轨道所围面积内的磁通量也将随时间均匀增加由于电磁感应，空间将感生出电场E，其方向在水平面内，在环上E指向环的切线方向(图4-66)因此，环中将产生感 生电动势电荷q受电场力F作用而产生切向加速度at。其速度v将随时间而增大E图 466 由法拉第电磁感应定律得 (1) 由于圆环轨道的对称性,在轨道上各点感生电场E的大小都想等,因此整个圆环轨道上的感应电动势为 (2) 由(1)、(2)两式可解出 (3) (3)式说明感生电场的大小是恒定不变的，电荷q所受电场力的大小也是恒定不变的。其加速度的大小也不变小珠带正电荷，所受电场力的方向及加速度的方向都与场强方向相同，也是沿轨道的切线方向 所以电荷q的运动速率v随时间t变化的规律是 (4)(4)式说明,在的这段时间内。电荷沿圆形轨道运动的速率随时间而均匀增大 电荷在磁场中运动时将受到洛仑兹力f的作用洛仑兹力的大小为电荷维持半径为r的圆周运动所需的向心力是显然 , Fn < f因此轨道对小珠必然有沿半径方向向外的作用力N小珠对轨道的作用力N与轨道对小殊的作用力N大小相等，方向相反即小珠对轨道的作用力随时间增大, 且与时间的平方成正比 方向沿半径指向圆心在tT时,磁场稳定不变，通过轨道所围面积内的磁通量不再改变，因而感生电场E =